信号与系统笔记附录

A 附录A.1 程序代码A.1.1 MATLAB 代码A.1.2 Mathematica 代码A.2 习题解答A.2.1 课后题解答A.2.2 练习题解答A.3 翻转课堂A.3.1 翻转课堂讲义A.3.2 翻转课堂解答A.4 常用积分A.4.1 Dirichlet 积分A.4.2 Euler 积分A.4.3 Borwein 积分A.5 三种卷积A.5.1 函数的卷积积分A.5.2 序列的卷积和A.5.2 狄利克雷卷积A.6 符号对应表A.7 常用的卷积积分A.7.1 门函数A.7.2 幂函数A.7.3 指数函数A.7.4 三角函数A.8 常用函数的傅里叶变换A.8.1 记号约定A.8.2 冲激信号A.8.3 阶跃信号A.8.4 其它信号A.8.5 不常用的A.9 常用单边拉普拉斯变换A.9.1 复数域部分分式展开A.9.2 实数域部分分式展开A.9.3 三角与双曲三角函数A.9.4 有关伽马函数的变换A.9.5 特殊函数拉普拉斯变换A.9.6 周期函数拉普拉斯变换A.10 常用序列的卷积和A.11 常用序列的 z 变换A.11.1 常用的离散序列A.11.2 三角与双曲三角A.11.3 逆变换常用公式A.11.4 其它的 z 变换

A 附录

A.1 程序代码

A.1.1 MATLAB 代码

MATLAB 代码.

A.1.2 Mathematica 代码

Mathematica 代码.

A.2 习题解答

A.2.1 课后题解答

季策老师的教材：

A.2.2 练习题解答

第一章测试解答.
第二章测试解答.
第三章练习解答.
期中考试题解答.
第四章测试解答.
五六章练习解答.
期末真题一解答.
期末真题二解答.

A.3 翻转课堂

A.3.1 翻转课堂讲义

A.3.2 翻转课堂解答

A.4 常用积分

A.4.1 Dirichlet 积分

\begin{aligned} Sa (x) & := \frac{\sin x}{x} = {Si}^{'} (x), \\ Si (x) & := \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t . \end{aligned}

\begin{aligned} \int_{0}^{+ \infty} Sa (x) d x & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x = \int_{0}^{+ \infty} d x \int_{0}^{+ \infty} e^{- x y} \sin x d y \\ = \int_{0}^{+ \infty} d y \int_{0}^{+ \infty} e^{- x y} \sin x d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d y}{1 + y^{2}} = \frac{π}{2} . \end{aligned}

\begin{aligned} \int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} Sa (x) Sa (x + y) d x d y \\ = \int_{0}^{+ \infty} Sa (x) d x \int_{x}^{+ \infty} Sa (u) d u \\ = \int_{0}^{+ \infty} Sa (x) d x (\int_{0}^{+ \infty} Sa (u) d u - \int_{0}^{x} Sa (u) d u) \\ = \frac{π^{2}}{4} - \int_{0}^{+ \infty} Si (x) {Si}^{'} (x) d x = \frac{π^{2}}{8} . \end{aligned}

A.4.2 Euler 积分

参考概统笔记附录.

A.4.3 Borwein 积分

\forall a_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq 1 : \int_{- \infty}^{+ \infty} \prod_{i = 1}^{n} \frac{\sin (a_{i} π t)}{a_{i} π t} d t = 1.

参考 3b1b 的科普视频: 研究人员觉得这里有个bug... (Borwein积分).

A.5 三种卷积

定义

函数的卷积积分 $(f * g)(t) = \intoi f(t - s) g(s) \ds$ .
序列的卷积和 $(f * g)[n] = \dsum_{i = -\infty}^{+\infty} f[n - i] g[i]$ .
狄利克雷卷积 $(f * g)(n) = \dsum_{d \mid n} f\pqty{\dfrac{n}{d}} g(d)$ .

