基础理论

第 1 章 选频回路与阻抗变换

1.1 选频回路的指标

理想的幅频特性应与矩形脉冲的形状相同.

1. 中心频率 $f_0$$f_0$.

2. 通频带 ${\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}$$\mathrm{BW_{3dB}}$.

3. 带内波动.（Ripple）

4. 矩形系数 $K_{0.1}={\displaystyle \frac{{\mathrm{BW}}_{0.1}}{{\mathrm{BW}}_{1/\sqrt{2}}}}$$K_{0.1} = \mathrm{\dfrac{BW_{0.1}}{BW_{1/\sqrt2}}}$. (越小越好)

5. 插入损耗 $L={\displaystyle \frac{P_{\text{前}}}{P_{\text{后}}}}$$L = \dfrac{P_前}{P_后}$. (越小越好)

6. 输入输出阻抗.

7. 相频特性. (线性最好, 即群时延 $\tau (\omega )={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}\omega }}$$\tau(\omega) = \ddv{\varphi}{\omega}$ 为常数)

1.2 LC 串并联谐振回路

1.2.1 谐振回路

1 并联谐振回路

• 谐振角频率 ${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

• 特性阻抗 $\rho ={\omega }_{0}L={\displaystyle \frac{1}{{\omega }_{0}C}}$$\rho = \omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$.

• 并联谐振时导纳最小, 阻抗最大, 电压最大.

• 品质因数 $Q={\displaystyle \frac{{\omega }_{0}C}{G}}={\displaystyle \frac{R}{{\omega }_{0}L}}$$Q = \dfrac{\omega_0 C}{G} = \dfrac{R}{\omega_0 L} %= \color{blue} \dfrac{R}{\rho}$.

• 电感电流 ${\dot{I}}_{\text{L}}={\displaystyle \frac{{\dot{I}}_{\text{S}}R}{\mathrm{j}{\omega }_{0}L}}=-\mathrm{j}Q{\dot{I}}_{\text{S}}$$\dot{I}_\text L = \dfrac{\dot{I}_\text SR}{\j\omega_0 L} = -\j Q\dot{I}_\text S$.

• 电容电流 ${\dot{I}}_{\text{C}}=\mathrm{j}{\omega }_{0}C\cdot {\dot{I}}_{\text{S}}R=\mathrm{j}Q{\dot{I}}_{\text{S}}$$\dot{I}_\text C = \j\omega_0 C \cdot \dot{I}_\text S R = \j Q \dot{I}_\text S$.

2 串联谐振回路

对偶定理：串联 - 并联, $L$$L$-$C$$C$, $G$$G$-$r$$r$, $V$$V$-$I$$I$. 结论与并联回路类似.

备注 特性阻抗记为 $X=\rho$$X = \rho$，则

• 并联回路：$Q={\displaystyle \frac{R}{X}}$$Q = \dfrac{R}{X}$.

• 串联回路：$Q={\displaystyle \frac{X}{R}}$$Q = \dfrac{X}{R}$.

1.2.2 选频特性

1 并联谐振回路

1.1 输出电压

其中 $\xi =Q({\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }_0}}-{\displaystyle \frac{{\omega }_0}{\omega }})\approx Q{\displaystyle \frac{2\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}}$$\xi = Q\pqty{\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}} \approx Q \dfrac{2\omega - \omega_0}{\omega_0}$ 称为 广义失谐. 当 $\omega \approx {\omega }_0$$\omega \approx \omega_0$ 时，

1.2 幅频特性

归一化选频特性

从而 $Q={\displaystyle \frac{f}{2\mathrm{\Delta }f}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{S^2}}-1}$$Q = \dfrac{f}{2\Delta f} \sqrt{\dfrac{1}{S^2} - 1}$.

• 对于同一失谐频率 $\omega$$\omega$, $Q$$Q$ 值越大, $V(\omega )$$V(\omega)$ 越小, 选择性越好.

• 令 $S={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$S = \dfrac{\sqrt 2}{2}$, 得 3dB 通频带为 ${\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}=2\mathrm{\Delta }f={\displaystyle \frac{f_0}{Q}}$$\mathrm{BW_{3dB}} = 2\Delta f = \dfrac{f_0}{Q}$.

  因此对于并联谐振电路, 电阻越大, 带宽越窄.

• 矩形系数 $K_{0.1}={\displaystyle \frac{{\mathrm{BW}}_{0.1}}{{\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}}}=9.96$$K_{0.1} = \mathrm{\dfrac{BW_{0.1}}{BW_{3dB}}} = 9.96$.

  注: $K_{0.1}>1$$K_{0.1} > 1$, 且越小越好.

1.3 相频特性

• 失谐相频

  • 当 $\omega <{\omega }_0$$\omega < \omega_0$ 时, $\phi >0$$\varphi > 0$, 呈感性.

  • 当 $\omega >{\omega }_0$$\omega > \omega_0$ 时, $\phi <0$$\varphi < 0$, 呈容性.

• 线性相频

  • 当 $\left|\phi \right|\le {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$\vqty{\varphi} \le \dfrac{\pi}{6}$ 时, $\phi \approx 2Q{\displaystyle \frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}}$$\varphi \approx 2Q \dfrac{\omega - \omega_0}{\omega_0}$.

  • 曲线斜率为 $-{\displaystyle \frac{2Q}{{\omega }_0}}$$-\dfrac{2Q}{\omega_0}$.

2 串联谐振回路

对偶定理: 串联 - 并联, $L$$L$-$C$$C$, $G$$G$-$r$$r$, $V$$V$-$I$$I$.

结论与并联回路类似.

1.2.3 实际并联回路

1 阻抗等效变换

1.1 串联变换并联

1.2 并联变换串联

2 实际并联回路

代入 $\mathrm{j}{\omega }_{\text{P}}C-\mathrm{j}{\displaystyle \frac{1}{{\omega }_{\text{P}}{L}_{\text{P}}}}=0$$\j\omega_\text P C - \j\dfrac{1}{\omega_\text P L_\text P} = 0$, 记 ${\omega }_0$$\omega_0$ 为 L 和 C 的并联谐振频率. 于是得

当 $Q$$Q$ 较高时, $L_{\text{P}}\approx L,R_{\text{P}}\approx Q_0^{2}r={\displaystyle \frac{L}{Cr}}$$L_\text P \approx L, R_\text P \approx Q_0^2 r = \dfrac{L}{Cr}$.

3 有载品质因数

记空载品质因数 $Q_0={\displaystyle \frac{R_{\text{P}}}{\rho }}$$Q_0 = \dfrac{R_\text P}{\rho}$. 负载不影响谐振频率 ${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ 与特性阻抗 $\rho ={\omega }_{0}L={\displaystyle \frac{1}{{\omega }_{0}C}}$$\rho = \omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$，而谐振阻抗与有载品质因数变为

1.3 无源阻抗变换网络

1.3.1 变压器阻抗变换

空心变压器、全耦合变压器与理想变压器参考电路原理笔记.

1.3.2 部分接入的阻抗变换

该种方式的阻抗变换是窄带的，记兼并选频功能.

