信号与系统 (1)

第 1 章 信号与系统的概念与性质

1.1 信号的基础知识

1.1.1 信号的概念

通过信号，传送消息，接受信息.

1.1.2 信号的分类

• 按连续性

  • 连续信号（时间连续）

    • 若取值连续，则称为 模拟信号.

    • 若取值离散，则称为 量化信号.

  • 离散信号（时间离散）

    • 若取值连续，则称为 抽样信号.

    • 若取值离散，则称为 数字信号.

• 按各阶导数的连续性

  • 若任意阶导数连续，则称为 非奇异信号.

  • 若存在导数不连续，则称为 奇异信号.

• 按能量

  • 功率信号：功率有限，即 ${\displaystyle P=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{2T}}{\int }_{-T}^{T}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$$\d P = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{1}{2T} \int_{-T}^{T} f(t)^2 \dt$ 收敛.

  • 能量信号：功率为零，能量有限，即 $E={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$$E = \inti f(t)^2 \dt$ 收敛.

  • 其它信号：功率无限.

• 其它分类方式

  • 确定信号、随机信号

  • 周期信号、非周期信号

  • 一维信号、高维信号

  • 实信号、复信号

• 连续信号的进一步划分

  • 时限信号：仅在 $[t_1,t_2]$$[t_1, t_2]$ 可能非零.

  • 右边信号：仅在 $[t_1,+\mathrm{\infty })$$\bpqty{t_1, +\infty}$ 可能非零.

  • 左边信号：仅在 $(-\mathrm{\infty },t_2]$$\pbqty{-\infty, t_2}$ 可能非零.

  • 因果信号：仅在当 $t\ge 0$$t \ge 0$ 时可能非零.

  • 非因果信号：在 $t<0$$t < 0$ 时有非零值.

1.1.3 常见的信号

• 指数

  • 指数信号 $f(t)=K{\mathrm{e}}^{-\alpha t}$$f(t) = K \e^{-\alpha t}$.

  • 单边指数信号 $f(t)=K{\mathrm{e}}^{-\alpha t}u(t)$$f(t) = K\e^{-\alpha t} u(t)$.

  • 双边指数信号 $f(t)=K{\mathrm{e}}^{-\alpha \left|t\right|}$$f(t) = K \e^{-\alpha \vqty{t}}$.

  • 复指数信号 $f(t)=K{\mathrm{e}}^{st}=K{\mathrm{e}}^{(\sigma +\mathrm{j}\omega )t}$$f(t) = K \e^{st} = K \e^{(\sigma + \j\omega)t}$.

• 正弦

  • 正弦信号 $f(t)=K\sin (\omega t+\theta )$$f(t) = K \sin(\omega t + \theta)$.

  • 衰减正弦信号 $f(t)=K{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\sin (\omega t+\theta )$$f(t) = K \e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \theta)$.

  • 抽样信号 $\mathrm{Sa}(t):={\displaystyle \frac{\sin t}{t}}$$\mathrm{Sa}(t) := \dfrac{\sin t}{t}$, 其不定积分为 $\mathrm{Si}(t)$$\mathrm{Si}(t)$.

  • 辛格函数 $\mathrm{sinc}(t):={\displaystyle \frac{\sin \pi t}{\pi t}}=\mathrm{Sa}(\pi t)$$\mathrm{sinc}(t) := \dfrac{\sin \pi t}{\pi t} = \Sa(\pi t)$.

    注：有些地方也定义为 $\mathrm{sinc}(t)=\mathrm{Sa}(t)$$\mathrm{sinc}(t) = \Sa(t)$.

• 钟形信号 (高斯函数): $f(t)=E{\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{t}{\tau }\right)}^2}$$f(t) = E \e^{-\pqty{\tfrac{t}{\tau}}^2}$.

1.1.4 奇异的信号

• 阶跃信号

  • 单位阶跃信号 $u(t)=I_{\{t>0\}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}}$$u(t) = I_\Bqty{t > 0} = \ddv{f(t)}{t}$.

  • 延迟阶跃信号 $u(t-t_0)$$u(t - t_0)$.

  • 矩形脉冲信号 (又称门函数或窗函数)

    • $R_T(t)=u(t)-u(t-T)$$R_T(t) = u(t) - u(t - T)$.

    • $G_T(t)=u(t+\frac{T}{2})-u(t-\frac{T}{2})$$G_T(t) = u\pqty{t + \frac{T}{2}} - u\pqty{t - \frac{T}{2}}$.

  • 符号函数 $\mathrm{sgn}(t)=2u(t)-1$$\sgn(t) = 2u(t) - 1$.

• 斜变信号 $tu(t)$$t u(t)$.

• 冲激信号

  • 单位冲激信号 $\delta (t)=\underset{\tau \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{G_{\tau }(t)}{\tau }}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}}$$\delta(t) = \liml_{\tau \to 0} \dfrac{G_\tau(t)}{\tau} = \ddv{u(t)}{t}$. (广义极限)

  • 其它定义 (保持面积为 1)

    • 三角形脉冲 $\delta (t)=\underset{\tau \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{G_{2\tau }(t)}{\tau }}(1-{\displaystyle \frac{\left|t\right|}{\tau }})$$\delta(t) = \liml_{\tau \to 0} \dfrac{G_{2\tau}(t)}{\tau} \pqty{1 - \dfrac{\vqty{t}}{\tau}}$.

    • 双边指数脉冲 $\delta (t)=\underset{\tau \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{\left|t\right|}{\tau }}}{2\tau }}$$\delta(t) = \liml_{\tau \to 0} \dfrac{\e^{-\tfrac{\vqty{t}}{\tau}}}{2\tau}$.