备注

$(F * G)(x) = \inti F(x - u) \dd{G(u)}$ $(F*G)(x) = \dint_{-\infty}^x (f * g) (t) \dt$ $%为了以示区分, 序列的卷积和用中括号, 其余用小括号; 函数的卷积积分的自变量是连续的, 其余是离散的; 分布的卷积积分中, 函数均使用大写字母表示.$
在计算机科学里, 有时也会上述序列的卷积和的结果的一部分定义为序列的卷积, 这里也不再讨论.

性质

这三种卷积都有如下性质:

$f * g = g * f$ .
$(f * g) * h = f * (g * h)$ .
$f*(g+h) = f*g + f*h$ .
$a (f * g) = (af) * g$ .
平移
- $f(t - t_1) * g(t - t_2) = (f*g)(t - t_1 - t_2)$ .
- $f\pqty{\dfrac{n}{n_1}} * g\pqty{\dfrac{n}{n_2}} = (f * g) \pqty{\dfrac{n}{n_1 n_2}}$ . (记非整数处的取值为零)

第一种卷积还有如下性质:

$(f * g)' = f' * g$ .
$(f*g)^{(-1)} = f^{(-1)} * (g)$ .
$f * g = f^{(-1)} * g'$ .

第二种卷积还有如下性质:

差分
- $\nabla (f * g) = (\nabla f) * g$ .
- $\Delta (f * g) = (\Delta f) * g$ .
$\sum (f * g) = \pqty{\dsum f} * g$ .
$f * g = \pqty{\dsum f} * \pqty{\nabla g}$ .

A.5.1 函数的卷积积分

A.5.2 序列的卷积和

之前合在一起写的, 现在想分开来写了, 但是又懒得整理 (捂脸), 以后再说吧.

A.5.2 狄利克雷卷积

A.6 符号对应表

物理意义	符号表示	物理意义	符号表示
信号激励	$x(t), e(t), f(t)$	单位阶跃信号	$1(t), u(t), \ve(t)$
系统响应	$y(t), r(t)$	单位冲激信号	$\delta(t)$
零状态响应	$r_\text{zs}(t), f_x(t)$	单位阶跃响应	$g(t)$
零输入响应	$r_\text{zi}(t), f_e(t)$	单位冲激响应	$h(t)$

其它约定

$I_A$ $\bb I\Bqty{A}$ 表示示性函数.
$f^n(x)$ 表示函数的幂而非复合.

A.7 常用的卷积积分

A.7.1 门函数

\begin{aligned} f (t) * δ (t) & = f (t), \\ G_{τ} (t) * G_{τ} (t) & = τ T_{τ} (t), \\ G_{τ_{1}} (t) * G_{τ_{2}} (t) & = | τ_{1} + τ_{2} | T_{\frac{τ_{1} + τ_{2}}{2}} (t) - | τ_{1} - τ_{2} | T_{\frac{τ_{1} - τ_{2}}{2}} (t) . \end{aligned}

A.7.2 幂函数

\begin{aligned} u (t) * u (t) & = t u (t), \\ u (t) * t^{n} u (t) & = \frac{t^{n + 1}}{n + 1} u (t), \\ t^{α - 1} u (t) * t^{β - 1} u (t) & = B (α, β) t^{α + β + 1} u (t) . \end{aligned}

A.7.3 指数函数

\begin{aligned} u (t) * e^{α t} u (t) & = \frac{e^{α t} - 1}{α} u (t), \\ e^{α t} u (t) * e^{β t} u (t) & = \frac{e^{α t} - e^{β t}}{α - β} u (t), \\ e^{α t} u (t) * t^{n - 1} u (t) & = \frac{γ (n, α t)}{α^{n}} e^{α t} u (t) . \end{aligned}

A.7.4 三角函数

角频率不同

\begin{aligned} \sin (a t) u (t) * \sin (b t) u (t) & = \frac{a \sin (b t) - b \sin (a t)}{a^{2} - b^{2}} u (t), \\ \sin (a t) u (t) * \cos (b t) u (t) & = \frac{a \cos (b t) - a \cos (a t)}{a^{2} - b^{2}} u (t), \\ \cos (a t) u (t) * \cos (b t) u (t) & = \frac{a \sin (a t) - b \sin (b t)}{a^{2} - b^{2}} u (t) . \end{aligned}

