电路设计

第 4 章 发射、接收机结构

4.1 概述

4.1.1 发射机

• 基本组成：振荡器 -> 调制器 -> 上变频 -> 高频功率放大 -> 带通滤波器.

• 完成功能：信号调制、频谱搬移、功率放大、滤波.

• 主要指标：频谱、功率、效率.

4.1.2 接收机

• 基本组成：带通滤波器 -> 低噪声放大器 -> 解调器.

• 完成功能：选出有用信号、小信号放大、信号解调.

• 主要指标：灵敏度、选择性.

4.1.3 关键问题

1. 调制解调方案：干扰性能好、频带利用率高、功率有效性好.

2. 发射机

   1. 高效率、不失真的功率放大器.

   2. 对相邻信道的干扰小.

3. 接收机

   1. 选出有用信号、抑制干扰.

   2. 灵敏度、线性动态范围.

4. 天线转换器的损耗小、隔离度高.

4.2 接收机方案

4.2.1 超外差式接收机

1 基本结构方案

• 基本结构

  • 高频小信号放大器

    • 低噪声放大器（LNA）

    • 增益不宜过大（否则经变频器后容易失真）

  • 带通滤波器 BPF₁

    • 选择频带（band），消除镜像干扰（寄生通道干扰）

    • 在 LNA 前：滤除带外信号，减少互调失真.

    • 在 LNA 后：降低系统噪声系数.

  • 下变频器（关键部件）

    • 接收频率为 ${\omega }_{\mathrm{RF}}$$\omega_\rm{RF}$ 的射频信号.（Radio Frequency）

    • 与本振频率 ${\omega }_{\text{LO}}$$\omega_\text{LO}$ 相乘.（Local Oscillation）

    • 降为频率固定的中频信号 ${\omega }_{\text{IF}}=|{\omega }_{\text{RF}}-{\omega }_{\text{LO}}|$$\omega_\text{IF} = \vqty{\omega_\text{RF} - \omega_\text{LO}}$.（Intermediate Frequency）

    • 存在镜像干扰频率：${\omega }_{\text{im}}={\omega }_{\text{LO}}+{\omega }_{\text{IF}}$$\omega_\text{im} = \omega_\text{LO} + \omega_{\text{IF}}$.（Image Frequency）

  • BPF₂：中频滤波器，用于选择信道（channel）

  • 中频放大：使镜像频率远离有用信号.

• 方案原因

  • 中频比载频的频率低，易于滤波.

  • 总增益分散到了高频、中频、基带三个频段上，更加稳定.

  • 在较低的固定中频上易于解调、A / D 转换.

2 中频选择

• 中频的性能

  • 高中频：镜像频率远离有用信号，有利于抑制镜像频率干扰，提高灵敏度.（干扰性）

  • 低中频：有利于抑制相邻信道的干扰信号，选择信道，提供稳定的高增益.（选择性）

• 中频的选择

  • 根据对抑制镜像通道的要求：$f_{\text{IF}}\ge {\displaystyle \frac{{\mathrm{BW}}_{60\mathrm{dB}}}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}\cdot K_{60\mathrm{dB}}$$f_\text{IF} \ge \dfrac{\rm{BW_{60dB}}}{4} = \dfrac{1}{4} \rm{BW_{3dB}} \cdot K_{\rm{60dB}}$.

  • 根据对中频干扰的抑制要求：$f_{\text{RF}}-f_{\text{IF}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}\cdot K_{80\mathrm{dB}}$$f_\text{RF} - f_\text{IF} \ge \dfrac{1}{2} \rm{BW_{3dB}} \cdot K_\rm{80 dB}$.

  • 根据中频滤波器的可实现性

  • 根据抑制寄生通道干扰要求

3 二次变频方案

• I 中频采用高重品质，提高镜像频率抗拒比.

• II 中频采用低中频值，抑制相邻信道的干扰.（增益高）

4.2.2 直接下变频方案

• 直接下变频（零中频方案）

• 优点

  • 消除了镜像频率干扰.

  • 接收机的射频部分增益不高，易于满足线性动态范围.

  • 无需考虑与放大器的匹配问题.

  • 无需用专用的中频滤波器选择信道.

• 缺点

  • 本振泄露

  • 低噪声放大器偶次谐波失真干扰

  • 直流偏差

  • 噪声

4.2.3 镜频抑制接受方案

• Hartley 结构

• Weaver 结构

4.2.4 数字中频方案

• 可以避免 I/Q 两路的不一致.

• 对 A/D 转换器的要求较高.

4.3 发射机方案

4.3.1 直接变换法

• 思路：调制和上变频合二为一.

• 缺点：强信号牵引本振频率，本振频率不稳定.

• 改进：令本振频率与调制的载频相同.

4.3.2 两步变换法

• 思路：先在低中频调制，再将其搬移到发射的载频上.

• 优点：本振频率稳定.

• 缺点：对滤波器的要求高.

4.4 收发信机的性能指标

4.4.1 发信机技术指标

• 平均载频功率

• 发信载频包络

• 射频功率控制

• 射频输出频谱

• 杂散辐射

• 互调衰减

• 相位误差

• 频率精度

4.4.2 接收机技术指标

• 灵敏度

• 阻塞和杂散响应抑制

• 互调响应抑制

• 邻道干扰抑制

• 杂散辐射

4.4.3 系统指标分配与计算

• 插入损耗：

  • 滤波器：$L={\displaystyle \frac{1}{G_{\mathrm{P}}}}=F$$L = \dfrac{1}{G_\rm P} = F$.

  • 混频器：$L={\displaystyle \frac{1}{G_{\mathrm{P}}}}\ne F$$L = \dfrac{1}{G_\rm P} \ne F$.

• 噪声系数的计算

  • $N_{\text{内}}=k(F-1)T_{0}B$$N_内 = k (F - 1) T_0 B$.

  • $N_{\text{out}}=G_{\text{P}}(N_{\text{i}}+N_{\text{内}})$$N_\text{out} = G_\text P(N_\text{i} + N_内)$.

• 三阶互调截点输入功率 ${\mathrm{IIP}}_3$$\rm{IIP_3}$.

第 5 章 低噪声放大器

5.1 低噪声放大器的介绍

5.1.1 低噪声放大器的特点

低噪声放大器 (LNA) 的特点

• 位于接收机的最前端, 因此

  • 噪声越小越好.

  • 要求有适当的稳定增益.

• 接受的信号很微弱且变化.

• 通过传输线直接与天线或天线滤波器相连.

• 应具有选频功能，抑制带外和镜像频率的干扰.

5.1.2 低噪声放大器的指标

• 低功耗

  • 低电源电压

  • 低偏置电流 (静态电流)：会导致晶体管的跨导减小

• 工作频率 (取决于晶体管的特征频率 $f_{{}_{\text{T}}}$$f_{_\text T}$)

  $$f_{{}_{\text{T}}}={\displaystyle \frac{g_{\text{m}}}{2\pi (C_{\pi }+C_{\mu })}}\approx {\displaystyle \frac{g_{\text{m}}}{2\pi C_{\pi }}}.$$

  • 注：特征频率为使 $\left|\beta \right|={\displaystyle \frac{I_{\text{c}}}{I_{\text{b}}}}$$\vqty{\beta} = \dfrac{I_\text c}{I_\text b}$ 下降为 1 时的频率.

  • 减小偏置电流会减小 $g_{\text{m}}={\displaystyle \frac{I_{\text{CQ}}}{U_{\text{BEQ}}}}$$g_\text m = \dfrac{I_\text{CQ}}{U_\text{BEQ}}$，从而降低 $f_{{}_{\text{T}}}$$f_{_\text T}$.

  • 增大晶体管的面积，会增加极间电容 $C_{\pi }$$C_\pi$，从而降低 $f_{{}_{\text{T}}}$$f_{_\text T}$.

• 噪声系数

  • 噪声系数的公式

    • 线性网络

      $$F=1+{\displaystyle \frac{\overline{(V_{\text{n}}+I_{\text{n}}{R}_{\text{S}}{)}^2}}{4kTB{R}_{\text{S}}}},$$

    • 共射组态的单管双极型晶体管:

      $$\begin{array}{rl}F& =1+{\displaystyle \frac{r_{\text{bb’}}}{R_{\text{S}}}}+{\displaystyle \frac{1}{2g_{\text{m}}{R}_{\text{S}}}}+{\displaystyle \frac{g_{\text{m}}{R}_{\text{S}}}{2\beta }}\\ & \approx 1+{\displaystyle \frac{r_{\text{bb’}}}{R_{\text{S}}}}+{\displaystyle \frac{1}{2g_{\text{m}}{R}_{\text{S}}}},\end{array}$$

    • 单管共源 MOS 场效应管 (一般用这个)

      $$F=1+{\displaystyle \frac{\gamma }{R_{\text{S}}{g}_{\text{m}}}},$$

  • 噪声系数的特点

    • $F$$F$ 与工作点有关.

    • 增大晶体管的面积可以减小基区体电阻 $r_{\text{bb’}}$$r_\text{bb'}$，从而降低噪声 $F$$F$.