    • 钟形脉冲 $\delta (t)=\underset{\tau \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\pi {\left(\frac{t}{\tau }\right)}^2}}{\tau }}$$\delta(t) = \liml_{\tau \to 0} \dfrac{\e^{-\pi\pqty{\tfrac{t}{\tau}}^2}}{\tau}$.

    • 抽样脉冲 $\delta (t)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{k}{\pi }}\mathrm{Sa}(kt)={\displaystyle \frac{\sin kt}{\pi x}}$$\delta(t) = \liml_{k \to \infty} \dfrac{k}{\pi} \mathrm{Sa}(kt) = \dfrac{\sin kt}{\pi x}$.

  • 下二式也可作为定义 (称为狄拉克函数)

    • 条件一: ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)\mathrm{d}t=1}$$\inti \delta(t) \dt = 1$.

    • 条件二: 当 $t\ne 0$$t \ne 0$ 时, $\delta (t)=0$$\delta(t) = 0$.

    • 因此，$\delta (0_{+})=\underset{t\to 0_{+}}{lim}\delta (t)=0=\delta (0_{-})$$\delta(0_+) = \liml_{t\to0_+} \delta(t) = 0 = \delta(0_-)$.

  • 冲激函数与阶跃函数的关系

    • ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =u(t)}$$\dint_{-\infty}^t \delta(\tau) \dd{\tau} = u(t)$.

    • ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}=\delta (t)}$$\ddv{u(t)}{t} = \delta(t)$.

• 冲激偶与冲激函数高阶导数

  • 冲激偶的定义

    • ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{\delta }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\delta (t)}$$\dint_{-\infty}^t \delta'(t) \dt = \delta(t)$.

    • ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=0}$$\inti \delta'(t) \dt = 0$.

  • 冲激函数高阶导数：${\delta }^{(n)}(t)$$\delta^{(n)}(t)$.

1.1.5 信号的运算

• 变量的代换

  • 移位: $f(t-t_0)$$f(t - t_0)$.

  • 反褶: $f(-t)$$f(-t)$.

  • 尺度: $f(at)$$f(at)$.

• 微分与积分

• 求和与数乘

1.2 冲激函数的性质

1.2.1 抽样性质

性质

1. ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-t_0)\mathrm{d}t=f(t_0)}$$\inti f(t) \delta(t - t_0) \dt = f(t_0)$.

2. ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(t_0)}$$\inti f(t) \delta'(t - t_0) \dt = -f'(t_0)$.

3. ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\delta }^{(n)}(t-t_0)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}(t_0)}$$\inti f(t) \delta^{(n)}(t - t_0) \dt = (-1)^n f^{(n)}(t_0)$.

1.2.2 筛选性质

性质

1. $f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)$.

2. $f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$$f(t) \delta'(t) = f(0) \delta'(t) - f'(0) \delta(t)$.

3. $f(t){\delta }^{(n)}(t)={\displaystyle \sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f^{(i)}(0){\delta }^{(n-i)}(t)}$$f(t) \delta^{(n)}(t) = \dsum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} f^{(i)}(0) \delta^{(n-i)}(t)$.

1.2.3 尺度性质

性质 对于 $\mathrm{\forall }a\ne 0$$\forall a \ne 0$，有

1. $\delta (at)={\displaystyle \frac{\delta (t)}{\left|a\right|}}$$\delta(at) = \dfrac{\delta(t)}{\vqty{a}}$.

2. ${\delta }^{\prime }(at)={\displaystyle \frac{{\delta }^{\prime }(t)}{\left|a\right|a}}$$\delta'(at) = \dfrac{\delta'(t)}{\vqty{a}a}$.

3. ${\delta }^{(n)}(at)={\displaystyle \frac{{\delta }^{(n)}(t)}{\left|a\right|a^n}}$$\delta^{(n)}(at) = \dfrac{\delta^{(n)}(t)}{\vqty{a}a^n}$.

1.2.4 相互关系

性质

1. $\delta (t)=u^{\prime }(t)$$\delta(t) = u'(t)$.

2. ${\delta }^{\prime }(t)=-{\displaystyle \frac{\delta (t)}{t}}$$\delta'(t) = -\dfrac{\delta(t)}{t}$.

3. ${\delta }^{(n)}(t)={\displaystyle \frac{n!}{(-t{)}^n}}\delta (t)$$\delta^{(n)}(t) = \dfrac{n!}{(-t)^n} \delta(t)$.

1.2.5 正幂函数

性质 对于 $\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{+}$$\forall k \in \N^+$，有

1. $\delta (t^k)={\displaystyle \frac{\delta (t)}{k{\left|t\right|}^{k-1}}}$$\delta(t^k) = \dfrac{\delta(t)}{k\vqty{t}^{k-1}}$.

2. ${\delta }^{\prime }(t^k)=-{\displaystyle \frac{\delta (t)}{k{\left|t\right|}^{k-1}{t}^k}}={\displaystyle \frac{{\delta }^{\prime }(t)}{k(\left|t\right|t{)}^{k-1}}}$$\delta'(t^k) = -\dfrac{\delta(t)}{k \vqty{t}^{k-1} t^k} = \dfrac{\delta'(t)}{k(\vqty{t} t)^{k-1}}$.

3. ${\delta }^{(n)}(t^k)={\displaystyle \frac{n!}{(-1{)}^n}}{\displaystyle \frac{\delta (t)}{k{\left|t\right|}^{k-1}{t}^{kn}}}={\displaystyle \frac{{\delta }^{(n)}(t)}{k{\left(\left|t\right|t^n\right)}^{k-1}}}$$\delta^{(n)}(t^k) = \dfrac{n!}{(-1)^n} \dfrac{\delta(t)}{k \vqty{t}^{k-1} t^{kn}} = \dfrac{\delta^{(n)}(t)}{k \pqty{\vqty{t} t^n}^{k-1}}$.

