几何学-黎曼几何与罗氏几何

第 6 章 非欧几何学

6.1 基本概念与性质

6.1.1 三种第五公理

• 平行公理: 过直线 $L$$L$ 外任一点 $p$$p$ 只有恰好一条直线 $L^{\prime }$$L'$ 与 $L$$L$ 不相交.

• 球面公理: 没有任何一条过 $p$$p$ 的直线不与 $L$$L$ 相交.

• 双曲公理: 至少有两条过 $p$$p$ 的直线不与 $L$$L$ 相交.

6.1.2 内角和与面积

• $\mathcal{E}(T)=\text{k}\mathcal{A}(T)$$\cal E(T) = \text k \cal A(T)$.

  • 概念

    • 记角盈 $\mathcal{E}(T)$$\cal E(T)$ 为三角形 $T$$T$ 的内角和减去 $\pi$$\pi$.

    • 手写体 $\mathcal{A}(T)$$\cal A(T)$ 为三角形 $T$$T$ 的面积.

    • 正体 $\text{k}$$\text k$ 决定了几何空间的性质.

  • 分类

    • 当 $\text{k}>0$$\text k > 0$ 时, 为球面几何.

    • 当 $\text{k}=0$$\text k = 0$ 时, 为欧氏几何.

    • 当 $\text{k}<0$$\text k < 0$ 时, 为双曲几何.

  • 性质

    • 若 $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2$$\Delta = \Delta_1 + \Delta_2$, 则 $\mathcal{E}(\mathrm{\Delta })=\mathcal{E}({\mathrm{\Delta }}_1)+\mathcal{E}({\mathrm{\Delta }}_2)$$\cal E(\Delta) = \cal E(\Delta_1) + \cal E(\Delta_2)$.

  • 结论

    • 在非欧几何中, 内角和完全由三角形的面积决定.

    • $\mathcal{E}(T)\ge -\pi$$\cal E(T) \ge -\pi$, 所以双曲几何中 $\mathcal{A}(T)\le \left|\pi /k\right|$$\cal A(T) \le \vqty{\pi / k}$.

    • 非欧几何中没有相似三角形, 有绝对的长度单位.

6.1.3 弯曲面的几何学

• 测地线: 两点之间的最短路径.

• 于是线段, 距离, 圆, 三角形等可依此定义.

  线段上任意两点所连线段属于原线段.

6.1.4 内蕴几何与外在几何

6.1.5 高斯曲率

• 记号约定: 设曲面在点 $p$$p$ 的法向量为 $\mathit{n}$$\bm n$, 作平面 $\mathrm{\Pi }\supset \mathit{n}$$\Pi \supset \bm n$, 其与曲面的交线在 $p$$p$ 点的有向曲率记为 $\kappa$$\kappa$.

• 主曲率: ${\kappa }_{min},{\kappa }_{max}$$\kappa_\min,\, \kappa_\max$.

  • 主曲率产生在两个相互垂直的方向上.

• 高斯曲率: $\text{k}:={\kappa }_{min}\cdot {\kappa }_{max}$$\text k := \kappa_\min \cdot \kappa_\max$.

  • 高斯曲率是内蕴的 (高斯绝妙定理), 因此又称内蕴曲率或全曲率.

  • 若 $\mathrm{\Delta }$$\Delta$ 是位于 $p$$p$ 点的无穷小三角形, 其面积为 $\mathrm{d}\mathcal{A}$$\dd{\cal A}$, 则

    $$\mathcal{E}(\mathrm{\Delta })=\text{k}(p)\mathrm{d}\mathcal{A}.$$

  • 根据 $\text{k}(p)$$\text k(p)$ 的符号, 可以将曲面分为三类:

    

  • 积分计算角盈: $\mathcal{E}(T)={\displaystyle {\iint }_T\text{k}(p)\mathrm{d}\mathcal{A}}$$\cal E(T) = \d\iint_T \text k(p) \dd{\cal A}$.

6.1.6 常曲率曲面

• 例子

  • 常正曲率: 球面等.

  • 常负曲率: 伪球等.

• 性质: $\mathcal{E}(T)=\text{k}\mathcal{A}(T)$$\cal E(T) = \text k \cal{A}(T)$.

  因此欧氏几何、球面几何与双曲几何都可以解释为具有常曲率的曲面的内蕴几何学。

• 单位长度

  • 欧氏几何: 无绝对的单位长度.

  • 球面几何: $\text{k}\equiv {\displaystyle \frac{1}{R^2}}$$\text k \equiv \dfrac{1}{R^2}$, 其中单位长度 $R$$R$ 即球面半径.

  • 双曲几何: $\text{k}\equiv -{\displaystyle \frac{1}{R^2}}$$\text k \equiv -\dfrac{1}{R^2}$, 其中单位长度 $R$$R$ 即伪球底圆周的半径.

6.1.7 与莫比乌斯变换

• 球面几何中的运动

  • 将黎曼球面映为 $\mathbb{C}$$\C$ 平面.

  • 保向运动即绕球心的旋转.

  • 形如 $M(z)={\displaystyle \frac{az+b}{-\bar{b}z+\bar{a}}}$$M(z) = \dfrac{az + b}{-\overline b z + \overline a}$.

• 双曲几何中的运动

  • 伪球

    • $\{\begin{array}{l}x=\cos \varphi \sin \theta ,\\ y=\sin \varphi \sin \theta ,\\ z=\cos \varphi +\ln \tan {\displaystyle \frac{\varphi }{2}}.\end{array}$$\begin{cases} x = \cos\phi \sin\theta, \\ y = \sin\phi \sin\theta, \\ z = \cos\phi + \ln\tan\dfrac{\phi}{2}. \end{cases}$

    • 单位伪球体积是单位球的一半.