      但这样也会增大极间电容 $C_{\pi }$$C_\pi$，从而降低特征频率 $f_{{}_{\text{T}}}$$f_{_\text T}$.

    • $F$$F$ 与信号源内阻 $R_{\text{S}}$$R_\text{S}$ 有关.

• 增益 (略)

  • 增益需要适中

    • 增益过大，会使得下级混频器的输入太大，产生失真.

    • 增益过小，无法抑制后面各级的噪声对系统的影响.

  • 增益的影响因素

    • 跨导 $g_{\text{m}}$$g_\text m$，而跨导由工作点的电流决定.

    • 负载阻抗小，增益难以做高，因此可采用两级放大.

  • LNA 的负载有两种形式

    • 采用调谐的 LC 回路作为负载.

    • 后接集中选频滤波器, 此时输入输出阻抗一般都为 $50\mathrm{\Omega }$$50\Omega$.

      此时 LNA 需要注意阻抗匹配.

• 自动增益控制 (略)

  • 改变放大器的工作点.

  • 改变放大器的负反馈量.

  • 改变放大器谐振回路的 Q 值.

• 输入阻抗匹配

  • 放大器与源的匹配方式

    • 噪声匹配: 噪声系数最小.

    • 共轭匹配: 获得最大传输功率与最小反射损耗.

    • 一般采用共轭匹配, 并力求以上两种匹配接近.

  • 匹配网络的选择

    • 纯电阻网络

      • 适合于宽带放大.

      • 消耗功率.

      • 增加噪声.

    • 无损耗的电抗网络

      • 不会增加噪声.

      • 只适合窄带放大.

  • 四种匹配方式 (略)

    

• 线性范围 (略)

  • 度量指标

    • 三阶互调截点 ${\mathrm{IIP}}_3=\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}\left|{\displaystyle \frac{a_1}{a_3}}\right|}$$\mathrm{IIP_3} = \sqrt{\dfrac{4}{3} \vqty{\dfrac{a_1}{a_3}}}$.

    • 增益 1 dB 压缩点.

  • 线性范围的影响因素

    • 器件种类与性能

      场效应管具有平方律特性, 因此线性比双极型好 (指数函数关系).

    • 电路结构

      增加负反馈、单管放大改为差分放大，可改善线性.

    • 阻抗匹配网络.

• 隔离度和稳定性 (略)

  • 不稳定的引起因素

    • 反向传输：极间电容与寄生餐宿的影响; 应该较少 (即隔离性能增加).

  • 稳定性的改进措施

    • 中和法：用中和电容抵消引起的反向传输.

    • 失配法：采用共射共基 (共源共栅) 组合连接.

5.2 晶体管高频等效电路

5.2.1 晶体管高频参数与描述模型

• 晶体管高频参数

  • 截止频率 $f_{\beta }$$f_\beta$：电流放大系数下降为 ${\displaystyle \frac{{\beta }_0}{\sqrt{2}}}$$\dfrac{\beta_0}{\sqrt 2}$ 时的频率.

  • 特征频率 $f_{{}_{\text{T}}}$$f_{_\text T}$：使 $\left|\beta \right|$$\vqty{\beta}$ 下降为 1 时的频率.

  • 最大频率 $f_{max}$$f_\max$：使晶体管功率增益 $G_{\text{p}}=1$$G_\text p = 1$ 时的频率.

  • $f_{max}>f_{\text{T}}>f_{\beta }$$f_\max > f_\text T > f_\beta$.

• 描述晶体管的两种模型

  • 物理等效电路模型.

  • 网络参数表示的网络模型.

5.2.2 双极型晶体管共射小信号等效电路

• 物理模型

  • 输入电压：$v_{\text{BE}}=V_{\text{BEQ}}+v_{\text{s}}$$v_\text{BE} = V_\text{BEQ} + v_\text s$.

  • 输出电流：$i_{\text{C}}=I_{\text{S}}{\mathrm{e}}^{\frac{q}{kT}{v}_{{}_{\text{BE}}}}=I_{\text{CQ}}{\mathrm{e}}^{\frac{q}{kT}{v}_{\text{s}}}$$i_\text C = I_\text S \e^{\tfrac{q}{kT} v_{_\text{BE}}} = I_\text{CQ} \e^{\tfrac{q}{kT} v_\text s}$.

• 混合 π 模型

  • 适用条件：信号幅度 $V_{\text{Sm}}\ll V_{\text{T}}\approx 26\mathrm{mV}$$V_\text{Sm} \ll V_\text T \approx 26\mathrm{mV}$，此时为线性.

  • 注意事项：交流小信号等效电路，参数与静态工作点有关.

  • 交流通路：仅做偏置用的直流电阻可不画.

  • 模拟电路.pdf (sleepcloudmx.github.io)

• Y 参数 (导纳参数)

  

  • ${\dot{I}}_{\text{b}}=y_{\text{ie}}{\dot{V}}_{\text{b}}+y_{\text{re}}{\dot{V}}_{\text{c}}$$\dot{I}_\text b = y_\text{ie} \dot V_\text b + y_\text{re} \dot{V}_\text c$.

  • ${\dot{I}}_{\text{c}}=y_{\text{fe}}{\dot{V}}_{\text{b}}+y_{\mathrm{oe}}{\dot{V}}_{\text{c}}$$\dot I_\text c = y_\text{fe} \dot V_\text b + y_\rm{oe} \dot V_\text c$.

5.2.3 场效应管小信号模型

略.

5.3 低噪声放大器设计

5.3.1 利用 Y 参数进行设计

1 单调谐回路谐振放大器

• 低噪声放大器一般思路

  • 组成部分：晶体管、偏置、输入匹配、负载

  • 改善选择性：多级级联

• 原理电路图

  

• Y 参数等效电路图

  

• 电路方程

  • ${\dot{I}}_{\text{i}}=y_{\text{ie}}{\dot{V}}_{\mathrm{i}}+y_{\text{re}}{\dot{V}}_{\text{c}}$$\dot{I}_\text i = y_\text{ie} \dot V_\i + y_\text{re} \dot{V}_\text c$.

  • ${\dot{I}}_{\text{c}}=y_{\text{fe}}{\dot{V}}_{\mathrm{i}}+y_{\mathrm{oe}}{\dot{V}}_{\text{c}}\approx -{\dot{V}}_{\text{c}}{Y}_{\text{L}}^{\prime }$$\dot I_\text c = y_\text{fe} \dot V_\i + y_\rm{oe} \dot V_\text c \approx - \dot V_\text c Y'_\text L$.

• 性能指标

  • 电压增益：${\dot{A}}_{\text{V}}={\displaystyle \frac{{\dot{V}}_{\text{c}}}{{\dot{V}}_{\text{i}}}}=-{\displaystyle \frac{y_{\text{fe}}}{y_{\text{oe}}+Y_{\text{L}}^{\prime }}}$$\dot{A}_\text V = \dfrac{\dot V_\text c}{\dot V_\text i} = -\dfrac{y_\text{fe}}{y_\text{oe} + Y'_\text L}$.（分子为复数）

  • 谐振增益与通频带乘积为常数

    • 通频带：${\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}={\displaystyle \frac{f_0}{Q_{\text{L}}}}$$\rm{BW_{3dB}} = \dfrac{f_0}{Q_\text L}$.

    • 谐振增益：${\dot{A}}_{\text{V}0}=-{\displaystyle \frac{f_0{y}_{\text{fe}}}{{\omega }_0{C}_{\sum }{\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}}}$$\dot A_{\text V0} = -\dfrac{f_0 y_\text{fe}}{\omega_0 C_\sum \rm{BW_{3dB}}}$.

  • 选择性

    • 20dB 带宽：${\mathrm{BW}}_{0.1}=\sqrt{{10}^2-1}{\displaystyle \frac{{\omega }_0}{Q_{\text{L}}}}$$\rm{BW_{0.1}} = \sqrt{10^2 - 1} \dfrac{\omega_0}{Q_\text L}$.

    • 矩形系数：$K_{0.1}\approx 9.96\gg 1$$K_{0.1} \approx 9.96 \gg 1$.

  • 输入导纳：$Y_{\mathrm{i}}=y_{\text{ie}}-{\displaystyle \frac{y_{\text{re}}{y}_{\text{fe}}}{y_{\text{oe}}+Y_{\text{L}}^{\prime }}}$$Y_\i = y_\text{ie} - \dfrac{y_\text{re} y_\text{fe}}{y_\text{oe} + Y_\text{L}'}$.

  • 输出导纳：$Y_{\mathrm{o}}=y_{\text{oe}}-{\displaystyle \frac{y_{\text{re}}{y}_{\text{fe}}}{Y_{\text{S}}+y_{\text{ie}}}}$$Y_\o = y_\text{oe} - \dfrac{y_\text{re} y_\text{fe}}{Y_\text{S} + y_\text{ie}}$.

2 多级谐振放大器的级联

• 增益：倍乘.

• 通频带：减小.

• 选择性：有所改善.