1.2.6 分解公式

性质 设 $f(t)$$f(t)$ 的根为 $t_k(k=1,2,\cdots ,N)$$t_k\ (k = \oneto{N})$，相应重数为 ${\alpha }_k\in {\mathbb{N}}^{+}$$\alpha_k \in \N^+$, 则

1. $\delta (f(t))={\displaystyle \sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{({\alpha }_k-1)!\cdot \delta (t-t_k)}{|f^{({\alpha }_k)}(t_k)|\cdot {|t-t_k|}^{{\alpha }_k-1}}}}$$\delta(f(t)) = \dsum_{k=1}^N \dfrac{ (\alpha_k - 1)! \cdot \delta(t - t_k) }{ \vqty{f^{(\alpha_k)}(t_k)} \cdot \vqty{t - t_k}^{\alpha_k - 1} }$.

2. ${\delta }^{(n)}(f(t))={\displaystyle \sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{({\alpha }_k-1)!\cdot {\delta }^{(n)}(t-t_k)}{|f^{({\alpha }_k)}(t_k)|\cdot {(f^{({\alpha }_k)}(t_k))}^n\cdot {\left[{(t-t_k)}^n|t-t_k|\right]}^{{\alpha }_k-1}}}}$$\delta^{(n)}(f(t)) = \dsum_{k=1}^N \dfrac{ (\alpha_k - 1)! \cdot \delta^{(n)}(t - t_k) }{ \vqty{f^{(\alpha_k)}(t_k)} \cdot \pqty{f^{(\alpha_k)}(t_k)}^n \cdot \bqty{ \pqty{t - t_k}^n \vqty{t - t_k} }^{\alpha_k - 1} }$.

3. ${\delta }^{(n)}(f(t))={\displaystyle \sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{n!({\alpha }_k-1)!\cdot \delta (t-t_k)}{|f^{({\alpha }_k)}(t_k)|\cdot {[-f(t)]}^n\cdot {|t-t_k|}^{{\alpha }_k-1}}}}$$\delta^{(n)}(f(t)) = \dsum_{k=1}^N \dfrac{ n! (\alpha_k - 1)! \cdot \delta(t - t_k) }{ \vqty{f^{(\alpha_k)}(t_k)} \cdot \bqty{-f(t)}^n \cdot \vqty{t - t_k}^{\alpha_k - 1} }$.

备注

1. 也可以将右式的高阶导数均转换为一阶，或者用更冲激函数的高阶导数消去分母的幂函数.

2. 特殊的，若 $f(t)$$f(t)$ 只有单根，即 $\mathrm{\forall }k:{\alpha }_k=1$$\forall k \colon \alpha_k = 1$，那么有 $\delta (f(t))={\displaystyle \sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{\delta (t-t_k)}{|f^{\prime }(t_k)|}}}$$\delta(f(t)) = \dsum_{k=1}^N \dfrac{\delta(t - t_k)}{\vqty{f'(t_k)}}$.

1.3 系统的基础知识

1.3.1 系统方框图

• 四种基本单元方框图：求和、数乘、积分、微分.

• 系统框图的分析：若较为复杂，可以引入中间变量.

• 系统框图的设计：若要求不使用微分，

  • 思路一：对等式两端多次积分直至无微分号.

  • 思路二：利用积分单元方框图求微分.

1.3.2 系统的分类

• 线性 / 非线性

  • 判断方法：先线性运算再经系统，和先经系统再线性运算，二者若相同则为线性.

  • 线性算子：加法、数乘、微分、积分、差分、求和等.

  • 线性系统：初值为零的常系数线性微分方程描述的系统等.

• 时变 / 时不变

  • 判断方法：先经系统再时移，和先时移再经系统，二者若相同则为时不变.

  • 时变系统：若有反褶，展缩，则为时变系统.

  • 时变又称为参变，时不变又称为非时变或定常.

• 连续 / 离散 / 混合

  • 离散或混合时间系统，可以转化为连续系统.

  • 连续或混合系统经取样后，可变为离散系统.

  • 取样得到的离散系统，一定条件可恢复连续.

• 因果 / 非因果

  • 判断方法：零状态响应不出现在激励之前的系统为因果系统.

  • 因果系统：如初值为零的常系数线性微分方程描述的系统.

  • 非因果系统：如理想低通滤波器.

• 电系统 / 机械系统 / 热系统等

• 即时系统 / 动态系统

  • 若响应仅与当前时刻的激励有关，则称为即时系统.

  • 若响应仅与过去时刻与当前的激励有关，则称为动态系统.

  • 即时系统又称为无记忆系统，动态系统又称为记忆系统.

  • 例子：微分方程和差分方程描述的系统为动态系统.

• 集总参数 / 分布参数

• 可逆 / 不可逆：若映射是一一对应的，则称为可逆系统.

• 稳定 / 不稳定：若有界输入的输出有界，则称为稳定系统.

1.3.3 线性时不变

LTI, Linear and Time-invariant System.

线性系统

1. $f_1(t),f_2(t)\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{y}_1(t),y_2(t)\stackrel{\text{叠}\text{加}}{\to }{k}_1{y}_1(t)+k_2{y}_2(t)$$f_1(t), f_2(t) \xrightarrow{系统} y_1(t), y_2(t) \xrightarrow{叠加} k_1 y_1(t) + k_2 y_2(t)$.

2. $f_1(t),f_2(t)\stackrel{\text{叠}\text{加}}{\to }{k}_1{f}_1(t)+k_2{f}_2(t)\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{y}_{{}_{k_1{f}_1+k_2{f}_2}}(t)$$f_1(t), f_2(t) \xrightarrow{叠加} k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t) \xrightarrow{系统} y_{_{k_1f_1 + k_2f_2}}(t)$.