  • 将伪球面映为 $\mathbb{C}$$\C$ 内的单位圆盘.

  • 形如 $M(z)={\displaystyle \frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}}$$M(z) = \dfrac{az + b}{\overline b z + \overline a}$.

6.2 球面几何

6.2.1 球面运动

• 分类

  • 反射 ${\mathfrak{R}}_L$$\frak R_L$: 反向.

  • 旋转 ${\mathcal{R}}_p^{\theta }$$\cal R_p^\theta$: 保向.

• 复合

  • 反射: ${\mathfrak{R}}_{L_2}\circ {\mathfrak{R}}_{L_1}={\mathcal{R}}_p^{\theta }$$\frak R_{L_2} \circ \frak R_{L_1} = \cal R_p^\theta$, 其中 $L_1$$L_1$ 和 $L_2$$L_2$ 的夹角为 $\theta /2$$\theta / 2$, 点 $p$$p$ 为该二直线的交点.

  • 旋转: ${\mathcal{R}}_q^{\varphi }\circ {\mathcal{R}}_p^{\theta }=({\mathfrak{R}}_N\circ {\mathfrak{R}}_M)\circ ({\mathfrak{R}}_M\circ {\mathfrak{R}}_L)={\mathfrak{R}}_N\circ {\mathfrak{R}}_L={\mathcal{R}}_r^{\psi }$$\cal R_q^\phi \circ \cal R_p^\theta = (\frak R_N \circ \frak R_M) \circ (\frak R_M \circ \frak R_L) = \frak R_N \circ \frak R_L = \cal R_r^{\psi}$, 其中 $\psi =\theta +\varphi -2\text{k}\mathcal{A}$$\psi = \theta + \phi - 2\text k \cal A$.

    

• 结论

  • 恰有一条直线 $P$$P$ 被 ${\mathcal{R}}_p^{\theta }$$\cal R_p^\theta$ 映为自身, 直线 $P$$P$ 与点 $p$$p$ 分别称为极线与极点.

  • 恰有一个保向运动 $M$$M$ 和一个反向运动 $\tilde{M}$$\wt M$ 把一个直线段 $ab$$ab$ 映为另一个同样长度的直线段 $a^{\prime }{b}^{\prime }$$a'b'$, 进一步还有 $\tilde{M}={\mathfrak{R}}_L\circ \mathcal{M}$$\wt M = \frak R_L \circ \cal M$, 其中 $L$$L$ 是过 $a^{\prime }$$a'$ 和 $b^{\prime }$$b'$ 的直线.

  • 球面上每个保向运动都是一个旋转, 每个反向运动都是一个旋转和一个反射的复合.

6.2.2 共形映射

• 从 $\mathbb{C}$$\C$ 映到 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$: $z\mapsto \hat{z}$$z \mapsto \hat z$, 此时象距为 $\mathrm{d}\hat{s}=\mathrm{\Lambda }(z)\mathrm{d}s$$\dd{\hat s} = \Lambda(z) \ds$, 其中 $\mathrm{d}\hat{s}=\left|\mathrm{d}\hat{z}\right|,\mathrm{d}s=\left|\mathrm{d}z\right|$$\dd{\hat s} = \vqty{\dd{\hat z}},\, \ds = \vqty{\dz}$.

  • 黎曼球面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上的大圆都被映为 $\mathbb{C}$$\C$ 上与单位圆周交于一对对径点的圆周.

• $\mathrm{d}\hat{s}={\displaystyle \frac{2}{{\left[Nz\right]}^2}}\mathrm{d}s={\displaystyle \frac{2}{1+{\left|z\right|}^2}}\mathrm{d}s$$\dd{\hat s} = \dfrac{2}{\bqty{Nz}^2} \ds = \dfrac{2}{1 + \vqty{z}^2} \ds$.

  • 法一: 由距离公式 $\left[\stackrel{\sim }{a}\stackrel{\sim }{b}\right]={\displaystyle \frac{R^2\left[ab\right]}{\left[qa\right]\left[qb\right]}}$$\bqty{\wavy a \wavy b} = \dfrac{R^2 \bqty{ab}}{\bqty{qa}\bqty{qb}}$ 即得.

  • 法二: 由相似知 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\hat{s}}{\mathrm{d}s}={\displaystyle \frac{N\hat{z}}{Nz}}={\displaystyle \frac{N\hat{z}}{\sqrt{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{Nz}}={\displaystyle \frac{2}{N{z}^2}}}$$\displaystyle\dv{\hat s}{s} = \dfrac{N \hat z}{N z} = \dfrac{N \hat z}{\sqrt 2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{N z} = \dfrac{2}{Nz^2}$.

  

6.2.3 空间旋转与莫比乌斯变换

1 解析函数

若解析函数 $z\mapsto \tilde{z}=f(z)$$z \mapsto \wt z = f(z)$ 是一个运动 (即黎曼球面上的旋转), 则

对于 $\mathrm{k}=1$$\k = 1$ 的曲面上, 保向运动的集合为

2 反射变换

黎曼球面上关于直线 $\hat{L}$$\hat L$ 的反射 ${\mathfrak{R}}_{\hat{L}}(\hat{z})$$\frak R_{\hat L}(\hat z)$ 诱导出 $\mathbb{C}$$\C$ 上关于此直线的球极射影象的反演 ${\mathcal{I}}_L(z)$$\cal I_L(z)$.

3 旋转变换

• 推导步骤

  1. 考虑 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上的旋转 ${\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }$$\cal R_{\hat a}^\psi$, 令 $\hat{b}$$\hat b$ 为 $\hat{a}$$\hat a$ 的对径点, 于是 $b=-1/\bar{a}$$b = -1 / \overline a$, 并且 $a$$a$ 与 $b$$b$ 是此旋转在 $\mathbb{C}$$\C$ 上诱导出变换的不动点.