3 双调谐回路谐振放大器

• 带宽更大：${\mathrm{BW}}_{3\mathrm{dB}}=\sqrt{2}{\displaystyle \frac{f_0}{Q_{\text{L}}}}$$\rm{BW_{3dB}} = \sqrt 2 \dfrac{f_0}{Q_\text L}$.

• 矩形系数更小：$K_{0.1}=\sqrt[4]{{10}^2-1}$$K_{0.1} = \sqrt[4]{10^2 - 1}$.

4 谐振放大器的稳定性

• 稳定系数：$S={\displaystyle \frac{|Y_{\text{s}}+y_{\text{ie}}|\cdot |y_{\text{oe}}+Y_{\text{L}}^{\prime }|}{\left|y_{\text{fe}}\right|\cdot \left|y_{\text{re}}\right|}}$$S = \dfrac{ \vqty{Y_\text s + y_\text{ie}} \cdot \vqty{y_\text{oe} + Y'_\text{L}} }{ \vqty{y_\text{fe}} \cdot \vqty{y_\text{re}} }$.

  • 如果 $S=1$$S = 1$，则可能产生自激振荡.

  • 如果 $S\gg 1$$S \gg 1$，则不会产生自激振荡.

• 电压增益

  • $A_{\text{V0}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\left|y_{\text{fe}}\right|}{S{\omega }_0{C}_{\text{re}}}}}$$A_\text{V0} = \sqrt{\dfrac{2\vqty{y_\text{fe}}}{S \omega_0 C_\text{re}}}$.

  • 取 $S=5$$S = 5$，$(A_{\mathrm{V}0}{)}_S=\sqrt{{\displaystyle \frac{\left|y_{\text{fe}}\right|}{2.5{\omega }_0{C}_{\mathrm{re}}}}}$$(A_\rm{V0})_S = \sqrt{\dfrac{\vqty{y_\text{fe}}}{2.5 \omega_0 C_\rm{re}}}$ 称为稳定电压增益.

5 谐振放大器的单向化

• 中和法

• 失配法

5.3.2 利用混合 π 参数设计

5.3.3 利用 S 参数设计

略.

第 6 章 混频器

6.1 混频器的介绍

6.1.1 混频器的原理

• 混频器

  • 发射机：上混频（已调制的中频 → 射频）

  • 接收机：下混频（放大后的射频 → 中频）

    本章以接收机的下混频为例.

• 基本原理

  • 本振信号：$v_{\text{LO}}(t)=V_{\text{LO}}\cos \left({\omega }_{\text{LO}}t\right)$$v_\text{LO}(t) = V_\text{LO} \cos(\omega_\text{LO} t)$.

  • 射频信号：$v_{\text{RF}}(t)=V_{\mathrm{RF}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{RF}}t\right)$$v_\text{RF}(t) = V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{RF} t)$.

  • 二者相乘：${\displaystyle \frac{V_{\mathrm{LO}}{V}_{\mathrm{RF}}}{2}}[\cos ({\omega }_{\mathrm{RF}}-{\omega }_{\mathrm{LO}})t+\cos ({\omega }_{\mathrm{RF}}+{\omega }_{\mathrm{LO}})t]$$\dfrac{V_\rm{LO} V_\rm{RF}}{2} \bqty{\cos(\omega_\rm{RF} - \omega_\rm{LO})t + \cos(\omega_\rm{RF} + \omega_\rm{LO})t}$.

  • 中频信号：$v_{\mathrm{IF}}={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{LO}}{V}_{\mathrm{RF}}}{2}}\cos ({\omega }_{\mathrm{RF}}-{\omega }_{\mathrm{LO}})t$$v_\rm{IF} = \dfrac{V_\rm{LO} V_\rm{RF}}{2} \cos(\omega_\rm{RF} - \omega_\rm{LO})t$.

• 混频器的端口：射频口、本振口、中频口.

6.1.2 频谱搬移方法

• 乘法器 + 滤波器

  • 三极管 Gilbert 模拟乘法器.

  • 二极管环形乘法器.

• 非线性器件 + 滤波器

  • 说明

    • 非线性器件工作在线性时变状态，以减少组合频率分量.

    • 射频输入为小信号，本振输入为大信号.

  • 常用非线性器件

    • 双极型晶体管（BJT）

    • 二极管：无需偏置、功耗低、开关速度快.

    • 场效应管（FET）：平方律特性，无用频率少.

6.1.3 混频器的指标

• 增益

  • $G_{\text{P}}={\displaystyle \frac{P_{\mathrm{IF}}}{P_{\mathrm{RF}}}}={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{IF}}^2/R_{\mathrm{L}}}{V_{\mathrm{RF}}^2/R_{\mathrm{S}}}}=A_{\mathrm{V}}^2{\displaystyle \frac{R_{\mathrm{S}}}{R_{\mathrm{L}}}}$$G_\text P = \dfrac{P_\rm{IF}}{P_\rm{RF}} = \dfrac{V_\rm{IF}^2 / R_\rm L}{V_\rm{RF}^2 / R_\rm S} = A_\rm V^2 \dfrac{R_\rm S}{R_\rm L}$.

  • 有源混频器（$G_{\text{P}}<1$$G_\text P < 1$，混频损耗）

    • 二极管 + 可变电阻区的场效应管.

    • 线性范围大、速度快.

  • 无源混频器（$G_{\text{P}}>1$$G_\text P >1$）

    • 场效应管 + 双极型晶体管.

    • 可以降低混频以后各级噪声的影响.

• 噪声

  • 双边（DSB）噪声系数：超外差式接收机.

  • 单边（SSB）噪声系数：零中频方案接收机.

  • 单边噪声系数 = 双边噪声系数 + 3 dB.

• 失真与干扰

  • 干扰哨声：$f_{\text{IF}}\pm F$$f_\text{IF} \pm F$ 的组合频率，在无外接干扰信号时也会产生哨叫声.

  • 寄生通道干扰：$f_{\mathrm{IF}}$$f_\rm{IF}$ 的组合频率

    • 中频干扰：$f_{\text{m}}=f_{\text{IF}}$$f_\text m = f_\text{IF}$.

    • 镜像频率干扰：$f_{\text{m}}=f_{\mathrm{LO}}-f_{\mathrm{IF}}$$f_\text m = f_\rm{LO} - f_\rm{IF}$.

    • 最近的干扰：$f_{\text{m}}={\displaystyle \frac{f_{\mathrm{Rf}}+f_{\mathrm{LO}}}{2}}$$f_\text m = \dfrac{f_\rm{Rf} + f_\rm{LO}}{2}$.

  • 互调失真：产生中频失真.

• 线性指标

  • 1 dB 压缩点.

  • 三阶互调截点.

  • 线性动态范围：1 dB 压缩点与基底噪声之比.

• 口间隔离

• 阻抗匹配

  • RF、IF、LO 口分别需要匹配.

  • 每个口对另外两个口力求短路.

6.2 有源混频器电路

6.2.1 单管跨导型混频器

• 输入信号

  • 射频小信号：$v_{\text{RF}}(t)=V_{\mathrm{RF}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{RF}}t\right)$$v_\text{RF}(t) = V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{RF} t)$.

  • 本振大信号：$v_{\text{LO}}(t)=V_{\text{LO}}\cos \left({\omega }_{\text{LO}}t\right)$$v_\text{LO}(t) = V_\text{LO} \cos(\omega_\text{LO} t)$.

• 输出分析

  • 输入电压：$v_{\mathrm{GS}}(t)=-V_{\mathrm{GG}}+v_{\mathrm{LO}}(t)+v_{\mathrm{RF}}(t)$$v_\rm{GS}(t) = -V_\rm{GG} + v_\rm{LO}(t) + v_\rm{RF}(t)$.

  • 时变偏置：$V_{\mathrm{GSQ}}(t)=-V_{\mathrm{GG}}+v_{\mathrm{LO}}(t)$$V_\rm{GSQ}(t) = - V_\rm{GG} + v_\rm{LO}(t)$.

  • 漏极信号：$i_{\text{D}}\approx I_{\mathrm{D}0}(t)+g_{\text{m}}(t)v_{\mathrm{RF}}(t)$$i_\text D \approx I_\rm{D0}(t) + g_\text m(t) v_\rm{RF}(t)$.

  • 中频电流：$i_{\mathrm{IF}}(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{g}_{\text{m1}}{V}_{\mathrm{RF}}(t)\cos ({\omega }_{\mathrm{RF}}-{\cos }_{\mathrm{LO}})t$$i_\rm{IF}(t) = \dfrac{1}{2} g_\text{m1} V_\rm{RF}(t) \cos(\omega_\rm{RF} - \cos_\rm{LO})t$.

  • 变频跨导：$g_{\mathrm{fc}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{g}_{\text{m1}}$$g_\rm{fc} = \dfrac{1}{2} g_\text{m1}$.

  • 变频增益：$A_{\mathrm{V}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{g}_{\mathrm{m}1}{R}_{\mathrm{L}}=g_{\mathrm{fc}}{R}_{\mathrm{L}}$$A_\rm{V} = \dfrac{1}{2} g_\rm{m1} R_\rm L = g_\rm{fc} R_\rm L$.