3. 若上述两个响应相同，则称为线性系统.

系统响应

• 完全响应 $y(t)=T[\{f(t)\},\{x(0)\}]$$y(t) = T\bqty{\Bqty{f(t)}, \Bqty{x(0)}}$.

• 零状态响应 $y_{\text{zs}}(t)=T[\{f(t)\},\left\{0\right\}]$$y_\text{zs}(t) = T\bqty{\Bqty{f(t)}, \Bqty{0}}$.

• 零输入响应 $y_{\text{zi}}(t)=T[\left\{0\right\},\{x(0)\}]$$y_\text{zi}(t) = T\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{x(0)}}$.

动态线性 若动态系统满足以下条件，则称为动态线性系统.

1. 可分解性 $y(t)=y_{\text{zs}}(t)+y_{\text{zi}}(t)$$y(t) = y_\text{zs}(t) + y_\text{zi}(t)$.

2. 零状态线性 $T[\{a{f}_1(t)+b{f}_2(t)\},\left\{0\right\}]=aT[\{f_1(t)\},\left\{0\right\}]+bT[\{f_2(t)\},\left\{0\right\}]$$T\bqty{\Bqty{af_1(t) + bf_2(t)}, \Bqty{0}} = aT\bqty{\Bqty{f_1(t)}, \Bqty{0}} + bT\bqty{\Bqty{f_2(t)}, \Bqty{0}}$.

3. 零输入线性 $T[\left\{0\right\},\{a{f}_1(t)+b{f}_2(t)\}]=aT[\left\{0\right\},\{f_1(t)\}]+bT[\left\{0\right\},\{f_2(t)\}]$$T\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{af_1(t) + bf_2(t)}} = aT\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{f_1(t)}} + bT\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{f_2(t)}}$.

时不变性

1. $f(t)\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }y(t)\stackrel{\text{延}\text{时}}{\to }y(t-\tau )$$f(t) \xrightarrow{系统} y(t) \xrightarrow{延时} y(t - \tau)$.

2. $f(t)\stackrel{\text{延}\text{时}}{\to }f(t-\tau )\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{y}_{\tau }(t)$$f(t) \xrightarrow{延时} f(t - \tau) \xrightarrow{系统} y_\tau(t)$.

3. 若 $y(t-\tau )=y_{\tau }(t)$$y(t - \tau) = y_\tau(t)$，则为时不变.

求解响应

1. 单位冲激响应：$\delta (t-\tau )\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{h}_{\tau }(t)$$\delta(t - \tau) \xrightarrow{系统} h_\tau(t)$.

2. 对于线性系统：$f(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )\mathrm{d}\tau \stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )h_{\tau }(t)\mathrm{d}\tau }}$$f(t) = \inti f(\tau) \delta(t - \tau) \dd{\tau} \xrightarrow{系统} \inti f(\tau) h_\tau(t) \dd{\tau}$.

3. 若线性时不变：$f(t)\stackrel{\text{系}\text{统}}{\to }{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )h(t-\tau )\mathrm{d}\tau =f(t)\ast h(\tau )}$$f(t) \xrightarrow{系统} \inti f(\tau) h(t - \tau) \dd{\tau} = f(t) * h(\tau)$.

1.3.4 系统响应的分解

• 分解一

  • 自由响应 (线性微分方程的齐次解)

  • 强迫响应 (线性微分方程的特解)

• 分解二

  • 零输入响应 $r_{\text{zi}}(t)=H[r^{(k)}(0_{-})]$$r_{\text{zi}}(t) = H[r^{(k)}(0_-)]$.

  • 零状态响应 $r_{\text{zs}}(t)=H[e(t)]$$r_{\text{zs}}(t) = H[e(t)]$.

• 分解三

  • 暂态响应: 极限为零的响应.

  • 稳态响应: 极限不趋于零的响应.

第 2 章 连续时间的时域分析

2.1 经典时域分析

2.1.1 微分方程

见高数笔记最后四页.

微分方程手写笔记

其中特征根又称为系统的 自然频率 或 固有频率.

2.1.2 传输算子

定义 对于 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$$n \in \N^+$, 如下定义微分算子 (当 $n>0$$n > 0$) 与积分算子 (当 $n<0$$n < 0$) 对函数 $r$$r$ 的映射

备注

• 这只是形式上的记号, $p^{-1}$$p\inv$ 并不是 $p$$p$ 的逆, 因为 $p^{-1}p\ne p{p}^{-1}=1$$p\inv p \ne pp\inv = 1$.

• 微分算子 $p$$p$, 若作用于函数, 则不存在逆; 若作用于函数集, 则可以定义其逆.

• 一般来说, 要求 $r$$r$ 是光滑映射, 但在广义函数论中, 可放弃这一假设.

性质 记尖括号表示由尖括号内的集合生成某种代数结构, 则

• $\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N}:p^{m+n}(r)=p^m{p}^n(r),p^{-m-n}(r)=p^{-m}{p}^{-n}(r)$$\forall m, n \in \N: p^{m + n}(r) = p^m p^n (r), p^{-m-n}(r) = p^{-m} p^{-n} (r)$.

• $R_N[p]:=⟨\{a{p}^n\mid a\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}\}⟩$$R_N[p] := \aqty{\Bqty{ap^n \mid a \in \R, n \in \N}}$ 是一个交换幺环, 且 $n\ne 0$$n \ne 0$ 的元素无逆.

• $R_Z[p]:=⟨\{a{p}^n\mid a\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}\}⟩$$R_Z[p] := \aqty{\Bqty{a p^n \mid a \in \R, n \in \Z}}$ 是一个非交换幺环, 且 $n\ne 0$$n \ne 0$ 的元素无逆.