  2. 令 ${\hat{L}}_1$$\hat L_1$ 和 ${\hat{L}}_2$$\hat L_2$ 是两条任意的过 $\hat{a}$$\hat a$ (因此也过 $\hat{b}$$\hat b$) 且交角为 $\psi /2$$\psi / 2$ 的直线, 则 ${\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }={\mathfrak{R}}_{{\hat{L}}_2}\circ {\mathfrak{R}}_{{\hat{L}}_1}$$\cal R_\hat a^\psi = \frak R_{\hat L_2} \circ \frak R_{\hat L_1}$.

  3. 于是 $L_1$$L_1$ 和 $L_2$$L_2$ 是过 $a$$a$ 与 $b$$b$ 且成角 $\psi /2$$\psi / 2$ 的圆, 因此 ${\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }$$\cal R_\hat a^\psi$ 诱导变换 $R_a^{\psi }={\mathcal{I}}_{L_2}\circ {\mathcal{I}}_{L_1}$$R_a^\psi = \cal I_{L_2} \circ \cal I_{L_1}$.

• 总结

  • $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上的旋转 ${\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }$$\cal R_\hat a^\psi$ 经球极射影诱导出 $\mathbb{C}$$\C$ 上的椭圆莫比乌斯变换 $R_a^{\psi }$$R_a^\psi$, 其不动点是 ${\xi }_{+}=a$$\xi_+ = a$ 和 ${\xi }_{-}=-1/\bar{a}$$\xi_- = -1 / \overline a$, 相应于 $a$$a$ 的乘子为 $\mathfrak{m}={\text{e}}^{-\mathrm{i}\psi }$$\frak m = \e^{-\i\psi}$.

  • 为了建立空间旋转与莫比乌斯变换的联系并应用, 我们的思路是:

    $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Sigma }\to \mathbb{C}& & \mathbb{C}\to \mathbb{C}\\ \hat{z}\text{平}\text{面}{\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }\hat{w}\text{平}\text{面}z\text{平}\text{面}{R}_a^{\psi }w\text{平}\text{面}& & z\text{平}\text{面}MFw\text{平}\text{面}\tilde{z}\text{平}\text{面}\tilde{M}\tilde{w}\text{平}\text{面}{F}^{-1}\end{array}$$

  • ⭐️ 于是可以得到 $R_a^{\psi }$$R_a^\psi$ 矩阵的显示表达式为

    $$\begin{array}{rl}\left[R_a^{\psi }\right]& ={\left[\begin{array}{cc}1& -{\xi }_{+}\\ 1& -{\xi }_{-}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}\sqrt{\mathfrak{m}}& 0\\ 0& 1/\sqrt{\mathfrak{m}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -{\xi }_{+}\\ 1& -{\xi }_{-}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\left|a^2\right|{\text{e}}^{\mathrm{i}\frac{\psi }{2}}+{\text{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\psi }{2}}& 2\mathrm{i}a\sin {\displaystyle \frac{\psi }{2}}\\ 2\mathrm{i}\bar{a}\sin \frac{\psi }{2}& \left|a^2\right|{\text{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\psi }{2}}+{\text{e}}^{\mathrm{i}\frac{\psi }{2}}\end{array}\right]\end{array}$$

4 运动的一般形式

• 因此保向运动形如 $R_a^{\psi }(z)={\displaystyle \frac{Az+B}{-\bar{B}z+\bar{A}}}$$R_a^\psi (z) = \dfrac{Az + B}{- \overline B z + \overline A}$.

• 注意到 $z\mapsto \bar{z}$$z \mapsto \overline z$ 是一个反射, 最一般的反向运动为 $z\mapsto {\displaystyle \frac{A\bar{z}+B}{-\bar{B}\bar{z}+\bar{A}}}$$z \mapsto \dfrac{ A \overline z + B }{ -\overline B \overline z + \overline A }$.

5 绕单位向量旋转

将上述旋转改写为绕单位向量旋转的形式.

记单位向量为 $\mathit{v}=l\mathit{i}+m\mathit{j}+n\mathit{k}$$\bm v = l \bm i + m \bm j + n \bm k$, 端点为 $\hat{a}$$\hat a$, 球极射影象为 $a$$a$, 则

⭐️ 代入 $[R_a^{\psi }]$$[R_a^\psi]$ 的表达式即得:

该矩阵也是规范化的.

6 应用与特例

• 欲求解旋转的复合, 只需将旋转表示为复平面上的莫比乌斯变换, 求其复合后再转为旋转的形式.

• 上述矩阵本质上代表莫比乌斯变换, 而与熟知的实平面上旋转的矩阵形式不同. 如下, 左式为莫比乌斯变换的形式在 $\mathit{v}=\mathit{k}$$\bm v = \bm k$ 的特例, 右式为线性变换的矩阵:

  $$\begin{array}{c}{R}_{\mathit{k}}^{\psi }=\left[\begin{array}{cc}{\text{e}}^{\mathrm{i}\psi /2}& 0\\ 0& {\text{e}}^{-\mathrm{i}\psi /2}\end{array}\right],{\mathit{R}}_{\phi }=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]\end{array}$$

• 特殊的, 二元旋转的莫比乌斯变换为

6.2.4 空间旋转与四元数

1 四元数的概念

• 定义 $\mathbb{V}$$\mathbb V$

  • ${\mathit{I}}^2={\mathit{J}}^2={\mathit{K}}^2=\mathit{I}\mathit{J}\mathit{K}=-1$$\bm I^2 = \bm J^2 = \bm K^2 = \bm I\bm J\bm K = -1$.

