复分析

第 1 章 复数

1.1 复数代数

• 虚数单位 ${\mathrm{i}}^2=-1$$\i^2 = -1$.

  • 故凡是以复数为中间推导的算法 (如离散傅里叶变换), 将 $\mathrm{i}$$\i$ 替换成 $-\mathrm{i}$$-\i$, 结论依然成立.

  • 注: 以下均以希腊字母表示实数, 以英文字母表示复数, 不加说明时默认 $a=\alpha +\mathrm{i}\beta$$a = \alpha + \i\beta$.

• 运算

  • 加法 / 减法 $({\alpha }_1+{\beta }_1\mathrm{i})\pm ({\alpha }_2+{\beta }_2\mathrm{i})=({\alpha }_1\pm {\alpha }_2)+({\beta }_1\pm {\beta }_2)\mathrm{i}$$(\alpha_1 + \beta_1 \i) \pm (\alpha_2 + \beta_2 \i) = (\alpha_1 \pm \alpha_2) + (\beta_1 \pm \beta_2) \i$.

  • 乘法 $({\alpha }_1+{\beta }_1\mathrm{i})({\alpha }_2+{\beta }_2\mathrm{i})=({\alpha }_1{\alpha }_2-{\beta }_1{\beta }_2)+({\alpha }_1{\beta }_2+{\alpha }_2{\beta }_1)\mathrm{i}$$(\alpha_1 + \beta_1\i)(\alpha_2 + \beta_2\i) = (\alpha_1 \alpha_2 - \beta_1 \beta_2) + (\alpha_1 \beta_2 + \alpha_2 \beta_1) \i$.

  • 除法 ${\displaystyle \frac{{\alpha }_1+{\beta }_1\mathrm{i}}{{\alpha }_2+{\beta }_2\mathrm{i}}}={\displaystyle \frac{({\alpha }_1{\alpha }_2+{\beta }_1{\beta }_2)+({\alpha }_2{\beta }_1-{\alpha }_1{\beta }_2)\mathrm{i}}{{\alpha }_2^2+{\beta }_2^2}}$$\dfrac{\alpha_1 + \beta_1\i}{\alpha_2 + \beta_2 \i} = \dfrac{(\alpha_1 \alpha_2 + \beta_1 \beta_2) + (\alpha_2 \beta_1 - \alpha_1 \beta_2) \i}{\alpha_2^2 + \beta_2^2}$.

  • 平方根 $\sqrt{\alpha +\beta \mathrm{i}}=\pm (\sqrt{{\displaystyle \frac{\alpha +\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}{2}}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\beta }{\left|\beta \right|}}\sqrt{{\displaystyle \frac{-\alpha +\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}{2}}})$$\sqrt{\alpha + \beta \i} = \pm \pqty{ \sqrt{ \dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}{2} } + \i \dfrac{\beta}{\vqty{\beta}} \sqrt{ \dfrac{-\alpha + \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}{2} } }$.

• 定义

  • 共轭 $\overline{\alpha +\mathrm{i}\beta }:=\alpha -\mathrm{i}\beta$$\overline{\alpha + \i\beta} := \alpha - \i\beta$.

    • 对于任意有理函数 $f:{\mathbb{Z}}^n\to \mathbb{Z}$$f: \Z^n \to \Z$, 有 $\overline{f(a,b,c,\cdots )}=f(\bar{a},\bar{b},\bar{c},\cdots )$$\overline{f(a, b, c, \cdots)} = f(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \cdots)$.

    • $0\equiv P_n(x_0)=P_n({\bar{x}}_0)$$0 \equiv P_n(x_0) = P_n(\overline x_0)$, 因此, 实系数方程的非实根以成对的共轭根出现.

  • 实部 / 虚部 $\mathrm{Re}a:=\alpha ,\mathrm{Im}a:=\beta$$\Re{a} := \alpha,\, \Im a := \beta$.

    • $\mathrm{Re}$$\Re$ 和 $\mathrm{Im}$$\Im$ 是实数上的线性算子.

    • $\mathrm{Re}a={\displaystyle \frac{a+\bar{a}}{2}},\mathrm{Im}a={\displaystyle \frac{a-\bar{a}}{2\mathrm{i}}}$$\Re a = \dfrac{a + \overline a}{2},\, \Im a = \dfrac{a - \overline a}{2\i}$.

    • $\bar{a}b+a\bar{b}=2({\alpha }_1{\alpha }_2+{\beta }_1{\beta }_2)=2\mathrm{Re}a\bar{b}$$\overline a b + a \overline b = 2(\alpha_1 \alpha_2 + \beta_1 \beta_2) = 2 \Re a \overline b$.

    • $\bar{a}b-a\bar{b}=2({\alpha }_1{\beta }_2-{\alpha }_2{\beta }_1)\mathrm{i}$$\overline a b - a \overline b = 2(\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1) \i$.

  • 模 $\left|a\right|:=\sqrt{a\bar{a}}=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$$\vqty{a} := \sqrt{a \overline{a}} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.

    • $\left|ab\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$$\vqty{ab} = \vqty{a} \cdot \vqty{b}$.

    • $\left|{\displaystyle \frac{a}{b}}\right|={\displaystyle \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}}$$\vqty{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\vqty{a}}{\vqty{b}}$.

    • ${|a\pm b|}^2={\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2\pm 2\mathrm{Re}a\bar{b}$$\vqty{a \pm b}^2 = \vqty{a}^2 + \vqty{b}^2 \pm 2 \Re a \overline b$.

    • ${|a+b|}^2+{|a-b|}^2=2{\left|a\right|}^2+2{\left|b\right|}^2$$\vqty{a + b}^2 + \vqty{a - b}^2 = 2 \vqty{a}^2 + 2\vqty{b}^2$.

• 拉格朗日恒等式

  • ${\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}\right)}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i^2{\displaystyle \sum _{i=1}^n{b}_i^2-{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2}}}$$\pqty{\insum a_i b_i}^2 = \insum a_i^2 \insum b_i^2 - \dsum_{1 \le i < j \le n} \pqty{a_i b_j - a_j b_i}^2$.

  • ${\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}\right|}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|a_i\right|}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|b_i\right|}^2-{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}{|a_i{\bar{b}}_j-a_j{\bar{b}}_i|}^2}}}$$\vqty{\insum a_i b_i}^2 = \insum \vqty{a_i}^2 \insum \vqty{b_i}^2 - \dsum_{1 \le i < j \le n} \vqty{a_i \overline b_j - a_j \overline b_i}^2$.

• 不等式

  • 三角不等式 $\left|a\right|-\left|b\right|\le |a+b|\le \left|a\right|+\left|b\right|$$\vqty{a} - \vqty{b} \le \vqty{a + b} \le \vqty{a} + \vqty{b}$.