推论 在 $R_Z[p]$$R_Z[p]$ 中,

• 微分算子与积分算子不可交换.

• 正幂多项式的乘法交换律成立.

• 乘法分配律成立.

• 乘法消去律不成立.

定义 对于 $r(t),e(t)\in \mathbb{R}[x]$$r(t), e(t) \in \R[x]$ 和 $N(p),D(p)\in R_N[p]$$N(p), D(p) \in R_N[p]$, 若系统有 $D(p)r(t)=N(p)e(t)$$D(p) r(t) = N(p) e(t)$, 则形式上记该系统的传输函数为 $H(p)={\displaystyle \frac{N(p)}{D(p)}}$$H(p) = \dfrac{N(p)}{D(p)}$.

备注

• 定积分算子为 $p^{-1}$$p\inv$, 它作用于函数上的效果为 $p^{-1}f={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau }$$p\inv f = \dint_{-\infty}^t f(\tau) \dd{\tau}$.

• 不定积分算子 ${\displaystyle \frac{1}{p}}$$\dfrac{1}{p}$, 由传输函数的定义, 有

  $$\begin{array}{crcl}& g(x)& =& {\displaystyle \frac{1}{p}}f(x)\\ \iff & pg(x)& =& f(x)\\ \iff & g(x)& =& {\displaystyle \int f(t)\mathrm{d}t}\end{array}$$

• 传输函数可以看作算子的单值函数, 也可以看作泛函, 即 $H(p)(f(t))$$H(p)(f(t))$. 对于后者, 传输函数不一定是单值的 (这也就是之前我在推导下述结论时发生矛盾的原因).

性质 $F[p]=⟨\{{\displaystyle \frac{A(p)}{B(p)}}|A(p),B(p)\in R_N(p),B(p)\ne 0\}⟩$$F[p] = \aqty{\Bqty{ \left. \dfrac{A(p)}{B(p)} \ \right|\ A(p), B(p) \in R_N(p), B(p) \ne 0 }}$ 是一个非交换幺环, 且只有 $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$$\R\backslash\Bqty{0}$ 可逆.

命题

1. ${\displaystyle \frac{A_2}{B_2}}\cdot {\displaystyle \frac{A_1}{B_1}}f\subseteq {\displaystyle \frac{A_2{A}_1}{B_2{B}_1}}f$$\dfrac{A_2}{B_2} \cdot \dfrac{A_1}{B_1} f \subseteq \dfrac{A_2 A_1}{B_2 B_1} f$.

2. ${\displaystyle \frac{1}{B_2}}\cdot {\displaystyle \frac{A}{B_1}}f={\displaystyle \frac{A}{B_1{B}_2}}f$$\dfrac{1}{B_2} \cdot \dfrac{A}{B_1} f = \dfrac{A}{B_1 B_2} f$.

3. $C\cdot {\displaystyle \frac{A}{BC}}f={\displaystyle \frac{A}{B}}f\subseteq {\displaystyle \frac{1}{C}}\cdot {\displaystyle \frac{AC}{B}}f={\displaystyle \frac{AC}{BC}}f$$C \cdot \dfrac{A}{BC} f = \dfrac{A}{B} f \subseteq \dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{AC}{B} f = \dfrac{AC}{BC} f$.

4. ${\displaystyle \frac{A_{1}C}{B_2}}\cdot {\displaystyle \frac{A_2}{B_{1}C}}f\subseteq {\displaystyle \frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}}f\subseteq C\cdot {\displaystyle \frac{1}{B_2}}\cdot {\displaystyle \frac{A_1{A}_2}{B_{1}C}}f$$\dfrac{A_1 C}{B_2} \cdot \dfrac{A_2}{B_1 C} f \subseteq \dfrac{A_1 A_2}{B_1 B_2} f \subseteq C \cdot \dfrac{1}{B_2} \cdot \dfrac{A_1 A_2}{B_1 C} f$.

5. ${\displaystyle \frac{A}{B}}f\subseteq {\displaystyle \frac{A}{BC}}\cdot Cf$$\dfrac{A}{B} f \subseteq \dfrac{A}{BC} \cdot C f$.

传输算子的应用.

2.1.3 算子电抗

• 算子阻抗 $R$$R$.

• 算子感抗 $Lp$$Lp$.

• 算子容抗 ${\displaystyle \frac{1}{Cp}}$$\dfrac{1}{Cp}$.

2.2 零输入响应与零状态响应

对于线性微分方程 ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{A}_i{r}^{(i)}(t)=e(t)}$$\d\sum_{i=0}^n A_i r^{(i)}(t) = e(t)$,

• 零输入响应

  • 概念

    • 指激励为零时的响应, 即 $e(t)=0$$e(t) = 0$ 时.

    • 零输入响应可表达为 $r_{\text{zi}}(t)=H[r^{(k)}(0_{-})]$$r_{\text{zi}}(t) = H[r^{(k)}(0_-)]$.

  • 求解

    • 未知初值时, 即微分方程的齐次通解.

    • 已知初值 $\{r^{(k)}(0_{-})\}$$\Bqty{r^{(k)}(0_-)}$ 时, 代入即可求得零输入响应.

  • 备注：此时有 $r^{(k)}(0_{+})=r^{(k)}(0_{-})$$r^{(k)}(0_+) = r^{(k)}(0_-)$.

• 零状态响应

  • 概念

    • 指初值 (包括各阶导数) 为零时的响应, 即 $r^{(k)}(0_{-})=0$$r^{(k)}(0_-) = 0$ 时.

    • 零状态响应可表达为 $r_{\text{zs}}(t)=H[e(t)]$$r_{\text{zs}}(t) = H[e(t)]$.