  • $\mathbb{V}=v\mathbf{1}+v_1\mathit{I}+v_2\mathit{J}+v_3\mathit{K}$$\mathbb{V} = v \bm 1 + v_1 \bm I + v_2 \bm J + v_3 \bm K$.

  • 群定义: $Q_4=⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^2⟩$$Q_4 = \aqty{a, b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2}$.

• 备注

  • 这里使用空心字母表示四元数元素, 而非集合, 以区分于标量和向量.

  • 这里四元数单位使用粗斜体, 表明它是 (四维实) 向量或 (二阶复) 矩阵.

  • 有的资料上使用正体表示四元数单位, 表明它是标量常数; 这里不建议如此表示.

• 概念

  • 数量部分: $v=v\mathbf{1}$$v = v \bm 1$.

  • 向量部分: $\mathit{V}=v_1\mathit{I}+v_2\mathit{J}+v_3\mathit{K}$$\bm V = v_1 \bm I + v_2 \bm J + v_3 \bm K$.

  • 纯四元数: $\mathbb{V}=\mathit{V}$$\mathbb V = \bm V$.

2 四元数的起源

首先澄清一点, 以下内容不一定是四元数真正的起源, 只是我根据已学知识推断出的一条比较合理的路.

从历史上来说, 我们知道复数的加法与乘法即复平面中的平移与旋转, 于是希望将其推广到三维空间, 并且存在某种运算可以对应空间旋转.

在 ${\mathrm{i}}^2=-1$$\i^2 = -1$ 的基础上, 补充定义 ${\mathrm{j}}^2=-1,\mathrm{i}\ne \mathrm{j}$$\j^2 = -1, \i \ne \j$ 是很自然的想法, 于是三元数是 $\mathbb{R}$$\R$ 上的线性空间. 但是 $\mathrm{i}\mathrm{j}$$\i\j$ 应该等于多少呢? 由乘法的封闭性, 不妨令

首先我们看到, $z\ne 0$$z \ne 0$, 否则两端左乘 $\mathrm{i}$$\i$ 得 $\mathrm{j}=-y+x\mathrm{i}\in \mathbb{C}$$\j = -y + x \i \in \C$, 本质上还是复数.

于是由上式可得

比较系数可得 $z^2=-1,z\notin \mathbb{R}$$z^2 = -1, z \not\in \R$, 矛盾, 从而 $\mathrm{i}\mathrm{j}$$\i \j$ 不能由上述三元数表示.

这个反证法的思路与 $\sqrt{2}$$\sqrt 2$ 不是有理数的证明类似. 不过 $\sqrt{2}$$\sqrt2$ 虽然不属于有理数, 但属于实数, 有没有可能寻找到更大的代数系统, 使得乘法的封闭性得以满足呢?

自然的想法是令 $\mathrm{k}=\mathrm{i}\mathrm{j}\notin \mathbb{C}$$\k = \i\j \not\in \C$, 同样自然的, 我们令 $\mathrm{i}\mathrm{j}=\mathrm{j}\mathrm{i}$$\i\j = \j\i$, 即满足交换律, 于是 ${\mathrm{k}}^2=1$$\k^2 = 1$. 现在我们知道, 这样的代数系统称为双复数, 不过更常见的定义是令 ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{j}}^2=1,\mathrm{i}\mathrm{j}=\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$$\i^2 = -1, \j^2 = 1, \i\j = \j\i = \k$, 其子环 $\mathbb{R}[\mathrm{i}]$$\R[\i]$ 称为圆复数 (即复数 $\mathbb{C}$$\C$), 而 $\mathbb{R}[\mathrm{j}]$$\R[\j]$ 称为双曲复数. 顾名思义, 双曲复数与双曲线有着密不可分的联系, 不过不是这里讨论的重点.

旋转运动是可逆的, 因此我们希望四元数除零元外都可逆. 双复数不能作为我们理想的 "四元数", 因为双复数有零因子, 从而双复数的乘法未必可逆. 例如 $(1+\mathrm{j})(1-\mathrm{j})=0$$(1 + \j)(1 - \j) = 0$, 假设零因子 $1+j$$1 + j$ 有逆元且为 $a^{-1}$$a\inv$, 等式两端左乘 $a^{-1}$$a\inv$, 得 $\mathrm{j}=1$$\j = 1$, 从而矛盾.

似乎又陷入了窘境, 而且这样构造出来的双复数在运算上不具有轮换对称性, 并不美观. 不过回过头来, 我们希望的是通过三元或四元的 "超复数" 来研究三维的空间旋转, 空间旋转又具有怎样的性质呢? 我们惊讶地发现, 空间旋转并不满足交换律! 随便拿起一支笔或一颗魔方, 便可以验证这一点.

如果让四元数也不满足交换律呢? 实数是满足交换律的, 因此我们令 $\mathrm{i}\mathrm{j}\ne \mathrm{j}\mathrm{i}$$\i\j \ne \j\i$, 但具体是怎样的关系呢? 互为相反数是最简单的, 即 $\mathrm{i}\mathrm{j}=-\mathrm{j}\mathrm{i}$$\i\j = -\j\i$, 于是我们可以推得 ${\mathrm{k}}^2=-1,\mathrm{j}\mathrm{k}=-\mathrm{k}\mathrm{j},\mathrm{k}\mathrm{i}=-\mathrm{i}\mathrm{k}$$\k^2 = -1, \j\k = -\k\j, \k\i = -\i\k$, 这些运算恰好也是轮换对称的.

进一步我们还可以得到这种定义的四元数的诸多良好性质, 其中就包括非零元必有逆, 并且可以利用四元数方便地求解空间旋转的复合和效果. 这些就是接下来要推导的了. 即使抛开实际应用, 四元数作为纯数学, 内容也是丰富而有趣的.