6.2.2 单平衡混频器

1 单平衡混频器的分析

• 输出

  • 输出电流：$i=i_{\text{C}}\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_{\mathrm{LO}}(t)}{2kT}}\approx (I_{{\mathrm{CQ}}_1}+g_{\mathrm{m}1}{v}_{\mathrm{RF}})S_2({\omega }_{\mathrm{LO}}t)$$i = i_\text C \tanh\dfrac{q v_\rm{LO}(t)}{2kT} \approx (I_\rm{CQ_1} + g_\rm{m1} v_\rm{RF}) S_2(\omega_\rm{LO} t)$

  • 中频电流：$i_{\mathrm{IF}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{g}_{\mathrm{m}1}{V}_{\mathrm{RF}}\cos ({\omega }_{\mathrm{RF}}-{\omega }_{\mathrm{LO}})t$$i_\rm{IF} = \dfrac{2}{\pi} g_\rm{m1} V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{RF} - \omega_\rm{LO})t$.

  • 电压增益：$A_{\mathrm{V}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{g}_{\mathrm{m}1}{R}_{\mathrm{L}}$$A_\rm V = \dfrac{2}{\pi} g_\rm{m1} R_\rm L$.

• 缺点：中频输出口与本振口隔离不好.

6.2.3 吉尔伯特双平衡混频器

1 吉尔伯特单元电路

又称为双平衡模拟乘法器单元电路.

输出电流：

• $i_1-i_2=i_5\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_2}{2kT}}$$i_1 - i_2 = i_5 \tanh\dfrac{qv_2}{2kT}$.

• $i_4-i_3=i_6\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_2}{2kT}}$$i_4 - i_3 = i_6 \tanh\dfrac{qv_2}{2kT}$.

• $i=(i_5-i_6)\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_2}{2kT}}=I_0\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_1}{2kT}}\cdot \tanh {\displaystyle \frac{q{v}_2}{2kT}}$$i = (i_5 - i_6) \tanh\dfrac{qv_2}{2kT} = I_0 \tanh\dfrac{qv_1}{2kT} \cdot \tanh\dfrac{qv_2}{2kT}$.

2 输入均为较小信号

$v_1,v_2$$v_1, v_2$ 均为小信号，即 $V_{\text{1m}},V_{2\mathrm{m}}\le 26\mathrm{mV}$$V_\text{1m}, V_\rm{2m} \le 26\ \rm{mV}$.

• $i={\displaystyle \frac{I_0{q}^2}{4k^2{T}^2}}{v}_1{v}_2$$i = \dfrac{I_0 q^2}{4 k^2 T^2} v_1 v_2$.

• 动态范围小，系数与 $T$$T$ 有关，因此不常用.

3 输入一大一小信号

$v_1$$v_1$ 为小信号，$v_2$$v_2$ 为大信号，即 $V_{1\mathrm{m}}\le 26\mathrm{mV},V_{2\mathrm{m}}\ge 100\mathrm{mV}$$V_\rm{1m} \le 26\ \rm{mV}, V_\rm{2m} \ge 100\ \rm{mV}$.

• 基础电路

  • $i={\displaystyle \frac{I_{0}q}{2kT}}{v}_1\cdot S_2({\omega }_{2}t)=g_{\mathrm{m}}{v}_1{S}_2({\omega }_{2}t)$$i = \dfrac{I_0 q}{2kT} v_1 \cdot S_2(\omega_2 t) = g_\rm m v_1 S_2(\omega_2 t)$.

  • 中频幅度：$I_1={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{g}_{\mathrm{m}}{V}_{1\mathrm{m}}$$I_1 = \dfrac{2}{\pi} g_\rm m V_\rm{1m}$，与大信号幅度无关.

  • 一般使用这种状态，但线性范围很小.

• 改进电路

  • 增加反馈电阻 $R_{\mathrm{E}1}$$R_\rm{E1}$.

  • $i_5-i_6=2i_{\mathrm{e}}\approx {\displaystyle \frac{2v_1}{R_{\text{E1}}}}$$i_5 - i_6 = 2 i_\e \approx \dfrac{2v_1}{R_\text{E1}}$.

  • $i\approx {\displaystyle \frac{2v_1}{R_{\mathrm{E}1}}}\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_2}{2kT}}$$i \approx \dfrac{2v_1}{R_\rm{E1}} \tanh\dfrac{qv_2}{2kT}$.

  • 最大线性范围：$-{\displaystyle \frac{I_0}{4}}\le {\displaystyle \frac{v_1}{R_{\mathrm{E}1}}}\le {\displaystyle \frac{I_0}{4}}$$-\dfrac{I_0}{4} \le \dfrac{v_1}{R_\rm{E1}} \le \dfrac{I_0}{4}$.

  • 混频时一般不加反馈电阻，因为会增加噪声系数.

4 输入均为较大信号

$v_1,v_2$$v_1, v_2$ 均为大信号，即 $V_{1\mathrm{m}},V_{2\mathrm{m}}\ge 100\mathrm{mV}$$V_\rm{1m}, V_\rm{2m} \ge 100\ \rm{mV}$.

• $i=I_0{S}_2({\omega }_{1}t)\cdot S_2({\omega }_{2}t)$$i = I_0 S_2(\omega_1 t) \cdot S_2(\omega_2 t)$.

• 输出电流与输入信号的幅度无关.

6.3 无源混频器电路

6.3.1 二极管混频

1 线性时变状态二极管

• 二极管电压

  • $v_{\mathrm{D}}(t)=v_{\mathrm{LO}}(t)+v_{\mathrm{RF}}(t)$$v_\rm D(t) = v_\rm{LO}(t) + v_\rm{RF}(t)$.

  • 本振信号 $v_{\mathrm{LO}}(t)$$v_\rm{LO}(t)$ 为大信号.

  • 射频信号 $v_{\mathrm{RF}}(t)$$v_\rm{RF}(t)$ 为小信号.

• 二极管等效

  • $i_{\mathrm{D}}(t)=g_{\mathrm{D}}(V_D(t)-V_{\mathrm{B}})$$i_\rm{D}(t) = g_\rm D (V_D(t) - V_\rm B)$.

  • 近似认为跨导 $g_{\mathrm{D}}$$g_\rm D$ 为常数.

  • 若势垒电压 $V_{\mathrm{B}}$$V_\rm B$ 不可忽略，可添加正向偏置电压抵消.

• 二极管电流

  • $i_{\mathrm{D}}(t)=g_{\mathrm{D}}\cdot S_1({\omega }_{\mathrm{LO}}t)[v_{\mathrm{LO}}(t)+v_{\mathrm{RF}}(t)]$$i_\rm D(t) = g_\rm D \cdot S_1(\omega_\rm{LO} t) \bqty{v_\rm{LO}(t) + v_\rm{RF}(t)}$.

  • 小信号线性放大：$i_{\mathrm{D}}(t)=I_0(t)+g(t)v_{\mathrm{RF}}(t)$$i_\rm D(t) = I_0(t) + g(t) v_\rm{RF}(t)$.

  • 静态工作点：$I_0(t)=g_{\mathrm{D}}\cdot S_1({\omega }_{\mathrm{LO}}t)v_{\mathrm{LO}}(t)$$I_0(t) = g_\rm D \cdot S_1(\omega_\rm{LO}t) v_\rm{LO}(t)$.

  • 时变跨导：$g(t)=g_{\mathrm{D}}\cdot S_1({\omega }_{\mathrm{LO}}t)={\displaystyle {\frac{\partial i_{\mathrm{D}}}{\partial v_{\mathrm{D}}}\phantom{\int }|}_{V_{\mathrm{D}}=v_{\mathrm{LO}}}}$$g(t) = g_\rm D \cdot S_1(\omega_\rm{LO} t) = \d\eval{\pdv{i_\rm D}{v_\rm D}}_{V_\rm D = v_\rm{LO}}$.

• 二极管混频

  • 基波分量：$g_1(t)={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{g}_{\mathrm{D}}\cdot \cos \left({\omega }_{\mathrm{LO}}t\right)$$g_1(t) = \dfrac{2}{\pi} g_\rm D \cdot \cos(\omega_\rm{LO} t)$.

  • 中频电流：$i_{\mathrm{IF}}(t)={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{D}}}{\pi }}{V}_{\mathrm{RF}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{IF}}t\right)$$i_\rm{IF}(t) = \dfrac{g_\rm D}{\pi} V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{IF}t)$.

  • 单二极管混频器的变频跨导：$g_{\mathrm{fc}}={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{D}}}{\pi }}$$g_\rm{fc} = \dfrac{g_\rm{D}}{\pi}$.

• 缺点：含有较多组合频率分量，口间隔离效果差.

2 二极管双平衡混频器

• 等效电路

  • $i_{{\mathrm{D}}_1}-i_{{\mathrm{D}}_2}={\displaystyle \frac{2v_{\mathrm{RF}}(t)}{2R_{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{D}}}}{S}_1({\omega }_{\mathrm{LO}}t)$$i_\rm{D_1} - i_\rm{D_2} = \dfrac{2 v_\rm{RF}(t)}{2 R_\rm L + R_\rm D} S_1(\omega_\rm{LO}t)$.