    当且仅当 $b=0\vee a/b\le 0$$b = 0 \or a / b \le 0$ 时左式取等, 当且仅当 $b=0\vee a/b\ge 0$$b = 0 \or a / b \ge 0$ 时右式取等.

  • 推论

    • $|a_1+a_2+\cdots +a_n|\le \left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots +\left|a_n\right|$$\vqty{\splus{a}{n}} \le \vqty{a_1} + \vqty{a_2} + \cdots + \vqty{a_n}$.

    • $|\alpha +\mathrm{i}\beta |\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|$$\vqty{\alpha + \i\beta} \le \vqty{\alpha} + \vqty{\beta}$.

    • $|z-a|+|z+a|\ge 2\left|a\right|$$\vqty{z - a} + \vqty{z + a} \ge 2 \vqty{a}$, 当且仅当 $z=-a\vee {\displaystyle \frac{z-a}{z+a}}\le 0$$z = -a \or \dfrac{z - a}{z + a} \le 0$ 时取等.

  • 柯西不等式 ${\left|{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}\right|}^2\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|a_i\right|}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left|b_i\right|}^2}}$$\vqty{\insum a_i b_i}^2 \le \insum \vqty{a_i}^2 \insum \vqty{b_i}^2$.

    • 证法一: 由拉格朗日恒等式即得.

    • 证法二: 由 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n|a_i-\lambda {\bar{b}}_i|}$$\insum \vqty{a_i - \lambda \overline{b}_i}$ 的 $\mathrm{\Delta }<0$$\Delta < 0$ (或取极值点) 即得.

    • 证法三: 由数学归纳法即得.

1.2 复数的几何表示

• 平几表示

  • 概念

    • 坐标 $\alpha +\mathrm{i}\beta \mapsto (\alpha ,\beta )$$\alpha + \i\beta \mapsto (\alpha, \beta)$.

    • 幅角 $\phi =\arg a:=\arctan {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$$\varphi = \arg a := \arctan\dfrac{\beta}{\alpha}$.

    • 极坐标 $a=r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$$a = r (\cos\varphi + \i\sin\varphi)$.

  • 运算

    • 几何加法: 向量相加.

    • 几何乘法: 幅角相加模相乘.

    • 注意: 如果用点表示复数, 则 $AB=B-A$$AB = B - A$; 如果用值表示复数, 则 $z_1{z}_2=z_1\cdot z_2$$z_1 z_2 = z_1 \cdot z_2$.

  • 应用

    • $A_1,A_2,\cdots ,A_n$$\soneto{A}{n}$ 构成正 $n$$n$ 边形的充要条件: $A_1^2+A_2^2+\cdots +A_n^2=A_1{A}_2+A_2{A}_3+\cdots +A_{n-1}{A}_n+A_n{A}_1$$\splus{A^2}{n} = A_1 A_2 + A_2 A_3 + \cdots + A_{n-1} A_n + A_n A_1$.

    • 参考: 复数与几何（三） 三角形 - 知乎 (zhihu.com)

  • 二项方程

    • 棣莫弗公式 $(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +\mathrm{i}\sin n\phi$$(\cos \varphi + \i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + \i \sin n\varphi$.

    • 开根 $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{r}(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta ),\theta ={\displaystyle \frac{\phi }{n}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{n}},k=0,1,\cdots ,n-1$$\sqrt[n]a = \sqrt[n]r \pqty{\cos\theta + \i\sin\theta},\, \theta = \dfrac{\varphi}{n} + \dfrac{2k\pi}{n},\, k \ = 0, 1, \cdots, n-1$.

• 解析几何

  • 圆 $|z-a|=r$$\vqty{z - a} = r$, 或 $(z-a)(\bar{z}-\bar{a})=r^2$$(z - a)(\overline z - \overline a) = r^2$.

  • 直线 $z=a+bt$$z = a + bt$, 或 $|z-c|=|z-d|$$\vqty{z - c} = \vqty{z - d}$.

    • $\mathrm{Im}{\displaystyle \frac{z-a}{b}}>0$$\Im \dfrac{z-a}{b} > 0$ 确定左半平面.

    • 两直线夹角: $\arg {\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}$$\arg \dfrac{b_1}{b_2}$.

    • 平行线距离: $|(a_1-a_2)\sin \arg {\displaystyle \frac{a_1-a_2}{b}}|$$\vqty{(a_1 - a_2) \sin \arg\dfrac{a_1 - a_2}{b}}$.

    • 点到线的距离: 同平行线间距离公式.

  • 椭圆 $|z-a|+|z+a|=2\left|c\right|$$\vqty{z - a} + \vqty{z + a} = 2 \vqty{c}$.

  • 双曲线 $|z-a|-|z+a|=\pm 2\left|c\right|$$\vqty{z - a} - \vqty{z + a} = \pm 2\vqty{c}$.

  • 抛物线 $|z-a|={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2}}+a$$\vqty{z - a} = \dfrac{z + \overline z}{2} + a$.

• 球面表示

  • 无穷远点: 没有一个半平面包含这个理想点.

  • 黎曼球面 $S:\{(x_1,x_2,x_2)\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=1,x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}\}$$S: \Bqty{(x_1, x_2, x_2) \mid x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1,\, x_1, x_2, x_3 \in \R}$.

  • 球极平面投影:

    • $\sum \to \mathbb{C}$$\sum \to \C$:

      • $z={\displaystyle \frac{x_1+\mathrm{i}{x}_2}{1-x_3}}$$z = \dfrac{x_1 + \i x_2}{1 - x_3}$.

    • $\mathbb{C}\to \sum$$\C \to \sum$:

      • $x_1={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{1+{\left|z\right|}^2}}$$x_1 = \dfrac{z + \overline z}{1 + \vqty{z}^2}$.

      • $x_2={\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{\mathrm{i}(1+{\left|z\right|}^2)}}$$x_2 = \dfrac{z - \overline z}{\i (1 + \vqty{z}^2)}$.

      • $x_3={\displaystyle \frac{{\left|z\right|}^2-1}{{\left|z\right|}^2+1}}$$x_3 = \dfrac{\vqty{z}^2 - 1}{\vqty{z}^2 + 1}$.

  • 球面上任一圆, 对应平面上一个圆或一条直线.

    • 若球上一圆所在平面为 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3=a_0$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = a_0$, 则投影为

      $(a_0-a_3)(x^2+y^2)-2a_{1}x-2a_{2}y+a_0+a_3=0$$(a_0 - a_3) (x^2 + y^2) - 2a_1 x - 2a_2 y + a_0 + a_3 = 0$.

  • 复数在球极平面投影的距离

    • $d(z_1,z_2)={\displaystyle \frac{2|z_1-z_2|}{\sqrt{(1+{\left|z_1\right|}^2)(1+{\left|z_2\right|}^2)}}}$$d(z_1, z_2) = \dfrac{2\vqty{z_1 - z_2}}{\sqrt{(1 + \vqty{z_1}^2)(1 + \vqty{z_2}^2)}}$.