角频率相同

\begin{aligned} \sin (ω t) u (t) * \sin (ω t) u (t) & = \frac{\sin (ω t) - ω t \cos (ω t)}{2 ω} u (t), \\ \sin (ω t) u (t) * \cos (ω t) u (t) & = \frac{t \sin (ω t)}{2} u (t), \\ \cos (ω t) u (t) * \cos (ω t) u (t) & = \frac{\sin (ω t) + ω t \cos (ω t)}{2 ω} u (t) . \end{aligned}

A.8 常用函数的傅里叶变换

A.8.1 记号约定

门函数
- $G_\tau(t) = \bb I \Bqty{ -\dfrac{\tau}{2} < t < \dfrac{\tau}{2} } = u\pqty{ t + \dfrac{\tau}{2} } - u\pqty{ t - \dfrac{\tau}{2} }$ .
- $G_\tau(t) = \dfrac{\sgn(\omega_0 + \omega) + \sgn(\omega_0 - \omega)}{2}$ .
- $-\dfrac{\tau}{2}$ $\dfrac{\tau}{2}$ .
- 即 HeavisidePi[t/\[Tau]]
三角波
- $T_\tau(t) = \pqty{1 - \vqty{\dfrac{t}{\tau}}} G_{2\tau}(t)$ .
- $-\tau$ $\tau$ .
- 即 HeavisideLambda[t\[Tau]]
符号函数
- $\sgn(t) = \bb I\Bqty{t > 0} - \bb I\Bqty{t < 0} = 2 u(t) - 1$ .
- 即 Sign[t]
$\delta_T(t) = \nsuminf \delta(t - n T)$ .

备注

可以由时移、频移、尺度变换得出的性质, 不再列出 (比如复指数信号的傅里叶变换).
$n, k \in \N$ , 且表达式在有意义时成立.
$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}, \alpha > 0$ .

A.8.2 冲激信号

\begin{array}{rclrcl} δ (t) & \leftrightarrow & 1, & 1 & \leftrightarrow & 2 π δ (ω), \\ δ^{(n)} (t) & \leftrightarrow & (j ω)^{n}, & t^{n} & \leftrightarrow & 2 π j^{n} δ^{(n)} (ω), \\ t^{k} δ^{(n)} (t) & \leftrightarrow & (n)_{(k)} j^{n + k} ω^{n - k}, & t^{n} & \leftrightarrow & \frac{2 π j^{n} (- 1)^{k}}{(n + k)_{(k)}} ω^{k} δ^{(n + k)} (ω), \\ δ_{T_{0}} (t) & \leftrightarrow & \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} e^{- j ω n T_{0}}, & δ_{T_{0}} (t) & \leftrightarrow & ω_{0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (ω - n ω_{0}), \end{array}

证明

A.8.3 阶跃信号

\begin{array}{rclrcl} u (t) & \leftrightarrow & π δ (ω) + \frac{1}{j ω}, & e^{- α t} u (t) & \leftrightarrow & \frac{1}{α + j ω}, \\ t^{n} u (t) & \leftrightarrow & π j^{n} δ^{(n)} (ω) + \frac{n!}{(j ω)^{n + 1}}, & t^{n} e^{- α t} u (t) & \leftrightarrow & \frac{n!}{(α + j ω)^{n + 1}}, \\ sgn (t) & \leftrightarrow & \frac{2}{j ω}, & \frac{1}{t} & \leftrightarrow & - j π sgn (ω), \\ t^{n} sgn (t) & \leftrightarrow & \frac{2 \cdot n!}{(j ω)^{n + 1}}, & \frac{1}{t^{n}} & \leftrightarrow & \frac{π ω^{n - 1}}{j^{n} (n - 1)!} sgn (ω), \end{array}