1 并联支路 Q 值足够大

当 $Q\gg 1$$Q \gg 1$ 即 $R\gg X_2$$R \gg X_2$ 时,

1.1 一般部分接入

接入系数 $P={\displaystyle \frac{X_2}{X_1+X_2}}$$P = \dfrac{X_2}{X_1 + X_2}$.

令两电阻上的功率相等, 则有

从而阻抗变大.

1.2 电容部分接入

1.3 电感部分接入

对于全耦合变压器, $L_1=A{N}_1^2,L_2=A{N}_2^2,M=A{N}_1{N}_2$$L_1 = AN_1^2, L_2 = AN_2^2, M = AN_1N_2$, 有

2 并联支路 Q 值不够大

2.1 变换思路

以电容部分接入为例，

2.2 实际应用

⭐️ ⭐️ ⭐️

以电容部分接入为例，

（1）并联电感的计算，如图（a）

为了使输入阻抗 $R_{\text{in}}$$R_\text{in}$ 为纯电阻，需要并联电感 $L$$L$ 并发生并联谐振，此时还起到了窄带选频的功能.

首先根据工作频率（中心频率）和 3dB 带宽的需求，计算窄带阻抗变换网络（并联谐振回路）的 Q 值：$Q_1={\displaystyle \frac{f_0}{{\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}}}$$Q_1 = \dfrac{f_0}{\rm{BW_{3dB}}}$，于是由并联谐振回路中的定义 $Q_1={\displaystyle \frac{R_{\text{in}}}{X_L}}$$Q_1 = \dfrac{R_\text{in}}{X_L}$ 和 $X_{\text{L}}=\omega L=2\pi f_{0}L$$X_\text L = \omega L = 2\pi f_0 L$ 可得并联电感 $L$$L$ 的大小.

（2）高 Q 值的情况，如图（b）

并联谐振时，有 $X_{C_2}<X_C=X_L$$X_{C_2} < X_{C} = X_L$，若有 $X_L\ll R_{\text{L}}$$X_L \ll R_\text L$，则并联回路的 $Q_2={\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{X_{C_2}}}\gg 1$$Q_2 = \dfrac{R_\text L}{X_{C_2}} \gg 1$.

此时 $R_{\text{L}}$$R_\text L$ 可视为开路，从而 $P_C={\displaystyle \frac{X_{C_2}}{X_{C_1}+X_{C_2}}}\approx {\displaystyle \frac{V_2}{V}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{R_{\text{L}}^{\prime }}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{R_{\text{in}}}}}$$P_C = \dfrac{X_{C_2}}{X_{C_1} + X_{C_2}} \approx \dfrac{V_2}{V} = \sqrt{\dfrac{R_\text L}{R'_\text L}} = \sqrt{\dfrac{R_\text L}{R_\text{in}}}$，联立得

（3）低 Q 值的情况，如图（c）

如果不满足 $X_L\ll R_{\text{L}}$$X_L \ll R_\text L$ 而难以判断是否为高 Q，则采用如下一般思路.

同上记号，两个并联回路的 Q 值分别记为 $Q_1={\displaystyle \frac{R_{\text{in}}}{X_L}}$$Q_1 = \dfrac{R_\text{in}}{X_L}$ 和 $Q_2={\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{X_{C_2}}}$$Q_2 = \dfrac{R_\text L}{X_{C_2}}$，两次使用串并联等效变换公式，有

从而解得下左式

并由上右式得到 $C_1$$C_1$.

1.3.3 L 网络阻抗变换

1 匹配网络的选择

1.1 内电阻大于负载电阻

串联变为并联（$R_{\text{P}}>R_{\text{L}}$$R_\text{P} > R_\text{L}$），并使 $R_{\text{P}}=R_{\text{S}}$$R_\text P = R_\text S$，从而实现阻抗变换.

为了使输入阻抗 $R_{\text{in}}$$R_\text{in}$ 为纯电阻，需要并联异性质电抗 $X_{\text{P}}=X_{\text{SP}}$$X_\text P = X_\text{SP}$.

由于两个并联回路的 Q 值相等，将其记为 $Q={\displaystyle \frac{X_{\text{S}}}{R_{\text{L}}}}={\displaystyle \frac{R_{\text{P}}}{X_{\text{SP}}}}$$Q = \dfrac{X_\text S}{R_\text L} = \dfrac{R_\text{P}}{X_\text{SP}}$.

由阻抗变换公式 $R_{\text{P}}=R_{\text{L}}(1+Q^2)$$R_\text P = R_\text L (1 +Q^2)$ 解得 $Q$$Q$，从而得到电容与电感的参数.

1.2 内电阻小于负载电阻

并联变为串联（$r_{\text{S}}<R_{\text{L}}$$r_\text{S} < R_\text{L}$），并使 $r_{\text{S}}=R_{\text{S}}$$r_\text S = R_\text S$，从而实现阻抗变换.

为了使输入阻抗 $R_{\text{in}}$$R_\text{in}$ 为纯电阻，需要串联异性质电抗 $X_{\text{S}}=X_{\text{PS}}$$X_\text S = X_\text{PS}$.

由于两个串联回路的 Q 值相等，将其记为 $Q={\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{X_{\text{P}}}}={\displaystyle \frac{X_{\text{PS}}}{r_{\text{S}}}}$$Q = \dfrac{R_\text{L}}{X_\text{P}} = \dfrac{X_\text{PS}}{r_\text{S}}$.

由阻抗变换公式 $r_{\text{S}}={\displaystyle \frac{R_{\text{L}}}{1+Q^2}}$$r_\text{S} = \dfrac{R_\text{L}}{1 + Q^2}$ 解得 Q，从而得到电容与电感的参数.

2 阻抗变换网络的总结

2.1 匹配网络的选择

给定 $R_{\text{L}}$$R_\text{L}$ 和 $R_{\text{S}}$$R_\text{S}$ 后，若要增大 $R_{\text{L}}$$R_\text{L}$，则由串联到并联；若要减小 $R_{\text{L}}$$R_\text{L}$，则由并联到串联.

因此给定参数后，L 网络的 Q 值也就确定了，即

并且 L 网络是窄带的，并且 Q 值不可选定.

2.2 匹配网络的带宽

由于 L 网络中 $R_{\text{S}}=R_{\text{P}}$$R_\text S = R_\text P$，总有载 $Q_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{2}}Q$$Q_\e = \dfrac{1}{2}Q$，

于是 3dB 带宽为 $\mathrm{BW}={\displaystyle \frac{f_0}{Q_{\mathrm{e}}}}$$\mathrm{BW} = \dfrac{f_0}{Q_\e}$，并且谐振频率为

1.3.4 π 和 T 型匹配网络

1 π 型匹配网络

如下图，根据元件类型可分为两类：

以左图为例，假想 $R_{\text{S}}$$R_\text{S}$ 和 $R_{\text{L}}$$R_\text{L}$ 都可等效变换为假想的中间电阻：

实际应用时，给定有载 $Q_{\mathrm{e}1}={\displaystyle \frac{Q_1}{2}}$$Q_{\e 1} = \dfrac{Q_1}{2}$，可求得 $R_{\text{inter}}$$R_\text{inter}$ 和 $Q_2$$Q_2$，于是

从而解得 $C_1,C_2,L_1,L_2$$C_1, C_2, L_1, L_2$.