  • $i_{{\mathrm{D}}_3}-i_{{\mathrm{D}}_4}={\displaystyle \frac{-2v_{\mathrm{RF}}(t)}{2R_{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{D}}}}{S}_1({\omega }_{\mathrm{LO}}t+\pi )$$i_\rm{D_3} - i_\rm{D_4} = \dfrac{-2 v_\rm{RF}(t)}{2 R_\rm L + R_\rm D} S_1(\omega_\rm{LO}t + \pi)$.

• 中频输出

  • 输出电流：$i(t)={\displaystyle \frac{2v_{\mathrm{RF}}(t)}{2R_{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{D}}}}{S}_2({\omega }_{\mathrm{LO}}t)$$i(t) = \dfrac{2 v_\rm{RF}(t)}{2 R_\rm L + R_\rm D} S_2(\omega_\rm{LO}t)$.

  • 中频电流：$i_{\mathrm{IF}}(t)={\displaystyle \frac{4}{\pi }}{\displaystyle \frac{V_{\mathrm{RF}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{IF}}t\right)}{R_{\mathrm{D}}+2R_{\mathrm{L}}}}$$i_\rm{IF}(t) = \dfrac{4}{\pi} \dfrac{V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{IF} t)}{R_\rm D + 2 R_\rm L}$.

  • 中频电压：$v_{\mathrm{IF}}(t)=i_{\mathrm{IF}}(t)R_{\mathrm{L}}\approx {\displaystyle \frac{2}{\pi }}{V}_{\mathrm{RF}}\cos \left({\omega }_{\mathrm{IF}}t\right)$$v_\rm{IF}(t) = i_\rm{IF}(t) R_\rm L \approx \dfrac{2}{\pi} V_\rm{RF} \cos(\omega_\rm{IF} t)$.

• 射频输入

  • RF 变压器初级电流：$i_{\mathrm{S}}={\displaystyle \frac{2v_{\mathrm{RF}}(t)}{2R_{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{D}}}}\approx {\displaystyle \frac{v_{\mathrm{RF}}(t)}{R_{\mathrm{L}}}}$$i_\rm S = \dfrac{2 v_\rm{RF}(t)}{2R_\rm L + R_\rm D} \approx \dfrac{v_\rm{RF}(t)}{R_\rm L}$.

  • RF 口的输入阻抗：$R_{\mathrm{RFi}}={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{RF}}}{I_{\mathrm{S}}}}=R_{\mathrm{L}}$$R_\rm{RFi} = \dfrac{V_\rm{RF}}{I_\rm{S}} = R_\rm{L}$.

• 隔离特性

  • 中频口的负载电流没有本振分量，也没有射频分量.

  • 射频口的负载电流没有本振分量，也没有中频分量.

• 变频损耗

  • 阻抗匹配：$R_{\mathrm{S}}=R_{\mathrm{RFi}}=R_{\mathrm{L}}$$R_\rm S = R_\rm{RFi} = R_\rm L$，于是 $V_{\mathrm{S}}=2V_{\mathrm{RF}}$$V_\rm S = 2 V_\rm{RF}$.

  • 射频功率：$P_{\mathrm{RF}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{V_{\mathrm{S}}^2}{4R_{\mathrm{S}}}}={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{RF}}^2}{2R_{\mathrm{L}}}}$$P_\rm{RF} = \dfrac{1}{2} \dfrac{V_\rm{S}^2}{4 R_\rm{S}} = \dfrac{V_\rm{RF}^2}{2 R_\rm L}$.

  • 中频功率：$P_{\mathrm{IF}}={\displaystyle \frac{{\left(\frac{2}{\pi }{V}_{\mathrm{RF}}\right)}^2}{2R_{\mathrm{L}}}}={\displaystyle \frac{2V_{\mathrm{RF}}^2}{{\pi }^2{R}_{\mathrm{L}}}}$$P_\rm{IF} = \dfrac{\pqty{\cfrac{2}{\pi} V_\rm{RF}}^2}{2 R_\rm L} = \dfrac{2 V_\rm{RF}^2}{\pi^2 R_\rm L}$.

  • 混频损耗：$L=10\lg {\displaystyle \frac{P_{\mathrm{RF}}}{P_{\mathrm{IF}}}}=20\lg {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx 4\mathrm{dB}$$L = 10\lg\dfrac{P_\rm{RF}}{P_\rm{IF}} = 20\lg\dfrac{\pi}{2} \approx 4\ \rm{dB}$.

6.3.2 无源场效应管混频器

略.

本章总结

本章所有结论建议现用现推.

• 跨导

  • 时变跨导 $g_{\mathrm{m}}(t)$$g_\rm m(t)$.

  • 变频跨导 $g_{\mathrm{fc}}$$g_\rm{fc}$.

• 差分对管

  • $i=i_{\mathrm{C}1}-i_{\mathrm{C}2}=I_0\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_{\mathrm{id}}}{2kT}}$$i = i_\rm{C1} - i_\rm{C2} = I_0 \tanh\dfrac{q v_\rm{id}}{2kT}$.

  • $i_{\mathrm{C}2}={\displaystyle \frac{I_0}{2}}(1-\tanh {\displaystyle \frac{q{v}_{\mathrm{id}}}{2kT}})$$i_\rm{C2} = \dfrac{I_0}{2} \pqty{1 - \tanh \dfrac{q v_\rm{id}}{2k T}}$.

• 吉尔伯特双平衡混频器：$i=I_0\tanh {\displaystyle \frac{v_1}{U_{\mathrm{T}}}}\cdot \tanh {\displaystyle \frac{v_2}{2kT}}$$i = I_0 \tanh\dfrac{v_1}{U_\rm T} \cdot \tanh\dfrac{v_2}{2kT}$.

第 7 章 振荡器

7.1 反馈型振荡器的基本原理

7.1.1 基本组成

• 性能指标：频率、振幅、波形、输出功率.

• 振荡器的分类

  • 反馈型振荡器：本质上也是负阻型振荡器.

  • 负阻型振荡器：用负电阻效应抵消损耗正电阻（如隧道二极管）

• 振荡器的组成

  • 反馈放大电路

    • 电压：$\{\begin{array}{l}{\dot{V}}_{\mathrm{o}}=\dot{A}(\mathrm{j}\omega ){\dot{V}}_{\mathrm{i}},\\ {\dot{V}}_{\mathrm{F}}=\dot{F}(\mathrm{j}\omega ){\dot{V}}_{\mathrm{o}},\\ {\dot{V}}_{\mathrm{i}}={\dot{V}}_{\mathrm{s}}+{\dot{V}}_{\mathrm{F}}.\end{array}$$\begin{cases} \dot V_\o = \dot A(\j\omega) \dot V_\i, \\ \dot V_\rm F = \dot F(\j\omega) \dot V_\o, \\ \dot V_\i = \dot V_\rm s + \dot V_\rm F. \end{cases}$

    • 增益：${\dot{A}}_{\mathrm{f}}={\displaystyle \frac{{\dot{V}}_{\mathrm{o}}}{{\dot{V}}_{\mathrm{s}}}}={\displaystyle \frac{\dot{A}{\dot{V}}_{\mathrm{i}}}{{\dot{V}}_{\mathrm{i}}-{\dot{V}}_{\mathrm{F}}}}={\displaystyle \frac{\dot{A}}{1-\dot{A}\dot{F}}}$$\dot A_\rm f = \dfrac{\dot V_\o}{\dot V_\rm s} = \dfrac{\dot A \dot V_\i}{\dot V_\i - \dot V_\rm F} = \dfrac{\dot A}{1 - \dot A \dot F}$.

    • 当 $\dot{A}\dot{F}=1$$\dot A \dot F = 1$ 时，构成振荡器.

  • 选频回路

    • 分类：LC 回路、石英晶体谐振器、声表面谐振器、RC 移相网络.

    • 位置：作为负载构成选频放大器，作为反馈网络构成选频反馈.

7.1.2 平衡条件

• 环路增益：$\dot{T}(\mathrm{j}\omega )={\displaystyle \frac{{\dot{V}}_{\mathrm{F}}(\mathrm{j}\omega )}{{\dot{V}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}\omega )}}=\dot{A}(\mathrm{j}\omega )\cdot \dot{F}(\mathrm{j}\omega )$$\dot T(\j\omega) = \dfrac{\dot V_\rm F(\j\omega)}{\dot V_\i(\j\omega)} = \dot A(\j\omega) \cdot \dot F(\j\omega)$.

• 平衡条件：$\dot{T}(\mathrm{j}{\omega }_{\mathrm{osc}})=1$$\dot T(\j\omega_\rm{osc}) = 1$.

  • 振幅平衡条件：$|\dot{T}(\mathrm{j}\omega )|=|\dot{A}(\mathrm{j}\omega )\dot{F}(\mathrm{j}\omega )|=1$$\vqty{\dot T(\j\omega)} = \vqty{\dot A(\j\omega) \dot F(\j\omega)} = 1$.