证明

A.8.4 其它信号

\begin{array}{rclrcl} G_{τ} (t) & \leftrightarrow & τ Sa (\frac{ω τ}{2}), & Sa (ω_{0} t) & \leftrightarrow & \frac{π}{ω_{0}} G_{2 ω_{0}} (ω), \\ T_{τ} (t) & \leftrightarrow & τ {Sa}^{2} (\frac{ω τ}{2}), & {Sa}^{2} (ω_{0} t) & \leftrightarrow & \frac{π}{ω_{0}} T_{2 ω_{0}} (ω), \\ e^{- α | t |} & \leftrightarrow & \frac{1}{α + j ω} + \frac{1}{α - j ω} = \frac{2 α}{α^{2} + ω^{2}}, & t^{n} e^{- α | t |} & \leftrightarrow & \frac{n!}{(α + j ω)^{n + 1}} + \frac{(- 1)^{n} n!}{(α - j ω)^{n + 1}}, \\ \cos (ω_{0} t) & \leftrightarrow & π [δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})], & \sin (ω_{0} t) & \leftrightarrow & j π [δ (ω + ω_{0}) - δ (ω - ω_{0})], \end{array}

证明

A.8.5 不常用的

一些卷积

门函数的卷积
1. $G_\tau^{(1)}(t) := G_\tau(t) = u\pqty{t+\dfrac{\tau}{2}} - u\pqty{t-\dfrac{\tau}{2}}$ .
2. $G_\tau^{(2)}(t) := G^{(1)}_\tau(t) * G^{(1)}_\tau(t) = \pqty{\tau - \vqty{t}} G_{2\tau}(t)$ .
3. $G_\tau^{(3)}(t) := G_\tau^{(2)}(t) * G_\tau^{(1)}(t) = \dfrac{(2\vqty{t} - 3\tau)^2}{8} G_{3\tau}(t) - \dfrac{3(2\vqty{t} - \tau)^2}{8} G_\tau(t)$ .
相互关系
1. $G_\tau(t) = G_1(t/\tau)$ .
2. $T_\tau(t) = T_1(t/\tau)$ .
3. $G_\tau^{(n)}(t) = \tau^{n-1} G_1^{(n)}(t/\tau)$ .

没用的结论

$\Gamma(\j t) \rla 2\pi \e^{-\e^{\omega}}$ .
$\e^{-\e^t} \rla \Gamma(-\j \omega)$ .

A.9 常用单边拉普拉斯变换

A.9.1 复数域部分分式展开

$F(s)$	$f(t)$	参数条件
$s^n$	$\delta^{(n)}(t)$	$n \in \Z$ .
$\dfrac{1}{(s+a)^n}$	$\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!} \e^{-at}$	$n > 0, a \in \C$ .
$\dfrac{s + a}{(s+a)^2 + \omega^2}$	$\e^{-at} \cos(\omega t)$	$a, \omega \in \C$ .
$\dfrac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}$	$\e^{-at} \sin(\omega t)$	$a, \omega \in \C$ .

A.9.2 实数域部分分式展开

$F(s)$	$f(t)$	参数条件
$\dfrac{1}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\dfrac{\sin(\omega t) - \omega t \cos(\omega t)}{2\omega^3}$	$\omega \in \C$ .
$\dfrac{s}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\dfrac{t\sin(\omega t)}{2\omega}$	$\omega \in \C$ .
$\dfrac{s^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\dfrac{\sin(\omega t) + \omega t \cos(\omega t)}{2\omega}$	$\omega \in \C$ .
$\dfrac{s^3}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\cos(\omega t) - \dfrac{\omega t}{2} \sin(\omega t)$	$\omega \in \C$ .
$\dfrac{1}{(s^2 + \omega^2)^3}$	$\d \frac{\left(3-t^2 \omega ^2\right) \sin (t \omega )-3 t \omega \cos (t \omega )}{8 \omega ^5}$	$\omega \in \C$ .
$\dfrac{s}{(s^2 + \omega^2)^3}$	$\d\frac{t (\sin (t \omega )-t \omega \cos (t \omega ))}{8 \omega ^3}$	$\omega \in \C$ .