  • 激励的性质

    • 冲激函数及其各阶导数的响应可以使得 $r^{(k)}(0_{+})\ne r^{(k)}(0_{-})=0$$r^{(k)}(0_+) \ne r^{(k)}(0_-) = 0$,

      并且这些函数不会影响 $0_{+}$$0_+$ 之后的响应.

    • 对于取值有限的信号 (包括部分奇异信号), 均有 $r^{(k)}(0_{+})=r^{(k)}(0_{-})=0$$r^{(k)}(0_+) = r^{(k)}(0_-) = 0$.

      并且这些函数会影响 $0_{+}$$0_+$ 之后的响应.

  • 思路一: 对时间分段

    • 从 $0_{-}$$0_-$ 到 $0_{+}$$0_+$, 只需考虑冲激函数及其各阶导数, 得出 $r^{(k)}(0_{+})-r^{(k)}(0_{-})$$r^{(k)}(0_+) - r^{(k)}(0_-)$.

      • 思路一: 根据激励中冲激函数及其各阶导的形式, 设出响应 $\sum _k{C}_k{\delta }^{(k)}(t)$$\sum_k C_k \delta^{(k)}(t)$, 用待定系数法求出系数, 从而得到 $0_{+}$$0_+$ 时的状态.

      • 思路二: 根据激励中冲激函数及其各阶导的形式, 如上得出响应的形式, 但不求出系数, 而是对微分方程两端多次积分, 求出 $0_{+}$$0_+$ 时的状态.

      • 思路三: 利用传输算子法, 求出响应后得到 $0_{+}$$0_+$ 时的状态.

    • 从 $0_{+}$$0_+$ 到 $+\mathrm{\infty }$$+\infty$, 只需考虑其它函数, 注意此时初值为 $r^{(k)}(0_{+})$$r^{(k)}(0_+)$, 并且此时 $r^{(k)}(0_{-})=0$$r^{(k)}(0_-) = 0$.

  • 思路二: 对激励分类

    • 对于冲激函数及其各阶导数

      • 思路一: 根据激励中冲激函数及其各阶导的形式, 设出响应 $\sum _k{C}_k{r}^{(k)}(t)$$\sum_k C_k r^{(k)}(t)$, 用待定系数法求出系数.

      • 思路二: 利用传输算子法求出响应.

    • 对于其它函数

      • 同高数中的计算方法.

      • 例如, 对于阶跃函数、指数函数和三角函数的组合, 同书中表格中设出响应后, 用待定系数法求出系数.

    • 之后直接将这两类激励信号的响应叠加即可. (只有初值为零时才可这么做)

2.3 冲激响应与阶跃响应

2.3.1 相关概念

• 定义

  • 单位冲激信号 $\delta (t)$$\delta(t)$ 的响应记为 $h(t)$$h(t)$.

  • 单位阶跃信号 $u(t)$$u(t)$ 的响应记为 $g(t)$$g(t)$.

  • 单位冲激响应又称为系统的时域特征描述或系统函数.

• 关系

  • $h(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}g(t)}{\mathrm{d}t}}$$h(t) = \ddv{g(t)}{t}$.

  • $g(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}h(\tau )\mathrm{d}\tau }$$g(t) = \dint_{-\infty}^t h(\tau) \dd{\tau}$.

  • $g(t)={\displaystyle {\int }_{0_{-}}^{t}h(\tau )\mathrm{d}\tau }$$g(t) = \dint_{0_-}^t h(\tau) \dd{\tau}$. (对于零状态响应)

2.3.2 经典法求解

对于 ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{C}_i{h}^{(i)}(t)=\sum _{i=0}^n{E}_i{\delta }^{(i)}(t)}$$\d \sum_{i=0}^n C_i h^{(i)}(t) = \sum_{i=0}^n E_i \delta^{(i)}(t)$, 若特征方程没有重根, 则

1. 当 $n>m$$n > m$ 时, 设 $h(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{A}_i{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}u(t)}$$h(t) = \insum A_i \e^{\lambda _i t} u(t)$.

2. 当 $n\le m$$n \le m$ 时, 设 $h(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{A}_i{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}u(t)+\sum _{i=0}^{m-n}{B}_i{\delta }^{(i)}(t)}$$h(t) = \insum A_i \e^{\lambda _i t} u(t) + \sum_{i=0}^{m-n} B_i \delta^{(i)}(t)$.

若有重根, 则同 2.1.1 节处理.

2.3.3 传输算子法

思路 将传输算子展开为部分分式, 然后分别求解.

备注 从我理解的传输算子来看, 我不认为它可以部分分式展开, 因为上述 $R_N[p]$$R_N[p]$ 含零因子从而无消去律. 但是大家似乎约定了导数的逆运算为定积分而非不定积分, 尽管这个约定并没有自圆其说, 然而并不影响实际应用. 不想再折腾这玩意儿了, 还有其他事情要做, 还有其它鱼要摸. 等以后有空了、心血来潮了, 再来思考这里的严谨性吧.

• ${\displaystyle \frac{k}{p-\lambda }}\delta (t)=k{\mathrm{e}}^{\lambda t}u(t)$$\dfrac{k}{p - \lambda} \delta(t) = k \e^{\lambda t} u(t)$.

• ${\displaystyle \frac{k}{(p-\lambda {)}^r}}\delta (t)={\displaystyle \frac{k{t}^{r-1}}{(r-1)!}}{\mathrm{e}}^{\lambda t}u(t)$$\dfrac{k}{(p-\lambda)^r} \delta(t) = \dfrac{k t^{r-1}}{(r-1)!} \e^{\lambda t} u(t)$.