    • $d(z,\mathrm{\infty })={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+{\left|z\right|}^2}}}$$d(z, \infty) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + \vqty{z}^2}}$.

    • 注: 可由相似得第二式, 再由两次余弦定理得第一式, 后者无需借助球极射影, 计算量很小.

  • 其它性质

    • $z_1$$z_1$ 和 $z_2$$z_2$ 对应于黎曼球面上一个直径的两端点当且仅当 $z_1{\bar{z}}_2=-1$$z_1 \overline z_2 = -1$.

第 2 章 复函数

2.1 解析函数

2.1.1 解析函数的充要条件

• 若函数记为 $f(z)=u(z)+\mathrm{i}v(z)$$f(z) = u(z) + \i v(z)$, 其中 $z=x+\mathrm{i}y$$z = x + \i y$, 则有

  • 柯西黎曼微分方程组 $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y},}}\\ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}.}}\end{array}}}\end{array}$$\dpdv{f}{x} = -\i \dpdv{f}{y} \QRLA \begin{cases} \dpdv{u}{x} = \dpdv{v}{y}, \\ \dpdv{u}{y} = -\dpdv{v}{x}. \end{cases}$

  • 因此可将导数及其模表示为

    • $f^{\prime }(z)={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}$$f'(z) = \dpdv{u}{x} + \i \dpdv{v}{x}$.

    • ${|f^{\prime }(z)|}^2={\displaystyle \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}-{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}}}}$$\vqty{f'(z)}^2 = \dpdv{(u, v)}{(x, y)} = \dpdv{u}{x} \dpdv{v}{y} - \dpdv{u}{y} \dpdv{v}{x}$.

• 解析函数的导数也是解析的,

  因此解析函数的实部与虚部满足拉普拉斯方程, 称为 共轭调和函数.

  $$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }u={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,}\\ \mathrm{\Delta }v={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0.}\end{array}$$

• 函数 $f(z)=u(z)+\mathrm{i}v(z)$$f(z) = u(z) + \i v(z)$ 解析, 当且仅当 $u(z)$$u(z)$ 和 $v(z)$$v(z)$ 共轭调和.

2.1.2 复变函数的性质

• 复变量的实函数的导数要么为零, 要么不存在.

• 不为常数的解析函数的模不可能为常数.

• 若 $f(z)$$f(z)$ 和 $g(z)$$g(z)$ 解析且 $g(z)\ne 0$$g(z) \ne 0$, 则以下函数解析:

  • 和差: $f(z)\pm g(z)$$f(z) \pm g(z)$.

  • 乘积: $f(z)g(z)$$f(z) g(z)$.

  • 商式: $f(z)/g(z)$$f(z) / g(z)$.

  • 复合: $f(g(z))$$f(g(z))$.

  • 求导: $f^{\prime }(z)$$f'(z)$.

• 调和与解析

  • 若 $u(z)$$u(z)$ 调和, 则 $u(\bar{z})$$u(\overline{z})$ 调和.

  • 若 $u(z)$$u(z)$ 与 $v(z)$$v(z)$ 共轭调和, 则 $u(\bar{z})$$u(\overline z)$ 与 $-v(\bar{z})$$-v(\overline z)$ 共轭调和.

  • 若 $f(z)$$f(z)$ 解析, 则 $\overline{f(\stackrel{―}{z})}$$\overline{f(\overline z)}$ 解析.

• 实部与虚部

  $$\{\begin{array}{l}u(z)={\displaystyle \frac{f(z)+f(\bar{z})}{2}},\\ v(z)={\displaystyle \frac{f(z)-f(\bar{z})}{2}}.\end{array}$$

  • 已知实部 $u(x,y)$$u(x, y)$, 求其共轭调和函数 $v(x,y)$$v(x, y)$ 以及解析函数 $f(z)$$f(z)$.

    • 法一: 利用柯西黎曼微分方程组两次积分.

    • 法二: 利用 $u(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2}}[f(x+\mathrm{i}y)+\bar{f}(x-\mathrm{i}y)]$$u(x, y) = \dfrac{1}{2} [f(x + \i y) + \overline f(x - \i y)]$, 有

      $$f(z)=2u({\displaystyle \frac{z}{2}},{\displaystyle \frac{z}{2\mathrm{i}}})-u(0,0)+C\mathrm{i}.$$

  • 若 $u(z)$$u(z)$ 调和, 则成立形式微分方程 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial z\partial \bar{z}}=0}$$\dpdv[2]{u}{z}{\overline{z}} = 0$.

2.1.3 多项式

• 多项式是解析函数.

• 知识回顾

  • $0$$0$ 如果作为多项式的话, 一般认为次数是 $-\mathrm{\infty }$$-\infty$.

  • 代数学基本定理 $P_n(z)=a_n(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$$P_n(z) = a_n (z-\alpha_1) (z-\alpha_2) \cdots (z-\alpha_n)$.

    • 引理: 如果 $P_n(\alpha )=0$$P_n(\alpha) = 0$, 则 $P_n(z)=(z-\alpha )P_{n-1}(z)$$P_n(z) = (z-\alpha) P_{n-1}(z)$.

    • 推论: ${\displaystyle \frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}}={\displaystyle \frac{1}{z-{\alpha }_1}}+{\displaystyle \frac{1}{z-{\alpha }_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{z-{\alpha }_n}}$$\dfrac{P'(z)}{P(z)} = \dfrac{1}{z-\alpha_1} + \dfrac{1}{z-\alpha_2} + \cdots + \dfrac{1}{z-\alpha_n}$.

  • 如果 $P^{(k)}(z_0)=0,P^{(k+1)}(z_0)\ne 0$$P^{(k)}(z_0) = 0,\, P^{(k+1)}(z_0) \ne 0$, 则 $z_0$$z_0$ 为 $P(z)$$P(z)$ 的 $k$$k$ 阶零点.

卢卡斯定理 如果多项式 $P(z)$$P(z)$ 的所有零点都在一个半平面内, 则导数 $P^{\prime }(z)$$P'(z)$ 的所有零点也都在同一个半平面内.

• 推论: 包含 $P(z)$$P(z)$ 零点的最小凸多边形也包含 $P^{\prime }(z)$$P'(z)$ 的零点.

2.1.4 有理函数

• 分母的零点称为有理函数极点, 扩充平面中的极点个数称为有理函数的阶数.

• $p$$p$ 阶有理函数 $R(z)$$R(z)$ 有 $p$$p$ 个零点和 $p$$p$ 个极点, 其中 $p=max(m,n)$$p = \max(m, n)$ 并且 $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z},R(z)=a$$\forall a \in \Z,\, R(z) = a$ 恰有 $p$$p$ 个根.

