迭代法的收敛条件

1 流程图

备注

• 其中 $\mathit{M}$$\bm M$ 为某种迭代法的分裂矩阵，$\omega$$\omega$ 为 SOR 迭代法的松弛因子.

• 注意左下角，由 G-S 收敛和 $0<\omega <2$$0 < \omega < 2$ 并不一定能推出 SOR 收敛.

  图中之所以成立，是因为 $\mathit{A}$$\bm A$ 对称正定只是 G-S 收敛的充分条件.

• 注意右上角，可以证明 G-S 迭代法收敛并且 $0<\omega \le 1$$0 < \omega \le 1$ 时，SOR 迭代法收敛.

2 文字版

• 迭代法收敛

  • 充要条件：$\rho (\mathit{B})<1$$\rho(\bm B) < 1$.

  • 充分条件：$\Vert \mathit{B}\Vert <1$$\Norm{\bm B} < 1$.

• J 迭代法

  • 充分条件：$\mathit{A}$$\bm A$ 对称正定，$2\mathit{D}-\mathit{A}$$2 \bm D -\bm A$ 正定.

    若已知 $\mathit{A}$$\bm A$ 正定，且主对角线元素为正，则为充要条件.

  • 充分条件：严格对角占优，或不可约弱对角占优.

• GS 迭代法

  • 充分条件：$\mathit{A}$$\bm A$ 正定.

  • 充分条件：严格对角占优，或不可约弱对角占优.

• SOR 迭代法

  • 必要条件：$0<\omega <2$$0 < \omega < 2$.

  • 充分条件：$0<\omega <2$$0 < \omega < 2$ 且 $\mathit{A}$$\bm A$ 对称正定.

  • 充分条件：$0<\omega \le 1$$0 < \omega \le 1$ 且 $\mathit{A}$$\bm A$ 严格对角占优或不可约弱对角占优.

  • 充分条件：GS 迭代矩阵的谱半径 $\tilde{q}<1$$\wt q < 1$ 且 $\omega \in (0,{\displaystyle \frac{2}{1+\tilde{q}}}]$$\omega \in \pbqty{0, \dfrac{2}{1 + \wt q}}$.