  • 相位平衡条件：${\phi }_{\dot{T}(\mathrm{j}{\omega }_{\mathrm{osc}})}={\phi }_{\dot{A}}+{\phi }_{\dot{F}}=2n\pi ,n\in \mathbb{N}$$\varphi_{\dot T(\j\omega_\rm{osc})} = \varphi_\dot A + \varphi_\dot F = 2n \pi, n \in \N$.

• 说明

  • 当晶体管和反馈网络的相移可忽略时，${\omega }_{\mathrm{osc}}\approx {\omega }_0$$\omega_\rm{osc} \approx \omega_0$ 即选频回路的中心频率.

  • 选频回路的 Q 值越大，回路的选频滤波功能越好.

7.1.3 起振条件

• 起振条件

  • 振幅条件：$|\dot{T}(\mathrm{j}\omega )|>1$$\vqty{\dot T(\j\omega)} > 1$.

  • 相位条件：${\phi }_{\dot{T}(\mathrm{j}\omega )}=0$$\varphi_{\dot T(\j\omega)} = 0$.

• 稳幅环节

  • 内稳幅：仅靠晶体管的非线性.

  • 外稳幅

    • 利用差分放大器代替单管放大器.

    • 采用电平检测控制电路.（可能增加输出噪声）

    • 自偏压效应：起振时正反馈主导，随着幅度的增大，负反馈逐渐增加.

7.1.4 稳定条件

• 稳定条件

  • 振幅稳定条件：${{\displaystyle \frac{\partial T}{\partial V_i}\phantom{\int }}|}_{\text{平}\text{衡}\text{点}}<0$$\eval{\dpdv{T}{V_i}}_{平衡点} < 0$.

  • 相位稳定条件：${{\displaystyle \frac{\partial {\phi }_{\text{T}}}{\partial \omega }\phantom{\int }}|}_{\text{平}\text{衡}\text{点}}<0$$\eval{\dpdv{\varphi_\text T}{\omega}}_{平衡点} < 0$.

• 振荡器分类（依据振幅稳定条件）

  • 硬激励振荡器

    • 起始点 $T<1$$T < 1$ 且第一个平衡点是不稳定平衡点.

    • 必须采用外激励起振.

  • 软激励振荡器

    • 起始点 $T>1$$T > 1$ 且第一个平衡点是稳定平衡点.

    • 能够自动起振.

• 说明

  • ${{\displaystyle \frac{\partial {\phi }_Z}{\partial \omega }\phantom{\int }}|}_{{\omega }_0}=-{\displaystyle \frac{2Q_{\mathrm{e}}}{{\omega }_0}}$$\eval{\dpdv{\varphi_Z}{\omega}}_{\omega_0} = -\dfrac{2Q_\e}{\omega_0}$，并联 LC 振荡器相位稳定.

  • 选频回路的 Q 值越高，振荡器的频率稳定性越好.

7.2 LC 振荡器

7.2.1 LC 振荡器介绍

• 组成原理

  • 集电极接并联 LC 谐振回路作为选频放大器.

  • 输出反馈回输入，构成正反馈.

• 注意问题

  • 反馈电压：谐振时回路电压与晶体管等效电流源同相；并且共基同相，共射反相.

  • 输入阻抗：共基放大器输入阻抗小，直接反馈会降低 Q 值，因此需要阻抗变换.

7.2.2 互感 LC 振荡器

  

• 思路：变压器阻抗变换.（注意同名端）

• 谐振频率 ${\omega }_{\mathrm{osc}}\approx {\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$\omega_\rm{osc} \approx \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

7.2.3 三点式 LC 振荡器

1 一般原则

• 思路：部分接入与全接入的相互转化.

• 反馈电压

  • $X_1+X_2+X_3=0$$X_1 + X_2 + X_3 = 0$.

  • $V_{\mathrm{o}}=g_{\text{m}}{R}_{\mathrm{P}}{V}_{\mathrm{i}}$$V_\o = g_\text m R_\rm P V_\i$.

  • $V_{\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{-X_2{V}_{\mathrm{o}}}{X_2+X_3}}=g_{\mathrm{m}}{R}_{\mathrm{p}}{\displaystyle \frac{X_2}{X_1}}{V}_{\mathrm{i}}$$V_\rm F = \dfrac{-X_2 V_\o}{X_2 + X_3} = g_\rm m R_\rm p \dfrac{X_2}{X_1} V_\i$.

• 一般原则

  • 与发射极相连的两个电抗元件必须同性质.

  • 另一个电抗元件必须异性质.

• 三点式振荡器的分类（按与发射极相连的电抗元件）

  • 电容三点式振荡器：考毕兹振荡器（Colbitts）

  • 电感三点式振荡器：哈脱莱振荡器（Hartley）

2 性能分析

• 振荡频率近似于中心频率

  • $C_2^{\prime }=C_2+C_{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{e}}$$C_2' = C_2 + C_\rm{b'e}$.

  • ${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L\frac{C_1{C}_2^{\prime }}{C_1+C_2^{\prime }}}}}$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L \cfrac{C_1 C_2'}{C_1 + C_2'}}}$.

• 放大器增益

  • 输入电导：$g_{\mathrm{i}}={\displaystyle \frac{1}{r_{\mathrm{e}}}}+{\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{E}}}}\approx {\displaystyle \frac{1}{r_{\mathrm{e}}}}=g_{\mathrm{m}}$$g_\i = \dfrac{1}{r_\e} + \dfrac{1}{R_\rm E} \approx \dfrac{1}{r_\e} = g_\rm m$.

  • 接入系数：$P_{\mathrm{eb}}={\displaystyle \frac{C_1}{C_1+C_2^{\prime }}}$$P_\rm{eb} = \dfrac{C_1}{C_1 + C_2'}$.

  • 负载电导：$g_{\mathrm{L}}^{″}=g_{\mathrm{L}}^{\prime }+g_{\mathrm{i}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{L}}}}+{\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{P}}}}+P_{\mathrm{eb}}^2{g}_{\mathrm{i}}$$g''_\rm L = g'_\rm L + g'_\i = \dfrac{1}{R_\rm L} + \dfrac{1}{R_\rm P} + P^2_\rm{eb} g_\i$.

    为什么不是接入系数的倒数？

  • 放大倍数：$A={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{eb}}}}={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{m}}{V}_{\mathrm{eb}}}{g_{\mathrm{L}}^{″}{V}_{\mathrm{eb}}}}={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{m}}}{g_{\mathrm{L}}^{\prime }+P_{\mathrm{eb}}^2{g}_{\mathrm{i}}}}$$A = \dfrac{V_\o}{V_\rm{eb}} = \dfrac{g_\rm m V_\rm{eb}}{g''_\rm L V_\rm{eb}} = \dfrac{g_\rm m}{g'_\rm L + P^2_\rm{eb} g_\i}$.

• 振幅起振条件

  • 反馈系数：$F={\displaystyle \frac{V_{\mathrm{F}}}{V_{\mathrm{o}}}}\approx P_{\mathrm{eb}}$$F = \dfrac{V_\rm F}{V_\o} \approx P_\rm{eb}$.

  • 起振条件：$T=AF={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{m}}{P}_{\mathrm{eb}}}{g_{\mathrm{L}}^{\prime }+P_{\mathrm{eb}}^2{g}_{\mathrm{i}}}}>1$$T = AF = \dfrac{g_\rm m P_\rm{eb}}{g'_\rm L + P_\rm{eb}^2 g_\i} > 1$.

  • 一般要求 $T$$T$ 为 $3\sim 5$$3 \sim 5$.

• 参数选取

  • 若增大 $g_{\mathrm{m}}$$g_\rm m$，则 $g_{\mathrm{i}}$$g_\rm i$ 增大，从而降低 $Q_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{{\omega }_0{C}_{\sum }}{g_{\mathrm{L}}^{\prime }+P_{\mathrm{eb}}^2{g}_{\mathrm{i}}}}$$Q_\e = \dfrac{\omega_0 C_\sum}{g'_\rm L + P_\rm{eb}^2 g_\i}$.

  • 若增大 $F$$F$，则 $P_{\mathrm{eb}}$$P_\rm{eb}$ 增大，从而减小增益，降低 $Q_{\mathrm{e}}$$Q_\e$.

• 说明

  • 射频段的振荡器一般采用共基形式，因为其工作频率高.

  • 电感三点式分析方法类似，总电感 $L_{\sum }=L_1+L_2\pm 2M$$L_\sum = L_1 + L_2 \pm 2 M$.

3 实际考虑

• 振荡频率

  • 回路总电容：$C={\displaystyle \frac{C_1{C}_2^{\prime }}{C_1+C_2^{\prime }}}$$C = \dfrac{C_1 C_2'}{C_1 + C_2'}$.