我们称呼这种超复数为四元数, 但是定义似乎与之前的 ${\mathit{I}}^2={\mathit{J}}^2={\mathit{K}}^2=\mathit{I}\mathit{J}\mathit{K}=-1$$\bm I^2 = \bm J^2 = \bm K^2 = \bm I\bm J\bm K = -1$ 有所不同, 实际上它们是等价的, 读者可自证.

以上我们探索了三种形式的超复数, 作为复数的 "扩展", 它们的定义分别是:

1. ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{j}}^2=-1,\mathrm{i}\mathrm{j}=\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$$\i^2 = -1, \j^2 = -1, \i\j = \j\i = \k$. (双复数的等价超复数)

2. ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{j}}^2=1,\mathrm{i}\mathrm{j}=\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$$\i^2 = -1, \j^2 = 1, \i\j = \j\i = \k$. (双复数)

3. ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{j}}^2=-1,\mathrm{i}\mathrm{j}=-\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$$\i^2 = -1, \j^2 = -1, \i\j = -\j\i = \k$. (四元数)

形式上看, 只剩下一个有待研究:

4. ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{j}}^2=1,\mathrm{i}\mathrm{j}=-\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$$\i^2 = -1, \j^2 = 1, \i\j = -\j\i = \k$. (反四元数)

这种超复数称为分裂四元数或反四元数, 与双复数一样, 它也有非零元无逆, 如 ${\displaystyle \frac{1+\mathrm{j}}{2}}$$\dfrac{1 + \j}{2}$ 即为幂等的零因子, 因此反四元数的性质也没有四元数好.

最后, 我们之后使用的四元数单位的字体与前文不同, 不再是正体. 四元数单位之所以要使用大写的粗斜体, 是为了与复数单位区分. 由复数推广至四元数是自然的, 但是之后在研究四元数时, 常将其同构映射为复矩阵, 此时若不用粗斜体, 则容易混淆; 而小写的粗斜体常用于表示空间向量, 因此表示为 $\mathit{I},\mathit{J},\mathit{K}$$\bm I, \bm J, \bm K$ 是最为清晰的.

3 基本代数性质

• 性质

  • $\mathit{I}\mathit{J}=\mathit{K},\mathit{J}\mathit{K}=\mathit{I},\mathit{K}\mathit{I}=\mathit{J}$$\bm I \bm J = \bm K,\, \bm J \bm K = \bm I,\, \bm K \bm I = \bm J$.

  • $\mathit{I}\mathit{J}=-\mathit{J}\mathit{I},\mathit{J}\mathit{K}=-\mathit{K}\mathit{J},\mathit{K}\mathit{I}=-\mathit{I}\mathit{K}$$\bm I \bm J = -\bm J \bm I,\, \bm J \bm K = -\bm K \bm J,\, \bm K \bm I = -\bm I \bm K$.

  • $\mathit{I}\mathit{J}\mathit{K}=\mathit{J}\mathit{K}\mathit{I}=\mathit{K}\mathit{I}\mathit{J}=-1$$\bm I \bm J \bm K = \bm J \bm K \bm I = \bm K \bm I \bm J = -1$.

• 乘法

  • $\mathit{V}\mathit{W}=-\mathit{V}\cdot \mathit{W}+\mathit{V}\times \mathit{W}$$\bm V \bm W = -\bm V \cdot \bm W + \bm V \cp \bm W$.

  • $\mathbb{V}\mathbb{W}=(vw-\mathit{V}\cdot \mathit{W})+(v\mathit{W}+w\mathit{V}+\mathit{V}\times \mathit{W})$$\bb V \bb W = (vw - \bm V \cdot \bm W) + (v\bm W + w \bm V + \bm V \cp \bm W)$.

• 备注

  • 将四元数集合视为 $\mathbb{R}$$\R$ 上的线性空间, 加法与乘法都是通常意义下的.

  • 将纯四元数视为三维空间向量, 点积与叉积都是通常意义下的.

  • 四元数无乘法交换律, 不能成域, 而只能构成环, 称为哈密顿四元数除环 $\mathbb{H}$$\bb H$.

4 两种矩阵同构

注: ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{F})$$\GL_n(\F)$ 表示域 $\mathbb{F}$$\F$ 上由 $n$$n$ 阶矩阵构成的一般线性群.

• 二阶复矩阵

  $$\begin{array}{crl}{\varphi }_1:& Q_4& \to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{C})\\ & \mathbb{V}& =a\mathbf{1}+b\mathit{I}+c\mathit{J}+d\mathit{K}\\ & & \mapsto \left(\begin{array}{cc}a-d\mathrm{i}& -b+c\mathrm{i}\\ b+c\mathrm{i}& a+d\mathrm{i}\end{array}\right)\end{array}$$

  • $\begin{array}{c}\mathbf{1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$\bm 1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, 对应于 $\mathit{1}(z)=z$${\it 1}(z) = z$, 即恒等变换.

  • $\begin{array}{c}\mathit{I}=\left[\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right]\end{array}$$\bm I = \begin{bmatrix} 0 & \i \\ \i & 0 \end{bmatrix}$, 对应于 $I(z)={\displaystyle \frac{1}{z}}$$I(z) = \dfrac{1}{z}$, 即黎曼球面绕 $x_1$$x_1$ 轴旋转 ${180}^{\circ }$$180^\circ$.

  • $\begin{array}{c}\mathit{J}=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$\bm J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, 对应于 $J(z)=-{\displaystyle \frac{1}{z}}$$J(z) = - \dfrac{1}{z}$, 即黎曼球面绕 $x_2$$x_2$ 轴旋转 ${180}^{\circ }$$180^\circ$.