2 T 型匹配网络

如下图，根据元件类型可分为两类，分析方法与 π 型网络类似.

本章总结

• 谐振回路

  • 品质因数：$Q={\displaystyle \frac{R_{\mathrm{P}}}{X_{\mathrm{P}}}}={\displaystyle \frac{X_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{S}}}}$$Q = \dfrac{R_\rm P}{X_\rm P} = \dfrac{X_\rm S}{r_\rm S}$.

  • 广义失谐：$\xi \approx Q{\displaystyle \frac{2\mathrm{\Delta }f}{f_0}}$$\xi \approx Q \dfrac{2\Delta f}{f_0}$.

  • 通频带：${\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}={\displaystyle \frac{f_0}{Q}}$$\rm{BW_{3dB}} = \dfrac{f_0}{Q}$.

• 串并联等效变换

  • $R_{\mathrm{P}}=r_{\mathrm{S}}(1+Q^2)$$R_\rm P = r_\rm S (1 + Q^2)$.

  • $X_{\mathrm{P}}=X_{\mathrm{S}}(1+{\displaystyle \frac{1}{Q^2}})$$X_\rm P = X_\rm S \pqty{1 + \dfrac{1}{Q^2}}$.

• 阻抗变换网络

  • 部分接入

    • Q 值足够大：近似用接入系数.

    • Q 值不够大：串并联等效变换.

  • L 网络

    • 增大负载：串联变为并联.

    • 减小负载：并联变为串联.

  • π 型和 T 型：拆分后求解.

第 2 章 噪声与非线性失真

2.1 起伏噪声特性

2.2.1 功率谱密度

功率谱密度 $S(f)$$S(f)$，

• $S(t)$$S(t)$ 表示单位频带内的功率，单位是 $\mathrm{dBm}/\mathrm{Hz}$$\mathrm{dBm / Hz}$，其中 $0\mathrm{dBm}$$\mathrm{0dBm}$ 表示 $1\mathrm{mW}$$\mathrm{1 mW}$ 的功率.

• 噪声功率的表示

  • 用电流功率谱表示为 $P_{\text{I}}={\displaystyle {\int }_{f_1}^{f_2}{S}_{\text{I}}(f)\mathrm{d}f}$$P_\text I = \dint_{f_1}^{f_2} S_\text I(f) \dd{f}$.

  • 用电压功率谱表示为 $P_{\text{V}}={\displaystyle {\int }_{f_1}^{f_2}{S}_{\text{V}}(f)\mathrm{d}f}$$P_\text V = \dint_{f_1}^{f_2} S_\text V(f) \dd{f}$.

  • 噪声电流均方值 $\overline{I_n^2}\equiv P_{\text{I}}$$\overline{I_n^2} \equiv P_\text I$.

  • 噪声电压均方值 $\overline{V_n^2}\equiv P_{\text{V}}$$\overline{V_n^2} \equiv P_\text V$.

• 白噪声：功率谱密度为常数的噪声，即 $\overline{I_n^2}=S_1(f_2-f_1)$$\overline{I_n^2} = S_1(f_2 - f_1)$.

2.2.2 等效噪声带宽

• 对于电压传递函数为 $H(f)$$H(f)$ 的线性时不变系统，$S_{\mathrm{o}}(f)=S_{\mathrm{i}}(f){|H(f)|}^2$$S_\o(f) = S_\i(f) \vqty{H(f)}^2$.

• 其中 ${|H(f)|}^2$$\vqty{H(f)}^2$ 是系统的功率传递函数.

• 对于白噪声，$\overline{V_n^2}=S_{\mathrm{i}}{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{|H(f)|}^2\mathrm{d}f}$$\overline{V_n^2} = S_\i \intoi \vqty{H(f)}^2 \dd{f}$.

• 等效噪声带宽：$B_{\text{L}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{|H(f)|}^2\mathrm{d}f}}{H^2(f_0)}}$$B_\text L = \dfrac{\intoi \vqty{H(f)}^2 \dd{f}}{H^2(f_0)}$.

• 并联谐振回路的等效噪声带宽：$B={\displaystyle \frac{\pi f_0}{2Q}}={\displaystyle \frac{1}{4RC}}$$B = \dfrac{\pi f_0}{2Q} = \dfrac{1}{4 RC}$.

2.2 电路器件的噪声

2.2.1 电阻的热噪声及等效电路

• 热噪声

  • 噪声电流功率谱密度 $S_{\text{I}}={\displaystyle \frac{4kT}{R}}$$S_\text I = \dfrac{4kT}{R}$.

  • 噪声电压功率谱密度 $S_{\text{V}}=S_{\text{I}}{R}^2=4kTR$$S_\text V = S_\text I R^2 = 4kTR$.

  • 玻尔兹曼常数 $k=1.380\times {10}^{-23}\mathrm{J}/\mathrm{K}$$k = 1.380 \times 10^{-23} \mathrm{J/K}$.

  • 电阻的热噪声是白噪声.

• 等效电路

  • 串联电压源

  • 并联电流源

• 资用噪声功率（额定噪声功率）

  • $N_{\text{A}}={\displaystyle \frac{4kTRB}{4R}}=kTB$$N_\text A = \dfrac{4kTRB}{4R} = kTB$.

  • 与电阻的阻值无关.

2.2.2 双极型三极管的噪声

• 噪声来源

  • 基区体电阻 $r_{\text{bb’}}$$r_\text{bb'}$ 的热噪声.

  • PN 结的散粒噪声.

• 散粒噪声

  • 功率谱密度 $S_{\text{I}}=2q{I}_0$$S_\text I = 2qI_0$.

  • 其中 $q$$q$ 为电子电量, $I_0$$I_0$ 为流过 PN 结的电流.

  • 散粒噪声是白噪声.

• 等效电路

  • $\overline{I_{n,c}^2}=2q{I}_{c}B$$\overline{I_{n, c}^2} = 2q I_c B$.

  • $\overline{I_{n,b}^2}=2q{I}_{b}B$$\overline{I_{n, b}^2} = 2q I_b B$.

  • $\stackrel{―}{V_{n,r_{b{b}^{\prime }}}^2}=4kT{r}_{\text{bb’}}B$$\overline{V_{n, r_{bb'}}^2} = 4kT r_\text{bb'} B$.

2.2.3 场效应管的噪声

• 沟道电阻热噪声 $S_{\text{I}}=4kT\gamma g_{d0}$$S_\text I = 4kT \gamma g_{d0}$.

  • 漏源电导：$g_{\text{d0}}$$g_\text{d0}$，在饱和区约等于小信号跨导 $g_{\text{m}}$$g_\text m$.

  • 工艺系数：$\gamma$$\gamma$.

• 漏极电流噪声 $\overline{I_{n,D}}=4kT\gamma g_{d0}B$$\overline{I_{n, D}} = 4kT \gamma g_{d0} B$.

• 闪烁噪声 $S_V={\displaystyle \frac{K}{WL{C}_{\text{OX}}}}{\displaystyle \frac{1}{f}}$$S_V = \dfrac{K}{WLC_\text{OX}} \dfrac{1}{f}$.