• 线性变换

  • 一阶有理函数: $S(z)={\displaystyle \frac{\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}\iff z={\displaystyle \frac{\delta S-\beta }{-\gamma S+\alpha }}$$S(z) = \dfrac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta} \RLA z = \dfrac{\delta S - \beta}{-\gamma S + \alpha}$.

  • 平行移动: $z+\alpha$$z+\alpha$, 在 $\mathrm{\infty }$$\infty$ 处有一个不动点.

  • 逆: ${\displaystyle \frac{1}{z}}$$\dfrac{1}{z}$, 将 $0$$0$ 与 $\mathrm{\infty }$$\infty$ 互换.

1. 将有理分式表示为 $R(z)=G(z)+H(z)$$R(z) = G(z) + H(z)$, 其中 $G(z)$$G(z)$ 是常数项为零的多项式, 称为奇部, $H(z)$$H(z)$ 在 $\mathrm{\infty }$$\infty$ 处有限.

2. 求出所有极点, 记为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q$$\soneto{\beta}{q}$.

3. 类似的, 有 $R({\beta }_j+{\displaystyle \frac{1}{\xi }})=G_j(\xi )+H_j(\xi )$$R\pqty{\beta_j + \dfrac{1}{\xi}} = G_j(\xi) + H_j(\xi)$, 其中 $G_j(\xi )$$G_j(\xi)$ 是常数项为零的多项式.

4. 于是 $R(z)=G(z)+{\displaystyle \sum _{j=1}^q{G}_j\left({\displaystyle \frac{1}{z-{\beta }_j}}\right)}$$R(z) = G(z) + \dsum_{j=1}^q G_j \pqty{\dfrac{1}{z - \beta_j}}$.

第一节习题

• 在圆 $\left|z\right|=1$$\vqty{z} = 1$ 上绝对值为 $1$$1$ 的有理函数的一般形式为 $R(z)=z^n$$R(z) = z^n$, 其零点与极点只能为 $0$$0$ 或 $\mathrm{\infty }$$\infty$.

• 在圆 $\left|z\right|=1$$\vqty{z} = 1$ 上取值实数的有理函数的零点与极点分布在单位圆上, 并且零点幅角和与极点幅角和之差为 $2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$2k\pi,\, k \in \Z$.

2.2 幂级数

• 序列

  • 基本序列 (柯西序列: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0:\mathrm{\forall }n,m\ge n_0,|a_n-a_m|<\epsilon$$\forall \ve > 0, \exist n_0: \forall n, m \ge n_0, \vqty{a_n - a_m} < \ve$.

  • 序列收敛当且仅当其为柯西序列.

  • 序列的收缩 $\mathrm{\forall }m,n:|b_m-b_n|\le |a_m-a_n|$$\forall m, n: \vqty{b_m - b_n} \le \vqty{a_m - a_n}$.

• 常数项级数

  • 绝对收敛级数的和, 在重排后不变.

• 函数项级数

  • 点态收敛 $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{E},\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }{n}_0,\mathrm{\forall }n\ge n_0:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$\forall x \in \E, \forall \ve > 0: \exist n_0, \forall n \ge n_0: \vqty{f_n(x) - f(x)} < \ve$.

  • 一致收敛 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0:\mathrm{\forall }n\ge n_0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{E}:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$\forall \ve > 0, \exist n_0: \forall n \ge n_0, \forall x \in \E: \vqty{f_n(x) - f(x)} < \ve$.

    • 一致收敛的连续函数序列, 其极限函数也连续.

    • 一致收敛 $\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0:\mathrm{\forall }m,n\ge n_0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{E}:|f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon$$\RLA \forall \ve > 0, \exist n_0: \forall m, n \ge n_0, \forall x \in \E: \vqty{f_m(x) - f_n(x)} < \ve$.

  • 魏尔斯特拉斯 M 判别法

    • 若 $\mathrm{\exists }M,n_0,\mathrm{\forall }n:|f_n(x)|\le M{a}_n$$\exist M, n_0, \forall n: \vqty{f_n(x)} \le M a_n$, 则称该函数项级数为弱级数, 常数项级数为强级数.

    • 若强级数收敛, 则弱级数一致收敛.

• 幂级数

  • 阿贝尔第一定理: 对于每个幂级数, $\mathrm{\exists }R\in [0,+\mathrm{\infty }]$$\exist R \in [0, +\infty]$ 称为收敛半径, 具有以下的性质

    1. 当 $\left|z\right|<R$$\vqty{z} < R$ 时, 级数绝对收敛.

       当 $\left|z\right|\le \rho <R$$\vqty{z} \le \rho < R$ 时, 级数一致收敛.

    2. 当 $\left|z\right|>R$$\vqty{z} > R$ 时, 级数的项无界且级数发散.

    3. 当 $\left|z\right|<R$$\vqty{z} < R$ 时, 级数的和式为解析函数, 且导数可通过逐项微分求得, 与原级数有相同的收敛半径.

  • 阿达马公式: ${\displaystyle \frac{1}{R}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}sup\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$$\dfrac{1}{R} = \nlim \sup \sqrt[n]{\vqty{a_n}}$.

  • 麦克劳林展开式

  • 阿贝尔第二定理: 如果 ${\displaystyle \sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$$\dsum_0^\infty a_n$ 收敛, 则当 $z\to 1$$z \to 1$ 而保持 ${\displaystyle \frac{|1-z|}{1-\left|z\right|}}$$\dfrac{\vqty{1 - z}}{1 - \vqty{z}}$ 有界时, $f(z)={\displaystyle \sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n}$$f(z) = \dsum_0^\infty a_n z^n$ 趋于 $f(1)$$f(1)$.

    不太懂.

第二节习题

• 若 $\mathrm{deg}R(z)=p$$\deg R(z) = p$, 则 $\mathrm{deg}{R}^{\prime }(z)\in (p,2p]$$\deg R'(z) \in (p, 2p]$.

• 若 $\sum a_n{z}^n$$\sum a_n z^n$ 和 $\sum b_n{z}^n$$\sum b_n z^n$ 的收敛半径分别为 $R_1$$R_1$ 和 $R_2$$R_2$, 则 $\sum a_n{b}_n{z}^n$$\sum a_n b_n z^n$ 的收敛半径至少是 $R_1{R}_2$$R_1 R_2$.

• 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\left|a_n\right|}{\left|a_{n+1}\right|}}=R$$\nlim \dfrac{\vqty{a_n}}{\vqty{a_{n+1}}} = R$, 则 $\sum a_n{z}^n$$\sum a_n z^n$ 的收敛半径为 $R$$R$.

2.3 指数函数与三角函数

2.3.1 指数函数

• 定义: $\exp \left(z\right)$$\exp(z)$ 是微分方程 $f^{\prime }(z)=f(z)$$f'(z) = f(z)$ 且满足初值 $f(0)=1$$f(0) = 1$ 的解.

  习惯上, 也可以用 ${\text{e}}^z$$\e^z$ 表示复变指数函数, 并无严格要求.