A.9.3 三角与双曲三角函数

$f(t)$	$F(s)$	说明
$t\cos(\omega t)$	$\dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$t\sin(\omega t)$	$\dfrac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$\e^{-\alpha t} \sinh(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2 - \omega^2}$
$\e^{-at} \cosh(\omega t)$	$\dfrac{s+a}{(s+a)^2 - \omega^2}$

A.9.4 有关伽马函数的变换

$\Gamma(n) = \intoi x^{n-1} \e^{-x} \dx$ .
$\Gamma'(n) = \intoi x^{n-1} \e^{-x} \ln x \dx$ .
$\Gamma'(1) = \gamma \approx 0.5772156649$ .

$f(t)$	$F(s)$	说明
$t^{n-1}$	$\dfrac{\Gamma(n)}{s^n}$	$n > 0$ .
$\dfrac{1}{\sqrt{t}}$	$\sqrt{\dfrac{\pi}{s}}$
$\sqrt{t}$	$\dfrac{\sqrt\pi}{2s\sqrt s}$
$\ln(t)$	$-\dfrac{\ln s + \gamma}{s}$	$s > 0$ .
$t^{n-1} \ln t$	$\dfrac{\Gamma'(n) - \Gamma(n) \ln s}{s^n}$	$s > 0, n > 0$ .

此外还有

t^{n - 1} \ln^{m} t \overset{L}{\leftrightarrow} \frac{1}{s^{n}} \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) Γ^{(k)} (n) (- \ln s)^{m - k}, s > 0, n > 0, m \in N .

A.9.5 特殊函数拉普拉斯变换

$f(t)$	$F(s)$	说明
$L_n(t) = \dfrac{\e^t}{n!} \ddv[n]{t} \pqty{t^n \e^{-t}}$	$\dfrac{(s-1)^n}{s^{n+1}}$	$n \in \N$ .
$\Sa(t)$	$\arccot(s)$	注意收敛域
$\Si(t)$	$\dfrac{\arccot(s)}{s}$
$\dfrac{\sinh(t)}{t}$	$\operatorname{arcoth}(s)$

A.9.6 周期函数拉普拉斯变换

方便起见，这里只给出第一个周期内的表达式.

函数名	周期	$f_1(t)$	$F(s)$
方波脉冲	$2a$	$u(t - a) - u(t - 2a)$	$\dfrac{1}{s(1 + \e^{as})}$
半波整流	$\dfrac{2\pi}{\omega}$	$\sin(\omega t) I_\Bqty{0 < t < \frac{\pi}{\omega}}$	$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \dfrac{1}{1 - \e^{-\tfrac{\pi s}{\omega}}}$
全波整流	$\dfrac{2\pi}{\omega}$	$\vqty{\sin(\omega t)}$	$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \coth\dfrac{\pi s}{2\omega}$

非周期，但思路相同：

$f(t)$	$F(s)$	说明
$a^{\floor{t}}$	$\dfrac{1-\e^{-s}}{s(1 - a\e^{-s})}$	$\Re(s) > \max\Bqty{0, \ln a}$ .

A.6.7 未归类的拉普拉斯变换

$f(t)$	$F(s)$	说明
$\dfrac{\e^{-\alpha t} - \e^{-\beta t}}{t}$	$\ln \dfrac{s + \beta}{s + \alpha}$	$\alpha, \beta \in \C$ .

不存在拉普拉斯变换的函数：

$\dfrac{1}{t^n}, n \in \N^+$ .
$\dfrac{\cos t}{t}$ .

此外还有

\begin{aligned} \frac{u (t)}{(t + a)^{n}} & \overset{L}{\leftrightarrow} {\begin{cases} s^{n - 1} e^{a s} \int_{- \infty}^{- a s} \frac{e^{x} d x}{(- x)^{n}}, & a > 0, n \in R, \\ s^{n - 1} e^{a s} Γ (1 - n, a s), & a \in R, n < 1, \\ 不 存 在, & a \leq 0, n \geq 1. \end{cases} \end{aligned}

备注
- 不能用幂级数展开法求解，因为不满足条件.
- 右式的积分为柯西主值积分.
特殊的
- $n \in \N$ $t^n u(t) \lt \dfrac{n!}{s^{n+1}}$ .
- $a > 0$ $\dfrac{u(t)}{t+a} \lt -\e^{as} \operatorname{Ei}(-as)$ .