  • $W$$W$ 和 $L$$L$ 分别是沟道的宽度和长度.

  • 取决于工艺的常数：$K$$K$.

• 场效应管的总噪声一般必晶体三极管小.

2.2.4 电抗元件的噪声

• 无损耗的纯电抗元件无噪声.

• 有损耗的电抗元件可用电阻表示.

2.2.5 两端口网络的等效输入噪声源

2.3 噪声系数

2.3.1 噪声系数定义

• 信噪比

  • 输入信噪比：$(\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{i}}=P_{\mathrm{i}}/N_{\mathrm{i}}$$\rm{(SNR)_i} = P_\i / N_\i$.

  • 输出信噪比：$(\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{o}}=P_{\mathrm{o}}/N_{\mathrm{o}}$$\rm{(SNR)_o} = P_\o / N_\o$.

• 噪声系数

  • $F={\displaystyle \frac{(\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{i}}}{(\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{o}}}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}/N_{\mathrm{i}}}{P_{\mathrm{o}}/N_{\mathrm{o}}}}\ge 1$$F = \mathrm{ \dfrac{(SNR)_i}{(SNR)_o} } = \dfrac{P_\i / N_\i}{P_\o / N_\o} \ge 1$.

  • $NF(\mathrm{dB})=10\log F$$NF(\mathrm{dB}) = 10\log F$.

2.3.2 噪声系数与输入等效噪声源

• 噪声系数

  • $F=1+{\displaystyle \frac{\overline{(V_{\text{n}}+I_{\text{n}}{R}_{\text{S}}{)}^2}}{4kTB{R}_{\text{S}}}}$$F = 1 + \dfrac{ \overline{(V_\text n + I_\text n R_\text S)^2} }{4kTBR_\text S}$.

  • $F={\displaystyle \frac{\overline{V_{\text{n, out}}^2}}{A_{\text{V}}^{2}4kT{R}_{\text{S}}B}}$$F = \dfrac{\overline{V_\text{n, out}^2}}{A_\text V^2 4 k T R_\text S B}$.

• 阻抗匹配

  • 最大功率匹配：$R_{\mathrm{S}}^{\prime }=R_{\text{i}}$$R_\rm{S}' = R_\text{i}$.

  • 最小噪声匹配：$R_{\text{Sopt}}^2={\displaystyle \frac{\overline{V_{\text{n}}^2}}{\overline{I_{\text{n}}^2}}}$$R_\text{Sopt}^2 = \dfrac{\overline{V_\text n^2}}{\overline{I_\text n^2}}$.

• 双极型晶体管

  • 最佳源阻抗：$R_{\mathrm{Sopt}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\beta }}{g_{\text{m}}}}\sqrt{1+g_{\text{m}}{r}_{\text{bb’}}}$$R_\rm{Sopt} = \dfrac{\sqrt\beta}{g_\text m} \sqrt{1 + g_\text m r_\text{bb'}}$.

  • 最小噪声系数：$F=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta }}}\sqrt{1+g_{\text{m}}{r}_{\text{bb’}}}$$F = 1 + \dfrac{1}{\sqrt\beta} \sqrt{1 + g_\text m r_\text{bb'}}$.

• 场效应管

  • 最佳源阻抗：$R_{\mathrm{Sopt}}\approx {\displaystyle \frac{1}{\omega C_{\text{gs}}}}$$R_\rm{Sopt} \approx \dfrac{1}{\omega C_\text{gs}}$.

  • 最小噪声系数：$F=1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{\displaystyle \frac{\omega C_{\text{gs}}}{g_{\text{m}}}}$$F = 1 + \dfrac{4}{3} \dfrac{\omega C_\text{gs}}{g_\text m}$.

• 例子：如下图，$F=1+{\displaystyle \frac{R_{\text{S}}}{R_{\text{0}}}}$$F = 1 + \dfrac{R_\text S}{R_\text 0}$.

2.3.3 无源有耗网络的噪声系数

• 功率增益：$G_{\text{p}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{o}}}{P_{\mathrm{i}}}}$$G_\text p = \dfrac{P_\o}{P_\i}$.

• 插入损耗：$L={\displaystyle \frac{1}{G_{\text{p}}}}$$L = \dfrac{1}{G_\text p}$.

• 噪声系数：$F={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}/N_{\text{iA}}}{P_{\mathrm{o}}/N_{\text{oA}}}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}}{P_{\mathrm{o}}}}={\displaystyle \frac{1}{G_{\text{p}}}}=L$$F = \dfrac{P_\i / N_\text{iA}}{P_\o / N_\text{oA}} = \dfrac{P_\i}{P_\o} = \dfrac{1}{G_\text p} = L$.

2.4 等效噪声温度

2.4.1 等效噪声温度定义

• 等效噪声温度：$T_{\text{e}}={\displaystyle \frac{N_{\text{内}}}{kB{G}_{\text{P}}}}$$T_\text e = \dfrac{N_内}{k B G_\text P}$，与电阻阻值无关.

• 若考虑天线引入的外部噪声，则 $N_{\mathrm{o}\text{总}}=k(T_a+T_e)B{G}_{\text{P}}$$N_{\o总} = k(T_a + T_e) B G_\text P$.

2.4.2 等效噪声温度与噪声系数

• 等效噪声温度 $\to$$\ra$ 噪声系数

  $$\begin{array}{rl}F& ={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}/N_{\mathrm{i}}}{P_{\mathrm{o}}/N_{\mathrm{o}}}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}/(k{T}_{0}B)}{G_{\text{P}}{P}_{\mathrm{i}}/G_{\text{P}}k(T_0+T_{\mathrm{e}})B}}=1+{\displaystyle \frac{T_{\mathrm{e}}}{T_0}}.\end{array}$$

• 噪声系数 $\to$$\ra$ 等效噪声温度

  • $T_{\mathrm{e}}=(F-1)T_0$$T_\e = (F - 1) T_0$.

  • 其中 $T_0=290K$$T_0 = 290\ K$.

  • 无噪系统：$F=1,T_{\mathrm{e}}=0$$F = 1, T_\e = 0$.

• 考虑天线的外部噪声，则总噪声为

2.5 多级线性网络级联

2.5.1 等效噪声温度与噪声系数

• 等效噪声温度：$T_{\mathrm{e}}=T_{{\mathrm{e}}_1}+{\displaystyle \frac{T_{{\mathrm{e}}_2}}{G_{\text{PA1}}}}+{\displaystyle \frac{T_{{\mathrm{e}}_3}}{G_{\text{PA1}}{G}_{\text{PA2}}}}+\cdots$$T_\e = T_{\e_1} + \dfrac{T_{\e_2}}{G_{\text{PA1}}} + \dfrac{T_{\e_3}}{G_\text{PA1} G_\text{PA2}} + \cdots$.

• 噪声系数：$F=F_1+{\displaystyle \frac{F_2-1}{G_{\text{PA1}}}}+{\displaystyle \frac{F_3-1}{G_{\text{PA1}}{G}_{\text{PA2}}}}+\cdots$$F = F_1 + \dfrac{F_2 - 1}{G_\text{PA1}} + \dfrac{F_3 - 1}{G_\text{PA1} G_\text{PA2}} + \cdots$.