• 级数展开: ${\text{e}}^z=1+{\displaystyle \frac{z}{1!}}+{\displaystyle \frac{z^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}+\cdots$$\e^z = 1 + \dfrac{z}{1!} + \dfrac{z^2}{2!} + \cdots + \dfrac{z^n}{n!} + \cdots$.

  证明: 归纳法得系数, 阿贝尔定理证收敛.

• 加法定理: ${\text{e}}^{a+b}={\text{e}}^a\cdot {\text{e}}^b$$\e^{a + b} = \e^a \cdot \e^b$.

  证明: $D({\text{e}}^z\cdot {\text{e}}^{c-z})=0$$D(\e^z \cdot \e^{c-z}) = 0$, 故 ${\text{e}}^z\cdot {\text{e}}^{c-z}=C$$\e^z \cdot \e^{c-z} = C$, 代入 $z=0$$z=0$ 并变量代换即得.

• 取值范围: ${\text{e}}^z\ne 0$$\e^z \ne 0$.

  证明: ${\text{e}}^z\cdot {\text{e}}^{-z}=1$$\e^z \cdot \e^{-z} = 1$, 而 0 无逆元.

• 共轭: $\overline{{\text{e}}^z}={\text{e}}^{\bar{z}}$$\overline{\e^z} = \e^\overline{z}$.

  证明: 由级数展开即得.

• 取模: $\left|{\text{e}}^{x+\mathrm{i}y}\right|={\text{e}}^x$$\vqty{\e^{x+\i y}} = \e^x$.

  证明: ${\left|{\text{e}}^{x+\mathrm{i}y}\right|}^2={\text{e}}^{x+\mathrm{i}y}\cdot {\text{e}}^{x-\mathrm{i}y}={\text{e}}^{2x}$$\vqty{\e^{x+\i y}}^2 = \e^{x+\i y} \cdot \e^{x - \i y} = \e^{2x}$.

• 最小正周期: $T=2\pi \mathrm{i}$$T = 2\pi \i$.

2.3.2 三角函数

• 定义: $\cos z={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{\mathrm{i}z}+{\text{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}},\sin z={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{\mathrm{i}z}-{\text{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}}$$\cos z = \dfrac{\e^{\i z} + \e^{-\i z}}{2},\, \sin z = \dfrac{\e^{\i z} - \e^{-\i z}}{2\i}$,

• 级数展开

  • $\cos z=1-{\displaystyle \frac{z^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{z^4}{4!}}-\cdots$$\cos z = 1 - \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} - \cdots$.

  • $\sin z=z-{\displaystyle \frac{z^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{z^5}{5!}}-\cdots$$\sin z = z - \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} - \cdots$.

  • 上二式每一个余项有与首项相同的符号.

• 欧拉公式: ${\text{e}}^{\mathrm{i}z}=\cos z+\mathrm{i}\sin z$$\e^{\i z} = \cos z + \i \sin z$.

• 备注:

  • 上述所有公式都是耳熟能详的, 这里的重点是推广到复数的构造方式. 其余若干结论不再赘述, 可以参考我的三角学笔记 (暂时未上传, 所以没有超链接).

  • 采取这样的定义, 可以避免许多级数敛散性与一致收敛性的讨论, 并且复平面上正余弦的加法公式可以作为欧拉公式的直接推论, 而不构成循环论证.

  • 但要注意, 实数上正余弦的加法公式并非其推论, 因为我们首先要证明上述复数域中定义的正余弦在实数上的取值与实数域上定义的正余弦相同, 而这一步需要正弦的导数, 但在计算导数时用到了加法公式, 从而构成循环论证.

    类似的, 不能用洛必达法则求第一个重要极限公式, 因为正弦导数的推导中同样用到了这一极限.

  • 欧拉公式可以被证明, 前提是有合适的定义. 这里通过微分方程定义复变指数函数, 也可以通过欧拉公式或级数去定义, 三者是等价的.

    抛开定义谈定理, 都是耍流氓.

2.3.3 双曲三角

• 定义: $\cosh z={\displaystyle \frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{2}},\sinh z={\displaystyle \frac{{\text{e}}^z-{\text{e}}^{-z}}{2}}$$\cosh z = \dfrac{\e^x + \e^{-x}}{2},\, \sinh z = \dfrac{\e^z - \e^{-z}}{2}$.

• "欧拉公式": ${\text{e}}^z=\cosh z+\sinh z$$\e^z = \cosh z + \sinh z$.

  与三角函数的关系

• $\sin (x+\mathrm{i}y)=\sin x\cosh y+\mathrm{i}\cos x\sinh y$$\sin(x+\i y) = \sin x \cosh y + \i \cos x \sinh y$.

  $\cos (x+\mathrm{i}y)=\cos x\cosh y-\mathrm{i}\sin x\sinh y$$\cos(x + \i y) = \cos x \cosh y - \i \sin x \sinh y$.

• ${|\cos z|}^2={\sinh }^{2}y+{\cos }^{2}x={\cosh }^{2}y-{\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{\cosh 2y+\cos 2x}{2}}$$\vqty{\cos z}^2 = \sinh^2 y + \cos^2 x = \cosh^2 y - \sin^2 x = \dfrac{\cosh 2y + \cos 2x}{2}$.

  ${|\sin z|}^2={\sinh }^{2}y+{\sin }^{2}x={\cosh }^{2}y-{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{\cosh 2y-\cos 2x}{2}}$$\vqty{\sin z}^2 = \sinh^2 y + \sin^2 x = \cosh^2 y - \cos^2 x = \dfrac{\cosh 2y - \cos 2x}{2}$.

• 其它结论以后再整理, 下亿次一定.

2.3.4 对数函数

• 定义: $z=\ln w=\log w$$z = \ln w = \log w$ 是方程 ${\text{e}}^z=w$$\e^z = w$ 的一个根, 其中 $w\ne 0$$w \ne 0$.

• $\log z=\log \left|z\right|+\mathrm{i}\arg z$$\log z = \log \vqty{z} + \i \arg z$.

  • $\log \left(z_1{z}_2\right)=\log z_1+\log z_2$$\log (z_1 z_2) = \log z_1 + \log z_2$.

  • $\arg (z_1{z}_2)=\arg z_1+\arg z_2$$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$.

• 备注:

  • 一般认为首字母小写为单值, 大写为多值, 如幅角 $\mathrm{Arg}$$\mathrm{Arg}$ 和幅角主值 $\arg$$\arg$.

  • 本质上只有一个初等超越函数.

第 3 章 作为映射的解析函数

3.1 初等点集拓扑

3.1.1 度量空间

• 定义

  1. $d(x,y)\ge 0$$d(x, y) \ge 0$, 当且仅当 $x=y$$x = y$ 取等.

  2. $d(x,y)=d(y,x)$$d(x, y) = d(y, x)$.

  3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.

• 例子

  • ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$$\C^n$ 中一般意义的距离.