  • 回路中心频率：${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

  • 振荡频率：${\omega }_{\mathrm{osc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{LC}}+{\displaystyle \frac{g_{\mathrm{i}}{g}_{\mathrm{L}}^{\prime }}{C_1{C}_2^{\prime }}}}={\omega }_0\sqrt{1+{\displaystyle \frac{g_{\mathrm{i}}{g}_{\mathrm{L}}^{\prime }}{{\omega }_0^2{C}_1{C}_2^{\prime }}}}$$\omega_\rm{osc} = \sqrt{\dfrac{1}{LC} + \dfrac{g_\i g'_\rm L}{C_1 C'_2}} = \omega_0 \sqrt{1 + \dfrac{g_\i g'_\rm L}{\omega_0^2 C_1 C'_2}}$.

• 参数求解

  • $g_{\text{m}}:={\displaystyle \frac{{\dot{I}}_{\text{c}}}{{\dot{U}}_{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{e}}}}={\displaystyle \frac{\beta {\dot{I}}_{\mathrm{b}}}{{\dot{I}}_{\mathrm{b}}{r}_{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{e}}}}={\displaystyle \frac{\beta }{r_{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{e}}}}$$g_\text m := \dfrac{\dot I_\text c}{\dot U_\rm{b'e}} = \dfrac{\beta \dot I_\rm b}{\dot I_\rm b r_\rm{b'e}} = \dfrac{\beta}{r_\rm{b'e}}$.

  • $r_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{g_{\mathrm{m}}}},g_{\mathrm{i}}\approx g_{\mathrm{m}}$$r_\e = \dfrac{1}{g_\rm m},\ g_\i \approx g_\rm m$.

4 克拉泼电路

又称为改进型电容三点式振荡器.

• 改进动机：欲提高工作频率，需要减小 $C_1,C_2$$C_1, C_2$，但是过小时，不稳定的极间电容对回路电容的影响大，从而是的振荡器的频率不稳定.

• 改进思路

  • 增加小电容 $C_3$$C_3$ 和串联电感 $L$$L$，高频扼流圈 RFC 对高频开路.

  • 于是振荡频率近似与 $C_1,C_2$$C_1, C_2$ 无关，可以取较大的数值以减少极间电容的影响.

• 参数计算

  • 振荡频率：${\omega }_{\mathrm{osc}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L{C}_{\sum }}}}\approx {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L{C}_3}}}$$\omega_\rm{osc} = \dfrac{1}{\sqrt{L C_\sum}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{LC_3}}$.

  • 晶体管 cb 的接入系数：$P_{\mathrm{cb}}={\displaystyle \frac{C_3}{C_{12}+C_3}}$$P_\rm{cb} = \dfrac{C_3}{C_{12} + C_3}$.

  • 折合到 cb 端的回路阻抗：$R_{\mathrm{P}}^{″}=P_{\mathrm{cb}}^2{R}_{\mathrm{P}}^{\prime }$$R''_\rm P = P_\rm{cb}^2 R'_\rm P$.

5 西勒电路

• 改进动机

  • 在克拉泼电路中，$C_3$$C_3$ 减小导致 cb 端负载减小，放大器增益减小，T 也减小.

  • 改变 $C_3$$C_3$ 调整振荡频率时，可能会因不满足振幅起振条件而停振.

• 改进思路

  • 在 $L$$L$ 两端并联电容 $C_4$$C_4$，于是调整 $C_4$$C_4$ 改变振荡频率时，不会改变接入系数.

  • 振荡频率：${\omega }_{\mathrm{osc}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L(C_3+C_4)}}}$$\omega_\rm{osc} = \dfrac{1}{\sqrt{L (C_3 + C_4)}}$

7.2.4 负阻 LC 振荡器

略.

7.3 石英晶体振荡器

7.3.1 石英晶体特性简述

• 温度特性

  • GT、AT 型切割晶体：很宽的温度范围内温度系数近似为零.

  • ST 型切割晶体：20℃ 时温度系数近似为零.

• 固有频率

  • 每个石英晶体片有一固有频率.

  • 晶体片越薄，固有振动频率越高.

• 压电效应

  • 正压电效应：受力时产生电荷.

  • 逆压电效应：加电场产生形变.

• 等效电路

  • 交变电压与固有频率相同时发生共振.

  • 可等效为串联谐振回路，且 $Q_{\mathrm{q}}={\displaystyle \frac{X_{\mathrm{Lq}}}{r_{\mathrm{q}}}}$$Q_\rm q = \dfrac{X_\rm{Lq}}{r_\rm q}$ 极高.

  • 引入几个皮法的并联电容 $C_0$$C_0$，接入系数极小.

• 谐振频率

  • 串联谐振频率：$f_{\mathrm{q}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{L_{\mathrm{q}}{C}_{\mathrm{q}}}}}$$f_\rm q = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{L_\rm q C_\rm q}}$.

  • 并联谐振频率：$f_{\mathrm{p}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{L_q{C}_{\sum }}}}\approx f_{\mathrm{q}}(1+{\displaystyle \frac{C_{\mathrm{q}}}{2C_0}})$$f_\rm p = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_q C_\sum}} \approx f_\rm q \pqty{1 + \dfrac{C_\rm q}{2 C_0}}$.

• 电抗特性：只在 $(f_{\mathrm{q}},f_{\mathrm{p}})$$(f_\rm q, f_\rm p)$ 显感性，其余为容性.

• 泛音特性

  • 基音频率一般在 20 MHz 以下.

  • 可利用泛音频率获得更高的工作频率.

7.3.2 石英晶体振荡电路

1 并联型晶振电路

1.1 基音晶体振荡电路

• 思路：晶体做电感用.

• 晶体负载电容：$C_{\mathrm{L}}={\displaystyle \frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}}$$C_\rm L = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$.

• 谐振频率

  • $f_0\approx f_{\mathrm{q}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{C_{\mathrm{q}}}{C_0+C_{\mathrm{L}}}})$$f_0 \approx f_\rm q \pqty{1 + \dfrac{1}{2} \dfrac{C_\rm q}{C_0 + C_\rm L}}$.

  • $f_{\mathrm{q}}<f_0<f_{\mathrm{p}}$$f_\rm q < f_0 < f_\rm p$.

  • 改变 $C_{\mathrm{L}}$$C_\rm L$ 可调振荡频率，但可调范围极小.

1.2 泛音晶体振荡电路

• 目的：提高振荡频率.

• 说明：一般采用 5 次泛音晶体.

2 串联型晶振电路

2.1 利用集成运放电路

• 思路：晶体做短路用.

• 反馈系数：$\dot{F}={\displaystyle \frac{{\dot{V}}_{\mathrm{F}}}{{\dot{V}}_{\mathrm{o}}}}={\displaystyle \frac{R_3}{R_2+R_3+{\dot{Z}}_{\mathrm{er}}}}$$\dot F = \dfrac{\dot V_\rm F}{\dot V_\o} = \dfrac{R_3}{R_2 + R_3 + \dot Z_\rm{er}}$.

• 起振条件

  • 谐振时的晶体短路，反馈最强.

  • 于是环路增益最大，相移为零.

• 稳定条件

  • 并联电感 $L_0$$L_0$，谐振保证频率稳定性.

  • 相位稳定性

    • ${\phi }_{\dot{T}}={\phi }_{{\dot{A}}_1}+{\phi }_{\dot{F}}\approx -{\phi }_{Z_{\mathrm{cr}}}$$\varphi_\dot T = \varphi_{\dot A_1} + \varphi_\dot F \approx -\varphi_{Z_\rm{cr}}$.

    • ${\displaystyle {\frac{\mathrm{d}{\phi }_{\dot{T}}}{\mathrm{d}\omega }\phantom{\int }|}_{{\omega }_{\mathrm{osc}}}=-{\frac{\mathrm{d}{\phi }_{Z_{\mathrm{cr}}}}{\mathrm{d}\omega }\phantom{\int }|}_{{\omega }_{\mathrm{q}}}<0}$$\d\eval{\dv{\varphi_\dot T}{\omega}}_{\omega_\rm{osc}} = -\eval{\dv{\varphi_{Z_\rm{cr}}}{\omega}}_{\omega_\rm q} < 0$.

2.2 双极型晶体管电路

7.4 压控振荡器

略.

7.5 振荡器的频率稳定度

7.5.1 频率稳定度的介绍

• 振荡器的主要指标

  • 频率准确度

    • 实际频率值 $f_x$$f_x$，标称值 $f_0$$f_0$.

    • 绝对频差：$\mathrm{\Delta }f=f_x-f_0$$\Delta f = f_x - f_0$.

    • 相对偏离：$\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{f_0}}$$\ve = \dfrac{\Delta f}{f_0}$.

  • 频率稳定度

    • 长期稳定度：元件老化和环境因素等引起的频率漂移.

    • 短期稳定度：随机噪声（只需考虑振荡器的相位噪声）.

• 短期稳定度与实际输出

  • 理想输出：$v(t)=A\cos \left({\omega }_{\mathrm{c}}t\right)$$v(t) = A \cos(\omega_\rm c t)$.

  • 实际输出：$v(t)=A[1+a(t)]\cos [{\omega }_{\mathrm{c}}t+{\phi }_{\mathrm{n}}(t)]$$v(t) = A \bqty{1 + a(t)} \cos\bqty{\omega_\rm c t + \varphi_\rm n (t)}$.