  • $\begin{array}{c}\mathit{K}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 0\\ 0& -\mathrm{i}\end{array}\right]\end{array}$$\bm K = \begin{bmatrix} \i & 0 \\ 0 & -\i \end{bmatrix}$, 对应于 $K(z)=-z$$K(z) = -z$, 即黎曼球面绕 $x_3$$x_3$ 轴旋转 ${180}^{\circ }$$180^\circ$.

• 四阶实矩阵

  $$\begin{array}{crl}\varphi :& Q_4& \to {\mathrm{GL}}_4(\mathbb{R})\\ & \mathbb{V}& =a\mathbf{1}+b\mathit{I}+c\mathit{J}+d\mathit{K}\\ & & \mapsto \left(\begin{array}{cccc}a& -b& d& -c\\ b& a& -c& -d\\ -d& c& a& -b\\ c& d& b& a\end{array}\right)\end{array}$$

  其中四元数单位被映射为

  $$\begin{array}{cc}\mathbf{1}\mapsto \left(\begin{array}{c}1\\ & 1\\ & & 1\\ & & & 1\end{array}\right),& \mathit{I}\mapsto \left(\begin{array}{cc}& -1\\ 1\\ & & & -1\\ & & 1\end{array}\right),\\ \mathit{J}\mapsto \left(\begin{array}{cccc}& & & -1\\ & & -1\\ & 1\\ 1\end{array}\right),& \mathit{K}\mapsto \left(\begin{array}{ccc}& & 1\\ & & & -1\\ -1\\ & 1\end{array}\right).\end{array}$$

• 以下将 $Q_4$$Q_4$ 与 ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{C})$$\GL_2(\C)$ 中的元素看成是相等的, 而不采用 ${\mathrm{GL}}_4(\mathbb{R})$$\GL_4(\R)$ 的同构.

• 想要通过计算机求解四元数运算, 可以利用矩阵形式.

5 共轭的性质

共轭 $\bar{\mathbb{V}}$$\overline{\bb V}$ 是对于四元数而言的, 而非矩阵共轭.

• $\bar{\mathbb{V}}:={\mathbb{V}}^{\ast }$$\overline{\bb V} := \bb V^*$ (相应矩阵的共轭转置).

• $\bar{\mathbb{V}}=v-\mathit{V}$$\overline{\bb V} = v - \bm V$.

• $\overline{\mathit{V}\mathit{W}}=\mathit{W}\mathit{V}$$\overline{\bm V \bm W} = \bm W \bm V % \overline{\bm W}\ \overline{\bm V}$. (注意顺序)

• $\overline{\mathbb{V}\mathbb{W}}=\bar{\mathbb{W}}\bar{\mathbb{V}}$$\overline{\bb V \bb W} = \overline{\bb W}\ \overline{\bb V}$. (注意顺序)

证明

(1) 式为矩阵共轭定义, (2) 式为向量共轭定义, 由矩阵表示可知二者等价.

6 长度的性质

长度 $\left|\mathbb{V}\right|$$\vqty{\bb V}$ 又称为二范数.

• ${\left|\mathbb{V}\right|}^2:=\mathbb{V}\bar{\mathbb{V}}=\bar{\mathbb{V}}\mathbb{V}={\left|\bar{\mathbb{V}}\right|}^2$$\vqty{\bb V}^2 := {\bb V \overline{\bb V}} = \overline{\bb V} \bb V = \vqty{\overline{\bb V}}^2$.

• ${\left|\mathit{V}\right|}^2=-{\mathit{V}}^2=-\mathit{V}\mathit{V}=\mathit{V}\cdot \mathit{V}$$\vqty{\bm V}^2 = - \bm V^2 = - \bm V \bm V = \bm V \cdot \bm V$.

• ${\left|\mathbb{V}\right|}^2=v^2+{\left|\mathit{V}\right|}^2=v^2+v_1^2+v_2^2+v_3^3$$\vqty{\bb V}^2 = v^2 + \vqty{\bm V}^2 = v^2 + v_1^2 + v_2^2 + v_3^3$.

• $\left|\mathbb{V}\mathbb{W}\right|=\left|\mathbb{V}\right|\left|\mathbb{W}\right|$$\vqty{\bb V \bb W} = \vqty{\bb V} \vqty{\bb W}$.

• ${\left|\mathbb{V}\right|}^2=\det \left(\mathbb{V}\right)$$\vqty{\bb V}^2 = \det(\bb V)$.

证明

7 单位四元数

单位四元数 ($\left|\mathbb{V}\right|=1$$\vqty{\bb V} = 1$) 不一定是四元数单位.

• $\left|{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }\right|=1$$\vqty{\bb R_\bm v^\psi} = 1$.

• $\overline{{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }}={\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{-\psi }$$\overline{\bb R_\bm v^\psi} = \bb R_\bm v^{-\psi}$.

• 当且仅当 ${\mathbb{A}}^2=-1$$\bb A^2 = -1$ 时, $\mathbb{A}$$\bb A$ 是纯的单位四元数.

• $\mathrm{\forall }\mathbb{Q},\mathrm{\exists }\mathit{v},\psi :\mathbb{Q}=\left|\mathbb{Q}\right|{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }$$\forall \bb Q, \exist \bm v, \psi: \bb Q = \vqty{\bb Q} \bb R_\bm v^\psi$.

证明

第四点解方程即得 (有两解).

8 旋转公式矩阵证法

• 旋转的矩阵 (可求复合) ⭐️

  绕 $\mathit{v}=l\mathit{i}+m\mathit{j}+n\mathit{k}$$\bm v = l \bm i + m \bm j + n \bm k$ 旋转 $\psi$$\psi$ 的矩阵 $[R_{\mathit{v}}^{\psi }]$$[R_\bm v^\psi]$.