  • 黎曼球面上球极象的欧氏距离.

  • 定义在区间 $a\le x\le b$$a \le x \le b$ 上的所有连续函数的集合 $C[a,b]$$C[a, b]$, 距离函数为 $d(f,g)=max|f(x)-g(x)|$$d(f, g) = \max \vqty{f(x) - g(x)}$.

• 性质

  • 如果 $d(x,y)$$d(x, y)$ 是 $S$$S$ 上的距离函数, 则 $\delta (x,y)={\displaystyle \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}$$\delta(x, y) = \dfrac{d(x, y)}{1 + d(x, y)}$ 也是 $S$$S$ 上的距离函数.

  • 在同一个空间 $S$$S$ 上, 如果两个距离函数确定相同的开集, 则称它们是等价的.

    若 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon$$\forall \ve > 0, \exist \delta > 0: d_1(x, y) < \delta \RA d_2(x, y) < \ve$, 且反之亦然, 则 $d_1$$d_1$ 与 $d_2$$d_2$ 等价.

3.1.2 点集 $$$%: 距离 -> 球 -> 邻域 -> 开集 -> 闭集.$

• 球: $\{x\mid d(x,y)<\delta ,x\in S\}$$\Bqty{x \mid d(x, y) < \delta, x \in S}$ 称为中心为 $y$$y$, 半径为 $\delta$$\delta$ 的球, 又称为 $y$$y$ 的 $\delta$$\delta$ 邻域.

• 邻域: 集 $N\subset S$$N \subset S$ 称为 $y\in S$$y \in S$ 的一个邻域, 如果它包含球 $B(y,\delta )$$B(y, \delta)$.

• 开集: 一个集合如果是其每个元素的邻域, 则称为开集.

  • 每一个球是一个开集, 称为开球.

  • 空集时开集, 单点集是闭集.

    它们都是连通集.

• 补集: $X^{\prime }\equiv \sim X$$X' \equiv \sim X$.

• 闭集: 开集之补.

  • 有限多个开集之交是开的.

  • 任意多个开集之并是开的.

  • 有限多个闭集之并是闭的.

  • 任意多个闭集之交是闭的.

• 内部: 最大子开集, 或所有子开集之并, 记为 $\mathrm{Int}X$$\Int X$.

• 闭包: 最小父闭集, 或所有父闭集之交, 记为 $\mathrm{Cl}X=X^{-}$$\Cl X = X^-$.

  • $X^{{-}^{\prime }{-}^{\prime }}=X$$X^{-'-'} = X$.

  • $\mathrm{Int}X\subseteq X\subseteq X^{-}$$\Int X \subseteq X \subseteq X^-$.

  • $X\subset Y\Rightarrow \mathrm{Int}X\subset \mathrm{Int}Y,X^{-}\subset Y^{-}$$X \subset Y \QRA \Int X \subset \Int Y,\, X^- \subset Y^-$.

• 边界: $\partial X:=\mathrm{Bd}X:=\mathrm{Cl}X-\mathrm{Int}X$$\partial X := \Bd X := \Cl X - \Int X$.

• 外部: $\mathrm{Aut}X:=\mathrm{Int}{X}^{\prime }=X^{{-}^{\prime }}$$\Aut X := \Int X' = X^{-'}$.

• 孤立点: 若 $\mathrm{\exists }\delta :a\cap B(a,\delta )=a$$\exist \delta: a \cap B(a, \delta) = a$, 则称 $a$$a$ 为孤立点.

• 聚点: 闭集与孤立点的差集.

  • 任意集合的聚点构成闭集.

• 离散集: 所有点都是孤立点的集合.

  • 欧氏空间的任一离散子集可数.

    证明: $n$$n$ 维欧氏空间同构于 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$, 其离散子集可含于无交开集之并, 而每一个开区间必包含有理点, 且 ${\mathbb{Q}}^n$$\Q^n$ 可数, 故欧氏空间的任一离散子集可数.

  • 可数集合不一定离散.

    如 $\left\{0\right\}\cap \left\{\frac{1}{n}\right\}$$\Bqty{0} \cap \Bqty{\frac{1}{n}}$, 其中 0 不是离散点.

• 例子

  • 离散集 $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$$\Q[\i]$ 可数.

  • $\mathrm{Int}\mathbb{Q}[\mathrm{i}]=\varnothing$$\Int \Q[\i] = \varnothing$.

  • $\partial \mathbb{Q}[\mathrm{i}]=\mathrm{Cl}\mathbb{Q}[\mathrm{i}]=\mathbb{C}$$\partial\, \Q[\i] = \Cl \Q[\i] = \C$.

3.1.3 连通性

• 子空间的概念: 相对邻域, 相对开集, 相对拓扑.

• 连通: 不能表示成无交非空相对开集之并的度量空间子集称为是连通的.

  • 性质

    • 开集连通 $\iff$$\RLA$ 不能分解为两个开集.

    • 闭集连通 $\iff$$\RLA$ 不能分解为两个闭集.

  • 例子: 空集, 单点集, ${\mathbb{C}}^n$$\C^n$.

  • 定理

    • 实线的非空连通子集是区间.

    • 实数的任一非空有界闭集必有一个极小值与一个极大值.

    • 平面上的一个非空开集连通, 当且仅当该集中的任意两点可用整个位于该集内的折线连接起来.

• 下界: 若 $\mathrm{\forall }x\in E:a\le x$$\forall x \in E: a \le x$, 则称 $a$$a$ 为 $E$$E$ 的下界.

  • 设所有下界组成集 $A$$A$, 其余集是开集.

  • $E$$E$ 的下确界记作 $\mathrm{g}.\mathrm{l}.\mathrm{b}.x=infx$$\mathrm{g.l.b.\,} x = \inf x$,

    • 当 $A$$A$ 有最大值时, 为最大值;

    • 当 $A$$A$ 为空集时, 为 $-\mathrm{\infty }$$-\infty$.

    • 当 $A$$A$ 为全集时, 为 $+\mathrm{\infty }$$+\infty$.

  • 类似的有上界与上确界 $\mathrm{l}.\mathrm{u}.\mathrm{b}.x=supx$$\mathrm{l.u.b.\,} x = \sup x$.

• 域: 非空连通开集称为域 (region).

  与代数系统中的域 (field) 不同.

• 闭域: 即域的闭包.

  不同的域可以有相同的闭包.

• 分集: 不包含在任何更大的连通子集中的连通子集.

  • $E$$E$ 的包含 $a$$a$ 的所有连通子集的并记为 $C(a)$$C(a)$, 称为 $a$$a$ 的分集.

    • 不同的分集无交.

    • $C(a)$$C(a)$ 是连通的.

  • 定理

    • 每一个集具有唯一的分成分集的分解.

    • 局部连通空间的子开集的分集是开的.