  • 由于正反馈自限幅作用，振幅噪声可忽略.

  • $v(t)\approx A\cos \left({\omega }_{\mathrm{c}}t\right)-A{\phi }_{\mathrm{n}}(t)\sin \left({\omega }_{\mathrm{c}}t\right)$$v(t) \approx A \cos(\omega_\rm c t) - A \varphi_\rm n(t) \sin(\omega_\rm c t)$.

   

7.5.2 相位噪声的影响

• 发射机：干扰邻道信号.

• 接收机：倒易混频、降低中频信噪比.

7.5.3 频率稳定度的表示

对于短期频率稳定度，

• 时域：阿伦方差.

  • $\mathrm{\Delta }{f}_i=f_i-f_i^{\prime }$$\Delta f_i = f_i - f_i'$.

  • $\sigma (\tau )={\displaystyle \frac{1}{f_0}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{\Delta }{f}_1{)}^2+(\mathrm{\Delta }{f}_2{)}^2+\cdots +(\mathrm{\Delta }{f}_n{)}^2}{2N}}}$$\sigma(\tau) = \dfrac{1}{f_0} \sqrt{\dfrac{(\Delta f_1)^2 + (\Delta f_2)^2 + \cdots + (\Delta f_n)^2}{2 N}}$.

  • 如果取样时间 $\tau$$\tau$ 太短，则不用时域法表征.

• 频域：单边相位噪声功率.

  • $L(\mathrm{\Delta }f)=10\lg {\displaystyle \frac{P_{\mathrm{SSB}}}{P_{\mathrm{C}}}}$$L(\Delta f) = 10 \lg\dfrac{P_\rm{SSB}}{P_\rm C}$.

  • 可用频谱分析仪测量.

  • 接近载频的低频噪声不易由频域法测出.

第 8 章 锁相与频率合成技术

8.1 锁相环的基本原理

8.1.1 锁相环的基本组成

0 锁相环组成

锁相环（PLL，Phase Locked Loop）

• 鉴相器（PD，Phase Detector）

• 环路滤波器（LF，Loop Filter）

• 压控振荡器（VCO，Voltage Controlled Oscillator）

1 相位检波器

• 输入信号

  • 原始表达式

    • 输入电压：$v_{\mathrm{i}}(t)=V_{\mathrm{im}}\sin ({\omega }_{\mathrm{i}}t+{\phi }_1)$$v_\i(t) = V_\rm{im} \sin(\omega_\i t + \varphi_1)$.

    • 开环输出：$v_{\mathrm{o}}(t)=V_{\mathrm{om}}\cos ({\omega }_{\mathrm{r}}t+{\phi }_2)$$v_\o(t) = V_\rm{om} \cos(\omega_\r t + \varphi_2)$.

    • 闭环反馈：$v_{\mathrm{o}}(t)=V_{\mathrm{om}}\cos ({\omega }_{\mathrm{o}}t+{\phi }_2)$$v_\o(t) = V_\rm{om} \cos(\omega_\o t + \varphi_2)$.

  • 使用参考频率

    • 输入信号：$v_{\mathrm{i}}(t)=V_{\mathrm{im}}\sin ({\omega }_{\mathrm{r}}t+{\phi }_{\mathrm{i}}(t))$$v_\i(t) = V_\rm{im} \sin(\omega_\r t + \varphi_\i(t))$.

    • 输出信号：$v_{\mathrm{o}}(t)=V_{\mathrm{om}}\cos ({\omega }_{\mathrm{r}}t+{\phi }_{\mathrm{o}}(t))$$v_\o(t) = V_\rm{om} \cos(\omega_\r t + \varphi_\o(t))$.

• 参数定义

  • 输入

    • 输入相位：${\phi }_{\mathrm{i}}(t)=({\omega }_{\mathrm{i}}-{\omega }_{\mathrm{r}})t$$\varphi_\i(t) = (\omega_\i - \omega_\r) t$.

    • 固有角频差：$\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{i}}={\omega }_{\mathrm{i}}-{\omega }_{\mathrm{r}}$$\Delta \omega_\i = \omega_\i - \omega_\r$.

  • 输出

    • 输出相位：${\phi }_{\mathrm{o}}(t)=({\omega }_{\mathrm{o}}-{\omega }_{\mathrm{r}})t$$\varphi_\o(t) = (\omega_\o - \omega_\r) t$.

    • 控制角频差：$\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{o}}={\omega }_{\mathrm{o}}-{\omega }_{\mathrm{r}}$$\Delta\omega_\o = \omega_\o - \omega_\r$.

  • 整体

    • 误差相位：${\phi }_{\mathrm{e}}(t)={\phi }_{\mathrm{i}}-{\phi }_{\mathrm{o}}=({\omega }_{\mathrm{i}}-{\omega }_{\mathrm{o}})t$$\varphi_\e(t) = \varphi_\i - \varphi_\o = (\omega_\i - \omega_\o) t$.

    • 瞬时角频差：$\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{e}}=\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{i}}-\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{o}}={\omega }_{\mathrm{i}}-{\omega }_{\mathrm{o}}$$\Delta\omega_\e = \Delta\omega_\i - \Delta\omega_\o = \omega_\i - \omega_\o$.

• 鉴相器的功能

  • 输出电压正比于两输入信号的相位差.

  • 传输特性：$v_{\mathrm{d}}(t)=A_{\mathrm{d}}{\phi }_{\mathrm{e}}(t)$$v_\rm d(t) = A_\rm d \varphi_\e(t)$.（注：d 为 detector）

  • 鉴相灵敏度：$A_{\mathrm{d}}$$A_\rm d$，单位为 $\mathrm{V}/\mathrm{rad}$$\rm{V / rad}$.

• 模拟乘法器作为鉴相器

  • $v_{\mathrm{d}}(t)=U_{\mathrm{d}}\sin ({\omega }_{\mathrm{i}}-{\omega }_{\mathrm{o}})t\approx U_{\mathrm{d}}{\phi }_{\mathrm{e}}(t)$$v_\rm d(t) = U_\rm d \sin(\omega_\i - \omega_\o)t \approx U_\rm d \varphi_\e(t)$.

  • 该鉴相器输出信号又成为差拍正弦信号.

  • 当 $|{\phi }_{\mathrm{e}}(t)|\le {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$\vqty{\varphi_\e(t)} \le \dfrac{\pi}{6}$ 时，正弦鉴相可近似为线性.

• 鉴相器的指标

  • 鉴相灵敏度.

  • 鉴相范围.

2 环路滤波器

• 环路滤波器的功能

  • 作为低通滤波器，滤除 $v_{\mathrm{d}}(t)$$v_\rm d(t)$ 中的高频成分和噪声.

  • 取出平均分量 $v_{\mathrm{c}}(t)$$v_\rm c(t)$，用于控制压控振荡器的频率.

  • 改善控制电压的频谱纯度，提高系统的稳定性.

• 环路滤波器表达式

  • 传递函数：$A_{\mathrm{F}}(s)=V_{\mathrm{c}}(s)/V_{\mathrm{d}}(s)$$A_\rm F(s) = V_\rm c(s) / V_\rm d(s)$.

  • 频率特性：$A_{\mathrm{F}}(\mathrm{j}\mathrm{\Omega })$$A_\rm F(\j\Omega)$.

  • 时域方程：$v_{\mathrm{c}}(t)=A_{\mathrm{F}}(p)v_{\mathrm{d}}(t),p:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$$v_\rm c(t) = A_\rm F(p) v_\rm d(t),\ p := \dv{t}$.

• 环路滤波器的指标

  • 无源滤波器：带宽、直流增益、高频增益.

  • 有源滤波器：上述指标、线性动态范围.

• 常用的环路滤波器

  • 简单 RC 滤波器：$A_{\mathrm{F}}(s)={\displaystyle \frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}}={\displaystyle \frac{1}{1+s\tau }}$$A_\rm F(s) = \dfrac{\cfrac{1}{sC}}{R + \cfrac{1}{sC}} = \dfrac{1}{1 + s \tau}$.

  • 无源比例积分滤波器：$A_{\mathrm{F}}(s)={\displaystyle \frac{R_2+\frac{1}{sC}}{R_1+R_2+\frac{1}{sC}}}={\displaystyle \frac{1+s{\tau }_2}{1+s({\tau }_1+{\tau }_2)}}$$A_\rm F(s) = \dfrac{R_2 + \cfrac{1}{sC}}{R_1 + R_2 + \cfrac{1}{sC}} = \dfrac{1 + s\tau_2}{1 + s(\tau_1 + \tau_2)}$.

  • 有源比例积分滤波器：$A_{\mathrm{F}}=-{\displaystyle \frac{R_2+\frac{1}{sC}}{R_1}}=-{\displaystyle \frac{1+s{\tau }_2}{s{\tau }_1}}$$A_\rm F = -\dfrac{R_2 + \cfrac{1}{sC}}{R_1} = -\dfrac{1 + s\tau_2}{s\tau_1}$.