A.10 常用序列的卷积和

\begin{aligned} a^{n} u (n) * b^{n} u (n) & = \frac{a^{n + 1} - b^{n + 1}}{a - b} u (n), \\ a^{n} u (n) * a^{n} u (n) & = a^{n} (n + 1) u (n), \\ n^{k} u (n) * u (n) & = \sum_{i = 0}^{n} i^{k} u (n), \\ n u (n) * n u (n) & = \frac{n (n^{2} - 1)}{6} u (n), \\ n^{2} u (n) * n^{2} u (n) & = \frac{n (n^{4} - 1)}{30} u (n), \end{aligned}

证明

\begin{aligned} a^{n} u (n) * b^{n} u (n) & = \sum_{m = - \infty}^{+ \infty} a^{m} u (m) b^{n - m} u (n - m) = b^{n} u (n) \sum_{m = 0}^{n} {(\frac{a}{b})}^{m} \\ = b^{n} u (n) \frac{1 - {(\frac{a}{b})}^{n + 1}}{1 - \frac{a}{b}} = \frac{a^{n + 1} - b^{n + 1}}{a - b} u (n), \end{aligned}

\begin{aligned} a^{n} u (n) * a^{n} u (n) & = u (n) \sum_{m = 0}^{n} a^{m} a^{n - m} = (n + 1) a^{n} u (n), \end{aligned}

A.11 常用序列的 z 变换

A.11.1 常用的离散序列

$f(n)$	$F(z)$	收敛域	参数说明
$\delta(n)$	$1$	$\C$
$u(n)$	$\dfrac{z}{z - 1}$	$\vqty{z} > 1$
$a^n u(n)$	$\dfrac{z}{z - a}$	$\vqty{z} > \vqty{a}$	$a \in \C$
$n \cdot u(n)$	$\dfrac{z}{(z - 1)^2}$	$\vqty{z} > 1$
$n^2 \cdot u(n)$	$\dfrac{z (z + 1)}{(z - 1)^3}$	$\vqty{z} > 1$
$a^\vqty{n}$	$\dfrac{z}{z - a} + \dfrac{a}{z\inv - a}$	$a < \vqty{z} < a\inv$	$a < 1$

A.11.2 三角与双曲三角

$f(n)$	$F(z)$	收敛域	参数说明
$\cos(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z (z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z \cos\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\sin(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z \sin\omega_0}{z^2 - 2z \cos\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\cosh(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z (z - \cosh\omega_0)}{z^2 - 2z \cosh\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\sinh(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z \sinh\omega_0}{z^2 - 2z \cosh\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$

A.11.3 逆变换常用公式

$\vqty{z} > \vqty{a}$ 时，

\begin{array}{rclrcl} \frac{z}{z - a} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} u (n), & \frac{1}{z - a} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 1} u (n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{2}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 1} n \cdot u (n), & \frac{1}{(z - a)^{2}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 2} (n - 1) u (n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{k + 1}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - k} (\binom{n}{k}) u (n), & \frac{1}{(z - a)^{k}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - k} (\binom{n - 1}{k - 1}) u (n - 1), \\ {(\frac{z}{z - a})}^{k} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} \frac{(n + k)_{(k)}}{n!} u (n), & {(\frac{z + a}{z})}^{k} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} (\binom{k}{n}) u (n - k) . \end{array}

$\vqty{z} < \vqty{a}$ 时，

\begin{array}{rclrcl} \frac{z}{z - a} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & - a^{n} u (- n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{2}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & - a^{n - 1} n \cdot u (- n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{k + 1}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & - a^{n - k} (\binom{n}{k}) u (- n - 1), \end{array}

证明

A.11.4 其它的 z 变换

$\e^{az} \zt \dfrac{a^{-n}}{(-n)!} u(-n)$ .
$\ln\dfrac{z}{z - a} \zt \dfrac{a^n}{n} u(n-1)$ .
$\ln\dfrac{z-b}{z-a} \zt \dfrac{a^n - b^n}{n} u(n-1)$ .