      • 局部连通: 若集中任一点 $a$$a$ 的任何邻域包含 $a$$a$ 的一个连通邻域, 则称该集是局部连通的.

      • ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 中任何开集的分集是开的.

    • 局部连通可分空间中, 每个开集是不相交区域的可数并.

3.1.4 紧致性

• 敛散性

  • 如果 $d(x_n,x)\to 0$$d(x_n, x) \to 0$, 就可以说 $x_n\to x$$x_n \to x$.

  • 如果 $n,m\to \mathrm{\infty }\Rightarrow d(x_n,x_m)\to 0$$n, m \to \infty \RA d(x_n, x_m) \to 0$, 则称 $\left\{x_n\right\}$$\Bqty{x_n}$ 是一个柯西序列.

  • 收敛序列是柯西序列.

• 完备性

  • 完备性: 所有柯西序列收敛的度量空间称为是完备的.

  • 度量空间的完备子集是闭的,

  • 完备空间的闭子集是完备的.

• 紧致性

  • 开覆盖: 如果集合 $X$$X$ 包含在开集族的并集中, 则称该开集族是 $X$$X$ 的一个开覆盖.

  • 紧致性: 每一个开覆盖包含一个有穷子覆盖的集合称为是紧致的, 又称为 海涅 - 博雷尔性质.

  • 全有界性: 对于任一 $\epsilon >0$$\ve > 0$, 可用有穷多个半径为 $\epsilon$$\ve$ 的球覆盖的集称为全有界的.

    • 全有界集必是有界集.

    • 全有界集任一子集全有界.

  • 紧致 $\iff$$\RLA$ 完备且全有界. ⭐️

    紧致的第二种定义.

    • $\mathbb{C}$$\C$ 中有界集全有界, 闭集完备.

    • $\mathbb{C}$$\C$ 的一个子集是紧致的, 当且仅当它是闭且有界的.

  • 极限点: 称 $y$$y$ 是序列 $\left\{x_n\right\}$$\Bqty{x_n}$ 的一个极限点, 如果存在一个子序列 $\left\{x_{n_k}\right\}$$\Bqty{x_{n_k}}$ 收敛于 $y$$y$.

  • 波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯定理: 一个度量空间是紧致的, 当且仅当每个无穷序列具有一个极限点.

    紧致的第三种定义.

    • 复数的每个有界序列具有一个收敛的子序列.

3.1.5 连续函数

• 函数 (映射) $f:S\to S^{\prime }$$f: S \to S'$

  • 令 $X\subset S,X^{\prime }\subset S^{\prime }$$X \subset S,\, X' \subset S'$, 则有

    • $f(f^{-1}(X^{\prime }))\subseteq X^{\prime }$$f(f\inv(X')) \subseteq X'$.

      注意 $f$$f$ 不一定满射 (映上).

    • $f^{-1}(f(X))\supseteq X$$f\inv(f(X)) \supseteq X$.

      注意 $f^{-1}$$f\inv$ 不一定单射 (一对一).

  • 若定义域为扩充复平面, 则通常的距离应换为黎曼球面的距离.

• 连续: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }\delta >0:d(x,a)<\delta \Rightarrow d^{\prime }(f(x),f(a))<\epsilon$$\forall \ve > 0, \forall x \in X, \exist \delta > 0: d(x, a) < \delta \RA d'(f(x), f(a)) < \ve$.

  • 一个函数是连续的, 当且仅当每一个开集的逆象是开的.

  • 一个函数是连续的, 当且仅当每一个闭集的逆象是闭的.

• 一致连续: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in X:d(x,a)<\delta \Rightarrow d^{\prime }(f(x),f(a))<\epsilon$$\forall \ve > 0, \exist \delta > 0, \forall x \in X: d(x, a) < \delta \RA d'(f(x), f(a)) < \ve$.

• 定理

  • 连续映射下, 任一紧致集的象必是紧致的, 因而是闭的.

    • 紧致集上一个实值连续函数必有一个极大值和一个极小值.

  • 在连续映射下, 任一连通集的象是连通的.

    • 在连通集上连续的非零实值函数或者恒正或者恒负.

  • 紧致集上的连续函数一致连续.

    • $\mathbb{C}$$\C$ 非紧致集, $z$$z$ 一致连续而 $z^2$$z^2$ 非一致连续.

• 拓扑映射 (同胚映射)

  • 如果映射 $f$$f$ 映上且一对一, 则其具有映上且一对一的逆 $f^{-1}$$f\inv$. 如果 $f$$f$ 和 $f^{-1}$$f\inv$ 都连续, 则称 $f$$f$ 是一个拓扑映射或同胚映射.

  • 拓扑性质: 为这个集所有拓扑映像所共有的性质.

    • 拓扑性质: 紧致性, 连通性.

    • 非拓扑性质: 是开子集.

      当 $S=S^{\prime }={\mathbb{R}}^n$$S = S' = \R^n$ 时是拓扑性质.

3.1.6 拓扑空间

• 拓扑空间: 一个集 $T$$T$ 连同它的一族称为开集的子集是一个拓扑空间, 如果它们满足下列条件:

  1. 空集 $\varnothing$$\varnothing$ 与整个空间 $T$$T$ 都是开集.

  2. 任何两个开集之交是一个开集.

  3. 任意多个开集之并是一个开集.

• 相关定义:

  • 闭集是开集的余集.

  • 邻域: 如果存在一个开集 $U\subset N$$U \subset N$, 使得 $x\in U$$x \in U$, 则 $U$$U$ 称为 $x$$x$ 的一个邻域.

  • 连通性由开集定义, 故相关定理仍保持正确, 如海涅 - 博雷尔性质.

• 豪斯多夫空间: 任意两个相异的点包含在无交开集之中的拓扑空间.

  • 在豪斯多夫空间中, 收敛序列的极限唯一.

3.2 共形性

3.2.1 弧与闭曲线

• 平面中弧的表示

  • $x=x(t),y=y(t),\alpha \le t\le \beta$$x = x(t),\, y = y(t),\, \alpha \le t \le \beta$, 其中 $x(t)$$x(t)$ 和 $y(t)$$y(t)$ 都是连续函数.

  • $z=\gamma (t)=x(t)+\mathrm{i}y(t)$$z = \gamma(t) = x(t) + \i y(t)$.

• 参数变换 $z=z(t)=z(\phi (\tau ))$$z = z(t) = z(\varphi(\tau))$.

  • 变换可逆, 当且仅当 $t=\phi (\tau )$$t = \varphi(\tau)$ 严格递增.

  • 弧的起点和终点经参数变换后保持不变.

• 导数 $z^{\prime }(t)$$z'(t)$

  • 可微: 导数存在且连续的弧称是可微的.

  • 正则: $z^{\prime }(t)\ne 0$$z'(t) \ne 0$ 的可微的弧称是正则的.

  • 分段可微与分段正则: 对除去有穷个 $t$$t$ 的值成立.