2.5.2 降低等效噪声温度的方法

• 降低前两级噪声系数.

• 适当提高其功率增益.

2.6 非线性器件

2.6.1 描述方法

1 函数表达式

• 双极型晶体管：$i_{\text{C}}\approx I_{\text{S}}{\mathrm{e}}^{\frac{q{v}_{{}_{\text{BE}}}}{kT}}$$i_\text{C} \approx I_\text S \e^{\tfrac{q v_{_\text{BE}}}{kT}}$.

• 场效应管：$i_{\text{D}}\approx I_{\text{DSS}}{(1-{\displaystyle \frac{v_{{}_{\text{GS}}}}{V_{\text{GS, th}}}})}^2$$i_\text D \approx I_\text{DSS} \pqty{1 - \dfrac{v_{_\text{GS}}}{V_\text{GS, th}}}^2$.

• 差分放大器：$i=i_1-i_2=I_0\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_{\text{id}}}{2KT}}$$i = i_1 - i_2 = I_0 \tanh \dfrac{q v_\text{id}}{2KT}$.

2 幂级数展开

3 分段折线法

• 单向开关函数

  $$\begin{array}{rl}{S}_1(\omega t)& =I_{\{2k\pi -\frac{\pi }{2}\le \omega t\le 2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\cos \omega t-{\displaystyle \frac{2}{3\pi }}\cos 3\omega t+{\displaystyle \frac{2}{5\pi }}\cos 5\omega t-\cdots \end{array}$$

• 双向开关函数

  $$\begin{array}{rl}{S}_2(\omega t)& =S_1(\omega t)-S_1(\omega t+\pi )\\ & ={\displaystyle \frac{4}{\pi }}\cos \omega t-{\displaystyle \frac{4}{3\pi }}\cos 3\omega t+{\displaystyle \frac{4}{5\pi }}\cos 5\omega t-\cdots \end{array}$$

2.6.2 线性化参数

2.7 器件非线性的影响

2.7.1 输入端只有一个有用信号

1 谐波

• 输入电压

  • $v_{\mathrm{i}}(t)=V_{\text{im}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{i}}t\right)$$v_\i(t) = V_\text{im} \cos(\omega_\i t)$.

  • $v_{\text{BE}}=V_{\text{BEQ}}+v_{\mathrm{i}}$$v_\text{BE} = V_\text{BEQ} + v_\i$.

• 输出电流

  • $i_{\text{S}}(t)=a_1{V}_{\text{im}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{i}}t\right)+a_2{V}_{\text{im}}^2{\cos }^2\left({\omega }_{\mathrm{i}}t\right)+a_3{V}_{\text{im}}^3{\cos }^3\left({\omega }_{i}t\right)+\cdots$$i_\text S(t) = a_1 V_\text{im} \cos(\omega_\i t) + a_2 V_\text{im}^2 \cos[2](\omega_\i t) + a_3 V_\text{im}^3 \cos[3](\omega_i t) + \cdots$.

  • $i_{\text{S}}(t)\approx {\displaystyle \frac{a_2{V}_{\text{im}}^2}{2}}+(a_1{V}_{\text{im}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_3{V}_{\text{im}}^3)\cos \left({\omega }_{\mathrm{i}}t\right)+{\displaystyle \frac{a_2}{2}}{V}_{\text{im}}^2\cos \left(2{\omega }_{\mathrm{i}}t\right)+\cdots$$i_\text S(t) \approx \dfrac{a_2 V_\text{im}^2}{2} + \pqty{a_1 V_\text{im} + \dfrac{3}{4} a_3 V_\text{im}^3} \cos(\omega_\i t) + \dfrac{a_2}{2} V_\text{im}^2 \cos(2\omega_\i t) + \cdots$.

• 说明

  • 基波分量由各奇次项产生，二次谐波由二次及以上的各偶次项产生.

  • 输出的高次谐波幅值小，可以忽略，并且离基波远，容易滤除.

2 增益压缩

• 考虑到展开式的三次项

  • 基波电流：$i_{\text{S1}}=(a_1{V}_{\text{im}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_3{V}_{\text{im}}^3)\cos \left({\omega }_{\mathrm{i}}t\right)$$i_\text{S1} = \pqty{a_1 V_\text{im} + \dfrac{3}{4} a_3 V_\text{im}^3} \cos(\omega_\i t)$.

  • 平均跨导：$\overline{g_{\text{m}}}={\displaystyle \frac{i_{\text{S1}}(t)}{v_{\text{i}}(t)}}=a_1+{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_3{V}_{\text{im}}^2$$\overline{g_\text m} = \dfrac{i_\text{S1}(t)}{v_\text{i}(t)} = a_1 + \dfrac{3}{4} a_3 V_\text{im}^2$.

• 说明

  • 大信号平均跨导与输入信号的幅度有关.（小信号无关）

  • 对于 $a_3<0$$a_3 < 0$，$\overline{g_{\text{m}}}$$\overline{g_\text m}$ 随输入信号幅度的增大而减小，称为增益压缩.

  • 1 dB 增益压缩点：$V_{\text{im-1dB}}=\sqrt{0.145\left|{\displaystyle \frac{a_1}{a_3}}\right|}$$V_\text{im-1dB} = \sqrt{0.145 \vqty{\dfrac{a_1}{a_3}}}$.

2.7.2 输入端有两个及以上信号

1 堵塞

• 输入信号：$v_{\mathrm{i}}(t)=V_{\text{1m}}\cos \left({\omega }_{1}t\right)+V_{\text{2m}}\cos \left({\omega }_{2}t\right)$$v_\i(t) = V_\text{1m} \cos(\omega_1 t) + V_\text{2m} \cos(\omega_2 t)$.

  • 有用信号 $v_1(t)=V_{\text{1m}}\cos \left({\omega }_{1}t\right)$$v_1(t) = V_\text{1m} \cos(\omega_1 t)$ 为弱信号.

  • 干扰信号 $v_2(t)=V_{\text{2m}}\cos \left({\omega }_{2}t\right)$$v_2(t) = V_\text{2m} \cos(\omega_2 t)$ 为强信号.

• 输出信号（$V_{\text{1m}}\ll V_{\text{2m}}$$V_\text{1m} \ll V_\text{2m}$）

  • 基波信号：$i=(a_1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_3{V}_{\text{2m}}^2)V_{\text{1m}}\cos \left({\omega }_{1}t\right)$$i = \pqty{a_1 + \dfrac{3}{2} a_3 V_\text{2m}^2} V_\text{1m} \cos(\omega_1 t)$.

  • 平均跨导：$\overline{g_{\text{m}}}=a_1+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_3{V}_{\text{2m}}^2$$\overline{g_\text m} = a_1 + \dfrac{3}{2} a_3 V_\text{2m}^2$.

• 说明

  • 强干扰信号使得跨导变小，输出信号电流变小.

  • 通常要求引起堵塞的强信号比有用信号大 60 - 70 dB.