  记 $\mathit{V}=l\mathit{I}+m\mathit{J}+n\mathit{K}$$\bm V = l \bm I + m \bm J + n \bm K$, 则矩阵可表示为

  $${\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }=\cos {\displaystyle \frac{\psi }{2}}+\mathit{V}\sin {\displaystyle \frac{\psi }{2}}\equiv {\text{e}}^{\mathit{V}\frac{\psi }{2}}.$$

• 旋转的效果 (可求象) ⭐️

  一般的, ${\mathcal{R}}_{\hat{\tilde{p}}}^{\theta }={\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{\psi }\circ {\mathcal{R}}_{\hat{p}}^{\theta }\circ {\mathcal{R}}_{\hat{a}}^{-\psi }$$\cal R_{\hat{\wt{p}}}^\theta = \cal R_\hat a^\psi \circ \cal R_\hat p^\theta \circ \cal R_\hat a^{-\psi}$, 即 ${\mathbb{R}}_{\tilde{\mathit{P}}}^{\theta }={\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }\circ {\mathbb{R}}_{\mathit{P}}^{\theta }\circ {\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{-\psi }$$\bb R_\wt{\bm P}^\theta = \bb R_\bm v^\psi \circ \bb R_\bm P^\theta \circ \bb R_\bm v^{-\psi}$.

  设 ${\mathcal{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }$$\cal R_\bm v^\psi$ 将 $\mathit{P}=x\mathit{i}+y\mathit{j}+z\mathit{k}$$\bm P = x \bm i + y \bm j + z \bm k$ 旋转到 $\tilde{\mathit{P}}$$\wt{\bm P}$:

  在上式中令 $\theta =\pi$$\theta = \pi$, 则二元旋转 ${\mathbb{R}}_{\mathit{P}}^{\theta }$$\R_\bm P^\theta$ 和 ${\mathbb{R}}_{\tilde{\mathit{P}}}^{\pi }$$\R_{\wt{\bm P}}^\pi$ 正是纯四元数 $\mathbb{P}$$\bb P$ 和 $\tilde{\mathbb{P}}$$\wt{\bb{P}}$, 故有

  $$\tilde{\mathbb{P}}={\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }\mathbb{P}{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{-\psi }.$$

• 伸缩旋转

  • $\mathrm{\forall }\mathbb{Q},\mathrm{\exists }\mathit{v},\psi :\mathbb{Q}=\left|\mathbb{Q}\right|{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }$$\forall \bb Q, \exist \bm v, \psi: \bb Q = \vqty{\bb Q} \bb R_\bm v^\psi$, 即伸缩旋转.

  • 由旋转的象的公式得, 伸缩旋转的效果为:

    $$\mathbb{P}\mapsto \tilde{\mathbb{P}}=\mathbb{Q}\mathbb{P}\bar{\mathbb{Q}}.$$

9 旋转公式反射证法

若 $\mathbb{P}$$\bb P$ 与 $\mathbb{A}$$\bb A$ 为纯四元数, 则

• 正交的充要条件: $\mathbb{P}\mathbb{A}+\mathbb{A}\mathbb{P}=0$$\bb P \bb A + \bb A \bb P = 0$.

• 若 $\mathbb{A}$$\bb A$ 为单位纯四元数, 即 ${\mathbb{A}}^2=-1$$\bb A^2 = -1$,

  • 则上述方程化为 $\mathbb{P}=\mathbb{A}\mathbb{P}\mathbb{A}$$\bb P = \bb A \bb P \bb A$.

  • 令 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\Pi_\bm A$ 表示以 $\mathit{A}$$\bm A$ 为法向量的过原点的平面, 其方程为 $\mathit{P}\cdot \mathit{A}=0$$\bm P \cdot \bm A = 0$.

    ⭐️ 考虑变换 $\mathbb{P}\mapsto {\mathbb{P}}^{\prime }=\mathbb{A}\mathbb{P}\mathbb{A}$$\bb P \mapsto \bb P' = \bb A \bb P \bb A$,

    • ${\mathbb{P}}^{\prime }$$\bb P'$ 为纯四元数, 并且 $\left|{\mathbb{P}}^{\prime }\right|=\left|\mathbb{P}\right|$$\vqty{\bb P'} = \vqty{\bb P}$, 于是该变换表示空间中的运动.

    • ${\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\Pi_\bm A$ 上的每点均不动, 且正交于 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\Pi_\bm A$ 的向量均被反向, 于是该映射为反射 ${\mathfrak{R}}_{{\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}}$$\frak R_{\Pi_\bm A}$.

  • 若由 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\Pi_\bm A$ 到 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathit{B}}$$\Pi_\bm B$ 的角为 $\psi /2$$\psi / 2$, 两平面交线的单位向量为 $\mathit{V}$$\bm V$, 则旋转 ${\mathcal{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }={\mathfrak{R}}_{{\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}}\circ {\mathfrak{R}}_{{\mathrm{\Pi }}_{\mathit{B}}}$$\cal R_\bm v^\psi = \frak R_{\Pi_\bm A} \circ \frak R_{\Pi_\bm B}$ 可表示为

    $$\mathbb{P}\mapsto \tilde{\mathbb{P}}=(-\mathbb{B}\mathbb{A})\mathbb{P}(-\overline{\mathbb{B}\mathbb{A}}).$$

  • 其中 ${\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }=-\mathbb{B}\mathbb{A}=\cos {\displaystyle \frac{\psi }{2}}+\mathit{V}\sin {\displaystyle \frac{\psi }{2}}$$\bb R_\bm v^\psi = -\bb B \bb A = \cos\dfrac{\psi}{2} + \bm V \sin\dfrac{\psi}{2}$. ($\mathbb{P}$$\bb P$ 和 $-\mathbb{P}$$-\bb P$ 的效果是一样的)

证明

由于是纯四元数, $\begin{array}{r}\mathbb{P}\mathbb{A}+\mathbb{A}\mathbb{P}=-2\mathit{P}\cdot \mathit{A}\end{array}$$\begin{align} \bb P \bb A + \bb A \bb P = -2 \bm P \cdot \bm A \end{align}$, 因此得到第一点.