2.4 卷积积分及其性质

2.4.1 函数的卷积积分

定义 1 函数 $f(t)$$f(t)$ 和 $g(t)$$g(t)$ 的卷积定义为

定义 2 函数 $f(t)$$f(t)$ 的卷积逆 $f^{\ast -1}(t)$$f^{*-1}(t)$ 定义为满足 $(f^{\ast -1}\ast f)(t)=\delta (t)$$(f^{*-1} * f)(t) = \delta(t)$ 的函数.

定义 3 函数 $f(t)$$f(t)$ 的卷积幂定义为

备注 第二个定义是为了与其它概念区分而胡乱定义的, 第三个定义是纯粹是为了推广定义 2, 没什么用. 于是有

性质 1 基本代数性质

1. 交换律 $f\ast g=g\ast f$$f * g = g * f$.

2. 结合律 $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$$(f * g) * h = f * (g * h)$.

3. 分配律 $f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$$f*(g+h) = f*g + f*h$.

性质 2 伸缩与变量代换 ($a\ne 0$$a \ne 0$)

1. 数乘 $a(f\ast g)=(af)\ast g$$a (f * g) = (af) * g$.

2. 时延 $f(t-t_1)\ast g(t-t_2)=(f\ast g)(t-t_1-t_2)$$f(t - t_1) * g(t - t_2) = (f*g)(t - t_1 - t_2)$.

3. 尺度 $f(at)\ast g(at)={\displaystyle \frac{1}{\left|a\right|}}(f\ast g)(at)$$f(at) * g(at) = \dfrac{1}{\vqty{a}} (f*g)(at)$.

性质 3 微积分与等效变换

1. 微分 $(f\ast g{)}^{\prime }=f^{\prime }\ast g$$(f * g)' = f' * g$.

2. 积分 $(f\ast g{)}^{(-1)}=f^{(-1)}\ast (g)$$(f*g)^{(-1)} = f^{(-1)} * (g)$.

3. 等效 $f\ast g=f^{(-1)}\ast g^{\prime }$$f * g = f^{(-1)} * g'$.

性质 4 冲激函数及其微积分 ($n,m\in \mathbb{Z}$$n, m \in \Z$)

1. $(f\ast g{)}^{(n)}=f^{(m)}\ast f^{(n-m)}$$(f*g)^{(n)} = f^{(m)} * f^{(n-m)}$.

2. $f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$$f(t) * \delta(t - t_0) = f(t - t_0)$.

3. $f(t)\ast {\delta }^{(n)}(t-t_0)=f^{(n)}(t-t_0)$$f(t) * \delta^{(n)}(t-t_0) = f^{(n)}(t-t_0)$.

性质 5 卷积的 Fourier 变换 ($\mathcal{F}[f]\not\equiv 0$$\cal F[f] \not\equiv 0$)

1. $\mathcal{F}[f\ast g]=\mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[g]$$\cal F[f*g] = \cal F[f] \cdot \cal F[g]$.

2. $\mathcal{F}[f\cdot g]={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\mathcal{F}[f]\ast \mathcal{F}[g]$$\cal F[f \cdot g] = \dfrac{1}{2\pi} \cal F[f] * \cal F[g]$.

3. $f^{\ast -1}={\mathcal{F}}^{-1}[\mathcal{F}[\delta ]\cdot \mathcal{F}[f]]$$f^{*-1} = \cal F\inv [\cal F[\delta] \cdot \cal F[f]]$.

4. $f\ast g=h\Rightarrow g={\mathcal{F}}^{-1}[\mathcal{F}[h]/\mathcal{F}[f]]$$f*g=h \RA g = \cal F\inv[\cal F[h] / \cal F[f]]$.

性质 6 记 $G$$G$ 为实函数全体, 则 $⟨G,+,\ast ⟩$$\aqty{G, +, *}$ 是交换幺环.

2.4.2 卷积积分的应用

1 计算零状态响应

若单位冲激响应为 $h(t)$$h(t)$, 则信号 $f(t)$$f(t)$ 的零状态响应为 $f(t)\ast h(t)$$f(t) * h(t)$.

若单位阶跃响应为 $g(t)$$g(t)$, 则信号 $f(t)$$f(t)$ 的零状态响应为 $f^{\prime }(t)\ast g(t)$$f'(t) * g(t)$.

2 计算和的概率密度函数

若 $(X_1,X_2)$$(X_1, X_2)$ 的联合密度函数为 $f(x_1,x_2)$$f(x_1, x_2)$, 则 $Y=X_1+X_2$$Y = X_1 + X_2$ 的密度函数为

2.4.3 卷积积分的计算

除了利用 2.4.1 中的性质, 在实际计算中可以利用示性函数或图解法来确定积分限并分类讨论.

这两种方法本质上是一样的, 只是前者侧重代数, 后者侧重几何.

2.4.4 常用的卷积积分

• $G_{{\tau }_1}(t)\ast G_{{\tau }_2}(t)=|{\tau }_1+{\tau }_2|T_{\frac{{\tau }_1+{\tau }_2}{2}}(t)-|{\tau }_1-{\tau }_2|T_{\frac{{\tau }_1-{\tau }_2}{2}}(t)$$G_{\tau_1}(t) * G_{\tau_2}(t) = \vqty{\tau_1 + \tau_2} T_\tfrac{\tau_1 + \tau_2}{2}(t) - \vqty{\tau_1 - \tau_2} T_\tfrac{\tau_1 - \tau_2}{2}(t)$.

  • 当 ${\tau }_1\ne {\tau }_2$$\tau_1 \ne \tau_2$ 时为梯形信号，高为 $min({\tau }_1,{\tau }_2)$$\min(\tau_1, \tau_2)$, 上底为 $|{\tau }_1-{\tau }_2|$$\vqty{\tau_1 - \tau_2}$, 下底为 ${\tau }_1+{\tau }_2$$\tau_1 + \tau_2$.