2 交叉调制

• 输入信号

  • 弱有用信号 $v_1=V_{\text{1m}}\cos {\omega }_{1}t$$v_1 = V_\text{1m} \cos\omega_1 t$.

  • 强干扰信号 $v_2=V_{\text{2m}}(1+m\cos \mathrm{\Omega }t)\cos {\omega }_{2}t$$v_2 = V_\text{2m} (1 + m \cos\Omega t) \cos\omega_2 t$.

• 输出信号

  • 基波：$i(t)\approx [a_1{V}_{\text{1m}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_3{V}_{\text{1m}}{V}_{\text{2m}}^2(1+m\cos \mathrm{\Omega }t{)}^2]\cos \left({\omega }_{1}t\right)$$i(t) \approx \bqty{a_1 V_\text{1m} + \dfrac{3}{2} a_3 V_\text{1m} V_\text{2m}^2 (1 + m \cos\Omega t)^2} \cos(\omega_1 t)$.

  • 幅度：$I_{\text{m}}=a_1{V}_{\text{1m}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_3{V}_{\text{1m}}{V}_{\text{2m}}^2(1+m\cos \mathrm{\Omega }t{)}^2$$I_\text m = a_1 V_\text{1m} + \dfrac{3}{2} a_3 V_\text{1m} V_\text{2m}^2 (1 + m \cos\Omega t)^2$.

• 说明

  • 若输入信号均为 AM 调制信号，则振幅解调后会听到干扰台的串话音.

  • 交叉调制失真由非线性器件的三次方项产生.

3 互相调制

• 两音互调失真：三阶互调、五阶互调等.

• 互调失真比：三阶互调分量幅度与基波幅度之比.

  • $\mathrm{IMR}={\displaystyle \frac{\frac{3}{4}{a}_3{V}_{\text{m}}^3}{a_1{V}_{\mathrm{m}}}}={\displaystyle \frac{3a_3}{4a_1}}{V}_{\text{m}}^2$$\rm{IMR} = \dfrac{\cfrac{3}{4} a_3 V_\text m^3}{a_1 V_\rm m} = \dfrac{3 a_3}{4 a_1} V_\text m^2$.

  • $P_{\mathrm{IMR}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{o}3}}{P_{\mathrm{o}1}}}=(\mathrm{IMR}{)}^2$$P_\rm{IMR} = \dfrac{P_\rm{o3}}{P_\rm{o1}} = (\rm{IMR})^2$.

• 三阶截点 ${\mathrm{IP}}_3$$\rm{IP_3}$：三阶互调功率与基波功率相等的点.

  • 此点对应的输入输出功率分别为 ${\mathrm{IIP}}_3$$\rm{IIP}_3$ 和 ${\mathrm{OIP}}_3$$\rm{OIP}_3$.

  • 基波功率：$P_{\mathrm{o}1}=G_{{\mathrm{P}}_1}({\mathrm{IIP}}_3)=P_{\mathrm{o}3}$$P_{\o 1} = G_{\rm{P_1}} (\rm{IIP_3}) = P_{\o3}$.

  • 三阶互调功率：$P_{\mathrm{o}3}=G_{{\text{P}}_3}({\mathrm{IIP}}_3{)}^3$$P_{\o3} = G_{\text P_3} (\rm{IIP}_3)^3$.

  • 三阶截点输入信号幅度：$V_{{\mathrm{mIP}}_3}\approx \sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}\left|{\displaystyle \frac{a_1}{a_3}}\right|}$$V_\rm{mIP_3} \approx \sqrt{\dfrac{4}{3} \vqty{\dfrac{a_1}{a_3}}}$.

• 相互关系

  • $P_{\text{IMR}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{o}3}}{P_{\mathrm{o}1}}}={\displaystyle \frac{G_{{\mathrm{P}}_3}{P}_{\mathrm{i}}^3}{G_{{\mathrm{P}}_1}{P}_{\mathrm{i}}}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{i}}^2}{({\mathrm{IIP}}_3{)}^2}}$$P_\text{IMR} = \dfrac{P_{\o3}}{P_{\o1}} = \dfrac{G_{\rm P_3} P_\i^3}{G_{\rm P_1} P_\i} = \dfrac{P_\i^2}{(\rm{IIP}_3)^2}$.

  • ${\displaystyle \frac{V_{\text{im-1dB}}}{V_{{\mathrm{mIP}}_3}}}=-9.6\mathrm{dB}$$\dfrac{V_\text{im-1dB}}{V_\rm{mIP_3}} = -9.6\ \rm{dB}$.

4 分贝单位

• 无量纲单位

  • 电压增益：$A_{\text{V}}=20\lg A_{\text{V}}(\mathrm{dB})$$A_\text V = 20 \lg A_\text V\ (\rm{dB})$.

  • 功率增益：$G_{\text{P}}=10\lg G_{\text{P}}(\mathrm{dB})$$G_\text P = 10 \lg G_\text P\ (\rm{dB})$.

  • 当输入输出阻抗相同时，$G_{\text{P}}={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{o}}^2/R_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{i}}^2/R_{\mathrm{i}}}}=A_{\text{V}}^2$$G_\text P = \dfrac{V_\o^2 / R_\o}{V_\i^2 / R_\i} = A_\text V^2$.

• 有量纲单位

  • 电压：$U=20\lg {\displaystyle \frac{U}{1\mathrm{V}}}(\mathrm{dBV})=20\lg {\displaystyle \frac{U}{1\mathrm{mV}}}(\mathrm{dBmV})$$U = 20 \lg \dfrac{U}{1\ \rm V}\ (\rm{dBV}) = 20 \lg \dfrac{U}{1\ \rm{mV}}\ (\rm{dBmV})$.

  • 功率：$P=10\lg {\displaystyle \frac{P}{1\mathrm{W}}}(\mathrm{dBW})=10\lg {\displaystyle \frac{P}{1\mathrm{mW}}}(\mathrm{dBm})$$P = 10 \lg \dfrac{P}{1\ \rm W}\ (\rm{dBW}) = 10 \lg \dfrac{P}{1\ \rm{mW}}\ (\rm{dBm})$.

• 运算说明

  • dB 可加减（结果为 dB），不可乘除.

  • dBm 与 dBm 可相减（结果为 dB），不可相加

  • dB 与 dBm 可加减，结果为 dBm 或 dBm^-1.

2.7.3 多级非线性级级联特性

2.8 非线性器件与频谱搬移

即利用二次项实现乘法器.

2.9 灵敏度与动态范围

2.9.1 灵敏度

• 最低输入信号功率

  $$\begin{array}{rl}{P}_{\text{in, min}}& ={\displaystyle \frac{P_{\text{o, min}}}{G_{\text{P}}}}={\displaystyle \frac{N_{\mathrm{o}}}{G_{\text{P}}}}{\displaystyle \frac{P_{\text{o, min}}}{N_{\mathrm{o}}}}\\ & =k[T_{\text{a}}+(F-1)T_0]B\cdot (\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{o},\min },\end{array}$$

• 基底噪声（合成噪声）

  • $F_{\text{t}}(\mathrm{dBm})=k[T_{\text{a}}+(F-1)T_0](\mathrm{dBm}/\mathrm{Hz})+10\lg B$$F_\text t (\rm{dBm}) = k \bqty{T_\text a + (F - 1) T_0}\ (\rm{dBm / Hz}) + 10 \lg B$.