  • 导数极限定理: 若导数的单侧极限存在, 则其等于函数的单侧导数.

  • 若 ${\phi }^{\prime }(\tau )$$\varphi'(\tau)$ 连续且非零, 则弧的可微性与正则性在参数变换 $t=\phi (\tau )$$t = \varphi(\tau)$ 下保持不变.

• 特殊的弧

  • 简单弧 (若尔当弧): $z(t_1)=z(t_2)\Rightarrow t_1=t_2$$z(t_1) = z(t_2) \RA t_1 = t_2$.

  • 闭曲线: 弧的两端点重合.

    • 闭曲线的移换: $\begin{array}{c}z=\{\begin{array}{ll}z(t),& t_0\le t\le \beta ,\\ z(t-\beta +\alpha ),& \beta \le t\le t_0+\beta -\alpha .\end{array}\end{array}$$z = \begin{cases} z(t), & t_0 \le t \le \beta, \\ z(t - \beta + \alpha), & \beta \le t \le t_0 + \beta - \alpha. \end{cases}$

  • 反向弧

    • $z=z(-t)(-\beta \le t\le -\alpha )$$z = z(-t)\ (-\beta \le t \le -\alpha)$.

    • $\gamma$$\gamma$ 的反向弧记为 $-\gamma$$-\gamma$ 或 ${\gamma }^{-1}$$\gamma\inv$.

  • 点曲线: 常值函数 $z(t)$$z(t)$.

  • 有限圆: $z=a+r{\text{e}}^{\mathrm{i}t}(0\le t\le 2\pi )$$z = a + r\e^{\i t}\ (0 \le t \le 2\pi)$.

3.2.2 域内的解析函数

• 定义

  • 点集拓扑: 定义在开集 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 上的一个复值函数 $f(z)$$f(z)$, 如果它在 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 上的每一点都可导, 则称这一函数为 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 内的解析函数, 亚纯函数.

  • 扩充平面: 在区域 $D$$D$ 上有定义, 且除去极点之外出处解析的函数称为 亚纯函数.

  • 扩充平面: 在复数开子集上导数极限处处存在的函数称为 全纯函数.

  • 全纯函数与亚纯函数也称为 (复) 解析函数.

• 可在合适的域中定义多值函数的单值分支, 进而证明连续与解析.

• 退化: 在域 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 内解析的函数如果化为一个常数, 则称为退化.

  • 如果域内解析函数满足以下任一条件, 则函数必是一常数: 🌙

    • 导数恒等于零.

    • 实部或虚部为零.

    • 模或幅角为零.

  • 如果 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 不是域, 则上述结论只在每一分集上成立.

3.2.3 共形映射

• 求导

  • 夹角

    • $w=w(t)=f(z(t))$$w = w(t) = f(z(t))$,

      $w^{\prime }(t)=f^{\prime }(z(t))z^{\prime }(t)$$w'(t) = f'(z(t)) z'(t)$,

      $z^{\prime }(t_0)\ne 0,f^{\prime }(z_0)\ne 0$$z'(t_0) \ne 0,\, f'(z_0) \ne 0$,

      $\arg w^{\prime }(t_0)=\arg f^{\prime }(z_0)+\arg z^{\prime }(t_0)$$\arg w'(t_0) = \arg f'(z_0) + \arg z'(t_0)$.

    • 因此, 在 $z_0$$z_0$ 处交成一个角的两条曲线将映成两条曲线, 保持其交角的大小与方向不变. (共形)

  • 比例

    • $\underset{z\to z_0}{lim}{\displaystyle \frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}}=|f^{\prime }(z_0)|$$\liml_{z \to z_0} \dfrac{\vqty{f(z) - f(z_0)}}{\vqty{z-z_0}} = \vqty{f'(z_0)}$.

    • 在一点的比例与方向无关.

• 求偏导

  $$\begin{array}{rl}{w}^{\prime }(t_0)& =\frac{\partial f}{\partial x}{x}^{\prime }(t_0)+\frac{\partial f}{\partial y}{y}^{\prime }(t_0)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})z^{\prime }(t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})\overline{z^{\prime }(t_0)}\\ {\displaystyle \frac{w^{\prime }(t_0)}{z^{\prime }(t_0)}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}){\displaystyle \frac{\overline{z^{\prime }(t_0)}}{z^{\prime }(t_0)}}\end{array}$$

  • 保持角度不改变: ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}}$$\d \pdv{f}{x} = -\i \pdv{f}{y}$.

  • 比例与方向无关: ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\pm \mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}}$$\d\pdv{f}{x} = \pm \i \pdv{f}{y}$.

    • 右式取正号时, $\overline{f(z)}$$\overline{f(z)}$ 是解析的, 此时 $f(z)$$f(z)$ 称为 间接共形.

    • 间接共形保持大小不变, 角度符号相反.

• 拓扑

  • 如果解析函数 $w=f(z)$$w = f(z)$ 拓扑, 则 $f^{\prime }(z)\ne 0$$f'(z) \ne 0$, 且 $z=f^{-1}(w)$$z = f\inv(w)$ 也是解析的.

  • 如果映射限制在 $z_0$$z_0$ 的一个充分小的邻域内, 则由 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$$f'(z_0) \ne 0$ 和雅可比行列式, 可推得映射拓扑.

  • 如果映射限制在整个区域 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 中, 则由 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$$f'(z_0) \ne 0$ 不一定可得到映射拓扑.

3.2.4 长度和面积

• 长度

  • 曲线 $L(\gamma )={\displaystyle {\int }_{\gamma }\left|\mathrm{d}z\right|={\displaystyle {\int }_a^b|z^{\prime }(t)|\mathrm{d}t={\displaystyle {\int }_a^b\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t}}}$$L(\gamma) = \dint_\gamma \vqty{\dz} = \dint_a^b \vqty{z'(t)} \dt = \dint_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \dt$.

  • 象曲线 $L({\gamma }^{\prime })={\displaystyle {\int }_{\gamma }|f^{\prime }(z)|\cdot \left|\mathrm{d}z\right|={\displaystyle {\int }_a^b|f^{\prime }(z(t))|\cdot |z^{\prime }(t)|\mathrm{d}t}}$$L(\gamma') = \dint_\gamma \vqty{f'(z)} \cdot \vqty{\dz} = \dint_a^b \vqty{f'(z(t))} \cdot \vqty{z'(t)} \dt$.

• 面积

  • 面积 $A(E)={\displaystyle \underset{E}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$$A(E) = \iintl_E \dxdy$.

  • 象面积 $A(E^{\prime })={\displaystyle \underset{E}{\iint }|u_x{v}_y-u_y{v}_x|\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\displaystyle \underset{E}{\iint }{|f^{\prime }(z)|}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}}$$A(E') = \iintl_E \vqty{u_x v_y - u_y v_x} \dxdy = \iintl_E \vqty{f'(z)}^2 \dxdy$.