展开思路

• 思路 1 (待定系数法): 别用.

• 思路 2 (分式求导) & 思路 3 (分母求导)

  • 若 $F(s)$ 是真分式, 且分母无重根, 则
  • 进一步, 更一般的

  注意: 蓝色标出的第一式中, 求导是对有理分式整体, 而不是分别对分子和分母.

• 思路 4 (多次分解)

  • 将有理分式表示为 $R(z) = G(z) + H(z)$, 其中 $G(z)$ 是常数项为零的多项式, 称为奇部, $H(z)$ 在 $\infty$ 处有限.
  • 求出所有极点, 记为 $\soneto{\beta}{q}$.
  • 类似的, 有 $R\pqty{\beta_j + \dfrac{1}{\xi}} = G_j(\xi) + H_j(\xi)$, 其中 $G_j(\xi)$ 是常数项为零的多项式.
  • 于是 $R(z) = G(z) + \dsum_{j=1}^q G_j \pqty{\dfrac{1}{z - \beta_j}}$.

  证明见复分析教材.

计算技巧

• 实系数多项式的复根必与其共轭复数成对存在, 并且实系数分式分母的任意重共轭复根对应的待定系数共轭.

• 二次有理分式 $F(s) = \dfrac{A s + B}{\color{orange} s^2 + bs +c}$,

  • 当 $\Delta > 0$ 时,

    • $F(s) = \dfrac{A s_1 + B}{s_1 -s_2} \dfrac{1}{\color{blue} s-s_1} + \dfrac{A s_2 + B}{s_2-s_1} \dfrac{1}{\color{blue} s-s_2}$,
    • $f(t) = \dfrac{A s_1 + B}{s_1 - s_2} \e^{s_1t} + \dfrac{A s_2 + B}{s_2-s_1} \e^{s_2t}$.

  • 当 $\Delta = 0$ 时,

    • $F(s) = \dfrac{A}{\color{blue} s + \tfrac{b}{2}} + \dfrac{B - \tfrac{Ab}{2}}{\color{blue} \pqty{s + \tfrac{b}{2}}^2}$.
    • $f(t) = \bqty{ 1 + \pqty{B - \dfrac{Ab}{2}} t } \e^{\tfrac{b}{2} t}$.

  • 当 $\Delta < 0$ 时,

    • $F(s) = \dfrac{ A \pqty{s + \cfrac{b}{2}} + \pqty{B - \cfrac{Ab}{2}} }{\color{blue} \pqty{s + \cfrac{b}{2}}^2 + \cfrac{-\Delta}{4} }$.
    • $f(t) = \bqty{ A \cos\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2} t + \dfrac{2B - Ab}{\sqrt{-\Delta}} \sin\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2} t } \e^{-\tfrac{b}{2} t}$.

  • 备注:

    • 用哪种方法都是可以的, 比如,

      • 第一种情况可以用第三种算法, 只不过要用到 $\e^{\i t} = \cos t + \i\sin t$;
      • 第三种情况也可以用第一种算法, 只不过要用到 $\sin\i t = \i\sinh t,\, \cos \i t = \i \cosh t$.
      • 附: 三角与双曲三角及其反函数的转换.

    • 对于含有一重共轭复根 $z = \alpha + \beta \i$ 与 $\bar{z}$ 的高次有理分式, 设拆分后得到 $\dfrac{As + B}{(s - z)(s - \bar z)}$, 则有

      解之即得 $\color{brown}A$ 与 $\color{brown}B$, 从而使用上述 $\Delta < 0$ 时的思路求解.

      但该方法在求解正弦系数时常常不够简便, 故推荐使用下述方法:

• 高次有理分式 $f(t) = \dfrac{F_1(t)}{F_{3}(t) \color{orange} (s - z)^k (s - \bar{z})^k}$,

  • 记 $z = \alpha + \beta \j$, 且 $\dfrac{1}{(s - z)^k}$ 的系数为 $K = a + b \j = \vqty{K} \e^{\theta \j}$, 则

    1. $\dfrac{1}{(s - \bar{z})^k}$ 的系数为 ${\color{blue}\overline{K}} = a - b\j = \vqty{K} e^{-\theta \j}$, 且
    2. $\mathscr{L} \bqty{ \dfrac{K}{(s - z)^k} + \dfrac{\overline{K}}{(s - \bar{z})^k} } = \dfrac{ t^{k - 1} \e^{-\alpha t} }{k!} \cdot \color{blue} 2 \vqty{K} \cos\pqty{ \beta t + \theta }$.

  • 备注:

    • 其中 $F_1(t)$ 与 $F_3(t)$ 可以含有或不含有 $(s - \alpha \pm \beta \j)$ 的因式, 即 $k$ 可以小于或者大于最高次幂, 对于后者有 $K = 0$.
    • 理论上还可以将任意有理分式拆分为一次或二次多项式的若干次幂倒数和, 从而避免处理复根, 但这样做并不简便.
    • 手算 $K$ 时, 可以利用秦九韶算法简化计算.

• 方法总结:

  • 一次有理分式: 直接得出结果.

  • 二次有理分式: 如上分类讨论.

  • 高次有理分式

    • 无复根: 拆成单根分式 (重根同理).
    • 有复根: 直接列写结果 (重根同理).

部分分式展开法的应用

• 求拉普拉斯逆变换

  • 详见上述计算技巧.

  • 如果是考试的话, 可以用计算器求出四次及以内多项式的根, 然后通过变量赋值的方式快速求解.

  • 如果不是考试的话, 直接使用 MATLAB 计算:

    1. 部分分式展开法

       % a 与 b 均为多项式系数向量
       [r, p, k] = residue(b, a)	% 展开
       [b, a] = residue(r, p, k)	% 通分
       

    2. 拉普拉斯逆变换

       syms s
       Lf = poly2sym(b, s) / poly2sym(a, s);
       f = ilaplace(Lf)
       

• 定积分或不定积分

  • 详见上述展开思路.
  • 也可以使用奥斯特罗格拉茨基方法.
  • 如果不是考试的话, 直接使用 Geogebra 计算.