  • 当 $T_{\text{a}}=T_0=290\mathrm{K}$$T_\text a = T_0 = 290\ \rm K$ 时，$F_{\text{t}}=-174(\mathrm{dBm}/\mathrm{Hz})+NF(\mathrm{dB})+10\lg B$$F_\text t = -174\ (\rm{dBm / Hz}) + NF\ (\rm{dB}) + 10 \lg B$.

• 基底噪声越大，或要求的信噪比越高，最低电平就越高，灵敏度就越低.

2.9.2 动态范围

• 线性动态范围（常用于功率放大器）

  • 定义：产生 1dB 压缩点的输入信号电平与灵敏度（或基底噪声）之比.

  • 以基底噪声为下限：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{P_{\text{i, 1dB}}}{F_{\text{t}}}}$$\rm{DR_l} = \dfrac{P_\text{i, 1dB}}{F_\text t}$.

  • 以灵敏度为下限：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{P_{\text{i, 1dB}}}{P_{\mathrm{in},\min }}}$$\rm{DR_l} = \dfrac{P_\text{i, 1dB}}{P_\rm{in, min}}$.

• 无杂散动态范围（SFDR，常用于低噪声放大器或混频器）

  • ${\mathrm{DR}}_{\mathrm{f}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{in},\max }}{P_{\mathrm{in},\min }}}$$\rm{DR_f} = \dfrac{P_\rm{in, max}}{P_\rm{in, min}}$.

  • 上限即 ${\displaystyle \frac{P_{\mathrm{o}3}}{G_{\text{P3}}}}=F_{\text{t}}$$\dfrac{P_{\o3}}{G_\text{P3}} = F_\text t$ 时的输入信号，$P_{\text{in, max}}=\sqrt[3]{({\mathrm{IIP}}_3{)}^2{F}_{\text{t}}}$$P_\text{in, max} = \sqrt[3]{(\rm{IIP_3})^2 F_\text t}$.

  • 以灵敏度为下限：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{dB})={\displaystyle \frac{2}{3}}[{\mathrm{IIP}}_3(\mathrm{dBm})-P_{\text{in, min}}(\mathrm{dBm})]-{\displaystyle \frac{1}{3}}(\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{o},\min }(\mathrm{dBm})$$\rm{DR_f\ (dB)} = \dfrac{2}{3} \bqty{\rm{IIP_3}\ \rm{(dBm)} - P_\text{in, min}\ (\rm{dBm})} - \dfrac{1}{3}\rm{(SNR)_{o, min} (dBm)}$.

  • 以基底噪声下限：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{dB})={\displaystyle \frac{2}{3}}[{\mathrm{IIP}}_3(\mathrm{dBm})-F_{\text{t}}(\mathrm{dBm})]$$\rm{DR_f\ (dB)} = \dfrac{2}{3} \bqty{\rm{IIP_3}\ \rm{(dBm)} - F_\text t\ (\rm{dBm})}$.

本章总结

• 噪声

  • 等效噪声带宽 $B_{\text{L}}={|H(f_0)|}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{|H(f)|}^2\mathrm{d}f}$$B_\text L = \vqty{H(f_0)}^{-2} {\intoi \vqty{H(f)}^2 \dd{f}}$.

  • 电阻：$S_{\text{I}}={\displaystyle \frac{4kT}{R}},S_{\text{V}}=4kTR,N_{\text{A}}=kTB$$S_\text I = \dfrac{4kT}{R}, S_\text V = 4 k T R, N_\text A = k T B$.

• 等效噪声温度

  • $N_{\text{内}}=kB{T}_{\mathrm{e}}{G}_{\text{P}}$$N_内 = k B T_\e G_\text P$.

  • $T_{\mathrm{e}}=(F-1)T_0$$T_\e = (F - 1) T_0$.

• 级联

  • $T_{\mathrm{e}}=T_{{\mathrm{e}}_1}+{\displaystyle \frac{T_{{\mathrm{e}}_2}}{G_{\text{PA1}}}}+{\displaystyle \frac{T_{{\mathrm{e}}_3}}{G_{\text{PA1}}{G}_{\text{PA2}}}}+\cdots$$T_\e = T_{\e_1} + \dfrac{T_{\e_2}}{G_{\text{PA1}}} + \dfrac{T_{\e_3}}{G_\text{PA1} G_\text{PA2}} + \cdots$.

  • $F=F_1+{\displaystyle \frac{F_2-1}{G_{\text{PA1}}}}+{\displaystyle \frac{F_3-1}{G_{\text{PA1}}{G}_{\text{PA2}}}}+\cdots$$F = F_1 + \dfrac{F_2 - 1}{G_\text{PA1}} + \dfrac{F_3 - 1}{G_\text{PA1} G_\text{PA2}} + \cdots$.

  • ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{IIP}}_3}}\approx {\displaystyle \frac{1}{({\mathrm{IIP}}_3{)}_1}}+{\displaystyle \frac{A_1^2}{({\mathrm{IIP}}_3{)}_2}}+{\displaystyle \frac{A_1^2{A}_2^2}{({\mathrm{IIP}}_3{)}_3}}+\cdots$$\dfrac{1}{\rm{IIP_3}} \approx \dfrac{1}{\rm{(IIP_3)_1}} + \dfrac{A_1^2}{\rm{(IIP_3)_2}} + \dfrac{A_1^2 A_2^2}{\rm{(IIP_3)_3}} + \cdots$.

• 非线性器件

  • 单向开关函数 $S_1(\omega t)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\cos \left(\omega t\right)+\cdots$$S_1(\omega t) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} \cos(\omega t) + \cdots$.

  • 双向开关函数 $S_2(\omega t)={\displaystyle \frac{4}{\pi }}\cos \left(\omega t\right)-\cdots$$S_2(\omega t) = \dfrac{4}{\pi} \cos(\omega t) - \cdots$.

• 灵敏度：$P_{\text{in, min}}=k[T_{\text{a}}+(F-1)T_0]B\cdot (\mathrm{SNR}{)}_{\mathrm{o},\min }$$P_\text{in, min} = k \bqty{T_\text a + (F - 1) T_0} B \cdot \rm{(SNR)_{o, min}}$.

• 动态范围

  • 线性动态范围：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{P_{\text{i, 1dB}}}{P_{\mathrm{in},\min }}}$$\rm{DR_l} = \dfrac{P_\text{i, 1dB}}{P_\rm{in, min}}$.

  • 无杂散动态范围：${\mathrm{DR}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{dB})={\displaystyle \frac{2}{3}}[{\mathrm{IIP}}_3(\mathrm{dBm})-F_{\text{t}}(\mathrm{dBm})]$$\rm{DR_f\ (dB)} = \dfrac{2}{3} \bqty{\rm{IIP_3}\ \rm{(dBm)} - F_\text t\ (\rm{dBm})}$.

第 3 章 调制和解调

3.1 调制解调的介绍

3.1.1 调制解调的概念

• 概念

  • 调制

    • 基带信号（调制信号，原始信号）加载到正弦载波.