  • 当 ${\tau }_1={\tau }_2=\tau$$\tau_1 = \tau_2 = \tau$ 时为退化为三角波，高为 $\tau$$\tau$，底为 $2\tau$$2\tau$.

• $\mathrm{Sa}({\omega }_{1}t)\ast \mathrm{Sa}({\omega }_{2}t)={\displaystyle \frac{\pi \mathrm{Sa}(min({\omega }_1,{\omega }_2)t)}{max({\omega }_1,{\omega }_2)}}$$\Sa(\omega_1 t) * \Sa(\omega_2 t) = \dfrac{ \pi \Sa(\min(\omega_1, \omega_2) t) }{\max(\omega_1, \omega_2)}$.

第 3 章 连续时间的频域分析

3.1 信号的正交分解

3.1.1 正交分解方式

• 正交分解

  • 实函数: (完备) 正交函数集及其例子

  • 复函数: (完备) 正交函数集及其例子

  • 最小均方误差

• 傅里叶级数

  • 三角形式

  • 指数形式

  • 对称性

• 其它正交分解方式 (附录)

  • 勒让德多项式

  • 雅可比多项式

  • 切比雪夫多项式 (之前一个 up 好像更过, 看看 b 站专栏)

3.1.2 正交函数集合

定义 设 $\{{\phi }_n(t),n\in S\subseteq \mathbb{Z}\}$$\Bqty{\varphi_n(t), n \in S \subseteq \Z}$ 是复函数集, $\mathrm{\forall }n\in S:K_i\ne 0$$\forall n \in S \colon K_i \ne 0$, 且

则该复函数集称为 $(t_1,t_2)$$(t_1, t_2)$ 上的 正交函数集. 进一步, 若对于不属于该复函数集的任何非零函数 $\varphi (t)$$\phi(t)$, 均有

则称该复函数集为 $(t_1,t_2)$$(t_1, t_2)$ 上的 完备正交函数集.

例子 以下区间均为 $(t_0,t_0+{\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}),t_0\in \mathbb{R},\omega \in {\mathbb{R}}^{+}$$\pqty{t_0, t_0 + \dfrac{2\pi}{\omega}}, t_0 \in \R, \omega \in \R^+$.

• 正交函数集

  • $\{\cos \left(n\omega t\right)\mid n\in \mathbb{N}\}$$\Bqty{\cos(n\omega t) \mid n \in \N}$.

  • $\{\sin \left(n\omega t\right)\mid n\in \mathbb{N}\}$$\Bqty{\sin(n\omega t) \mid n \in \N}$.

• 完备正交函数集

  • $\{\cos \left(n\omega t\right),\sin \left(m\omega t\right)\mid n,m\in \mathbb{N}\}$$\Bqty{\cos(n \omega t), \sin(m \omega t) \mid n, m \in \N}$.

  • $\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}n\omega t}\mid n\in \mathbb{Z}\}$$\Bqty{\e^{\j n \omega t} \mid n \in \Z}$.

此外, 以下函数也可构造完备正交函数集:

• 勒让德多项式

• 雅可比多项式

• 切比雪夫多项式

• 沃尔什函数

• 小波变换基函数

3.1.3 最小均方误差

对于 $(t_1,t_2)$$(t_1, t_2)$ 上的正交函数集 $\{{\phi }_n(t),n\in S\}$$\Bqty{\varphi_n(t), n \in S}$ 和任意函数 $f(t)$$f(t)$, 将其表示为

并令 ${\epsilon }_N={\displaystyle \frac{1}{t_2-t_1}}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{e}^2(t)\mathrm{d}t}$$\ve_N = \dfrac{1}{t_2 - t_1} \dint_{t_1}^{t_2} e^2(t) \dt$ 最小, 即 ${\displaystyle \frac{\partial {\epsilon }_N}{\partial C_i}=0(i\in S)}$$\d\pdv{\ve_N}{C_i} = 0\ (i \in S)$, 于是

令 $n\to \mathrm{\infty }$$n \to \infty$, 若 ${\epsilon }_N\to 0$$\ve_N \to 0$, 则 $f(t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\phi }_n(t)}$$f(t) = \nsum C_n \varphi_n(t)$, 称为 广义傅里叶级数展开.

3.2 傅里叶级数分析

Fourier 级数及其变换的笔记.

3.2.1 三角形式

若周期函数 $f(t)$$f(t)$ 的周期为 $T$$T$, 角频率 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$, 且满足 Dirichlet 条件, 则可展开为

其中

也可以将上式表达为

3.2.2 指数形式

代入欧拉公式, 得

若记 $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{+}:a_{-n}=a_n,b_0=0,b_{-n}=-b_n$$\forall n \in \N^+ \colon a_{-n} = a_n, b_0 = 0, b_{-n} = -b_n$, 则有

3.2.3 对称性质

设周期函数 $f(t)$$f(t)$ 的周期为 $T$$T$.

• 偶函数

  • $f(t)=f(-t)$$f(t) = f(-t)$.

  • $b_n=0$$b_n = 0$.

• 奇函数

  • $f(t)=-f(-t)$$f(t) = -f(-t)$.

  • $a_n=0$$a_n = 0$.

• 偶谐函数

  • $f(t)=f(t+{\displaystyle \frac{T}{2}})$$f(t) = f\pqty{t + \dfrac{T}{2}}$.

  • $a_{2k+1}=b_{2k+1}=0,k\in \mathbb{N}$$a_{2k + 1} = b_{2k + 1} = 0, k \in \N$.

• 奇谐函数

  • $f(t)=-f(t+{\displaystyle \frac{T}{2}})$$f(t) = -f\pqty{t + \dfrac{T}{2}}$.

  • $a_{2k}=b_{2k}=0,k\in \mathbb{N}$$a_{2k} = b_{2k} = 0, k \in \N$.