    • 即低频基带信号与高频载波信号的频率相加，对于三角函数，可以让信号相乘，这需要模拟乘法器.

  • 解调：从已调波中恢复基带信号.

• 调制、解调的原因

  • 天线辐射单元的尺寸至少应为被辐射信号波长的十分之一.

    因此在射频通信中通带信号的带宽远小于载波频率.

  • 实现信道复用，提高信道利用率.

  • 克服信道缺陷.（某些信道存在自然界中的干扰）

3.1.2 调制解调的方案

• 调制的方式：$x(t)=a(t)\cos ({\omega }_{\text{c}}t+\theta (t))$$x(t) = a(t) \cos(\omega_\text c t + \theta(t))$.

  • 时域上的线性控制.

  • 频域上的频谱搬移.

• 常用的调制方案

  • 模拟调制方案：AM, FM, PM

  • 数字调制方案

  • 脉冲调制方案

3.1.3 调制的性能指标

• 抗噪声干扰能力：调频与调相的性能相同

• 调制方式的频谱有效性：相同传输速率与质量, 带宽越小越好.

• 调制方式的功率有效性：放大已调射频信号, 可用线性或非线性的功率放大器.

3.2 模拟调制

3.2.1 幅度调制与解调

1 普通调幅 (AM)

Amplitude Modulation

• 记号

  • 载波信号 $v_{\text{c}}(t)=V_{\text{cm}}\cos {\omega }_{\text{c}}t$$v_\text c(t) = V_\text{cm} \cos\omega_\text c t$，频率为 $f_{\text{c}}$$f_\text c$.

  • 调制信号 $v_{\mathrm{\Omega }}(t)=V_{\mathrm{\Omega }\mathrm{m}}\cos \mathrm{\Omega }t$$v_\Omega(t) = V_\mathrm{\Omega m} \cos\Omega t$，频率为 $F$$F$.

  • ${\omega }_{\text{c}}\gg \mathrm{\Omega },V_{\text{cm}}>V_{\mathrm{\Omega }\mathrm{m}}$$\omega_\text c \gg \Omega, V_\text{cm} > V_\mathrm{\Omega m}$.（一般 $f_{\text{c}}>500\mathrm{k}$$f_\text c > 500\,\k$）

• 调幅

  • 载波幅度：$V_{\text{cm}}(t)=V_{\text{cm}}+k_{\text{a}}{v}_{\mathrm{\Omega }}(t)=V_{\text{cm}}(1+m_{\text{a}}\cos \mathrm{\Omega }t)$$V_\text{cm}(t) = V_\text{cm} + k_\text a v_\Omega(t) = V_\text{cm} (1 + m_\text a \cos\Omega t)$.

  • 调幅指数：$m_{\text{a}}={\displaystyle \frac{k_{\text{a}}{V}_{\mathrm{\Omega }\mathrm{m}}}{V_{\text{cm}}}}$$m_\text a = \dfrac{k_\text a V_\mathrm{\Omega m}}{V_\text{cm}}$，若 $m_{\text{a}}>1$$m_\text a > 1$ 则系数出现负数（调制失真）

  • 调幅波的时域表示 $v(t)=V_{\text{cm}}(1+m_{\text{a}}\cos \mathrm{\Omega }t)\cos {\omega }_{\text{c}}t$$v(t) = V_\text{cm} (1 + m_\text a \cos\Omega t) \cos\omega_\text c t$.

• 频谱与幅度

  • $v(t)=V_{\text{cm}}\cos {\omega }_{\text{c}}t+{\displaystyle \frac{m_{\text{a}}{V}_{\text{cm}}}{2}}\cos ({\omega }_{\text{c}}+\mathrm{\Omega })t+{\displaystyle \frac{m_{\text{a}}{V}_{\text{cm}}}{2}}\cos ({\omega }_{\text{c}}-\mathrm{\Omega })t$$v(t) = V_\text{cm} \cos\omega_\text c t + \dfrac{m_\text a V_\text{cm}}{2} \cos(\omega_\text c + \Omega)t + \dfrac{m_\text a V_\text{cm}}{2} \cos(\omega_\text c - \Omega)t$.

  • 三条频谱：载频 ${\omega }_{\text{c}}$$\omega_\text c$，上下旁频（变频）${\omega }_{\text{c}}\pm \mathrm{\Omega }$$\omega_\text c \pm \Omega$.

  • 带宽：$\text{BW}=2F_{max}$$\text{BW} = 2F_\max$，其中 $F_{max}$$F_\max$ 是调制信号的最高频率.

• 调幅波的功率

  • 调幅功率：$P={\displaystyle \frac{V_{\text{cm}}^2(t)}{2}}={\displaystyle \frac{V_{\text{cm}}^2}{2}}{(1+m_{\text{a}}\cos \mathrm{\Omega }t)}^2$$P = \dfrac{V_\text{cm}^2(t)}{2} = \dfrac{V_\text{cm}^2}{2} \pqty{1 + m_\text a \cos\Omega t}^2$.

  • 功率最值： $P_{max},P_{min}={\displaystyle \frac{V_{\text{cm}}^2}{2}}(1\pm m_{\text{a}}{)}^2$$P_\max, P_\min = \dfrac{V_\text{cm}^2}{2} (1 \pm m_\text a)^2$.

  • 调制信号的平均功率：$P_{\mathrm{avg}}={\displaystyle \frac{V_{\text{cm}}^2}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_{\text{a}}^2)$$P_\avg = \dfrac{V_\text{cm}^2}{2} \pqty{1 + \dfrac{1}{2} m_\text a^2}$.

  • 载频功率：$P_{\text{c}}={\displaystyle \frac{V_{\text{cm}}^2}{2}}$$P_\text c = \dfrac{V_\text{cm}^2}{2}$.

  • 总旁频功率：$2P_{\omega \pm \mathrm{\Omega }}={\displaystyle \frac{m_{\text{a}}^2{P}_{\text{c}}}{2}}$$2P_\mathrm{\omega \pm \Omega} = \dfrac{m_\text a^2 P_\text{c}}{2}$.（很小，如 4.5%）

• 备注：AM 调制易受干扰、对仪器性能要求高、消耗功率大，目前已很少采用.

2 抑制载波的双边带调幅（DSB）

Double SideBand - Suppressed Carrier

• 抑制载波的原因

  • 载波不携带信息

  • 载频占据的功率最多

• DSB 的效果

  • 节省了功率.

  • 不节省频带.

• 表达式与波形

  $$v(t)=A{v}_{\text{c}}(t)v_{\mathrm{\Omega }}(t)={\displaystyle \frac{A{V}_{\mathrm{\Omega }\mathrm{m}}{V}_{\mathrm{cm}}}{2}}\cos ({\omega }_{\text{c}}+\mathrm{\Omega })t+{\displaystyle \frac{A{V}_{\mathrm{\Omega }\mathrm{m}}{V}_{\mathrm{cm}}}{2}}\cos ({\omega }_{\text{c}}-\mathrm{\Omega })t.$$

• 波形的特点

  • 上下包络不同于调制信号的变化形状.

  • 在调制信号的过零点处，已调波的相位发生 180 度突变.