当 ${\mathbb{A}}^2=-1$$\bb A^2 = -1$, 第一点的两端同乘 $\mathbb{A}$$\bb A$ 即得 $\mathbb{P}=\mathbb{A}\mathbb{P}\mathbb{A}$$\bb P = \bb A \bb P \bb A$.

${\mathbb{P}}^{\prime }$$\bb P'$ 为纯四元数的结论, 可以代入值后展开, 这里采用向量法另证:

不动点可用正交的等价条件证明, 这里继续使用向量法:

当 $\mathit{P}\in {\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\bm P \in \Pi_\bm A$ 时, $\mathit{P}\cdot \mathit{A}=0$$\bm P \cdot \bm A = 0$, 于是 ${\mathbb{P}}^{\prime }=\mathit{P}$$\bb P' = \bm P$.

若 $\mathit{P}\perp {\mathrm{\Pi }}_{\mathit{A}}$$\bm P \perp \Pi_\bm A$, 则 ${\mathbb{P}}^{\prime }=\mathit{P}-2\left|\mathit{P}\right|\mathit{A}=\mathit{P}-2\mathit{P}=-\mathit{P}$$\bb P' = \bm P - 2 \vqty{\bm P} \bm A = \bm P - 2\bm P = -\bm P$.

10 旋转公式向量证法

将 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 和 $\mathbb{C}$$\C$ 中的点用 ${\mathbb{C}}^2$$\C^2$ 中的齐次坐标向量表示, 如 $\mathfrak{p}=[{\mathfrak{p}}_1,{\mathfrak{p}}_2{]}^{\mathrm{T}},z=p={\displaystyle \frac{{\mathfrak{p}}_1}{{\mathfrak{p}}_2}}$$\bm{\frak p} = [\frak p_1, \frak p_2]\trans, z = p = \dfrac{\frak p_1}{\frak p_2}$, 则

取 $⟨\mathfrak{p},\mathfrak{p}⟩\equiv {\left|{\mathfrak{p}}_1\right|}^2+{\left|{\mathfrak{p}}_2\right|}^2=2$$\aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak p}} \equiv \vqty{\frak p_1}^2 + \vqty{\frak p_2}^2 = 2$, 则 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 与 $\mathbb{C}$$\C$ 中点的换算公式为

记 $p$$p$ 的球极射影象 $\hat{p}$$\hat p$ 对应的单位向量为 $\mathit{P}=(X,Y,Z)$$\bm P = (X, Y, Z)$, 则

注意到

于是有

从而得到 $\tilde{\mathbb{P}}={\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }\mathbb{P}{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{-\psi }$$\wt{\bb{P}} = \bb{R}_\bm v^\psi \bb P \bb R_\bm v^{-\psi}$.

11 旋转公式几何证法

12 四元数的逆与伴随

• 定义: $\mathbb{V}{\mathbb{V}}^{-1}={\mathbb{V}}^{-1}\mathbb{V}=1$$\bb V \bb V \inv = \bb V\inv \bb V = 1$.

• 计算: ${\mathbb{V}}^{-1}={\displaystyle \frac{\bar{\mathbb{V}}}{{\left|\mathbb{V}\right|}^2}}={\displaystyle \frac{{\mathbb{V}}^{\ast }}{{\left|\mathbb{V}\right|}^2}}$$\bb V\inv = \dfrac{\overline{\bb V}}{\vqty{\bb V}^2} = \dfrac{\bb V\adj}{\vqty{\bb V}^2}$. (向量形式和矩阵形式)

• 旋转: $({\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }{)}^{-1}=({\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }{)}^{\ast }=\overline{{\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{\psi }}={\mathbb{R}}_{\mathit{v}}^{-\psi }={\mathbb{R}}_{-\mathit{v}}^{\psi }$$(\bb R_\bm v^\psi)\inv = (\bb R_\bm v^\psi)\adj = \overline{\bb R_\bm v^\psi} = \bb R_\bm v^{-\psi} = \bb R_{-\bm v}^\psi$.

• 共轭转置: $\bar{\mathbb{V}}={\mathbb{V}}^{\ast }=\mathrm{adj}(\mathbb{V})$$\overline{\bb V} = \bb V^* = \mathrm{adj}(\bb V)$. (伴随矩阵)

• 模长: $\left|{\mathbb{V}}^{-1}\right|={\left|\mathbb{V}\right|}^{-1}$$\vqty{\bb V\inv} = \vqty{\bb V}\inv$.

• 交换: $\overline{{\mathbb{V}}^{-1}}={\bar{\mathbb{V}}}^{-1}$$\overline{\bb V\inv} = \overline{\bb V}\inv$.

证明

13 四元数的其它运算

• 点积 (内积)

  • $\mathbb{P}\cdot \mathbb{Q}:=pq+\mathit{P}\cdot \mathit{Q}$$\bb P \cdot \bb Q := pq + \bm P \cdot \bm Q$.

  • $\mathit{P}\cdot \mathit{Q}=-{\displaystyle \frac{\mathit{P}\mathit{Q}+\mathit{Q}\mathit{P}}{2}}$$\bm P \cdot \bm Q = -\dfrac{\bm P \bm Q + \bm Q \bm P}{2}$.

  • $\mathbb{P}\cdot \mathbb{Q}={\displaystyle \frac{{\mathbb{P}}^{\ast }\mathbb{Q}+{\mathbb{Q}}^{\ast }\mathbb{P}}{2}}$$\bb P \cdot \bb Q = \dfrac{\bb P\adj \bb Q + \bb Q\adj \bb P}{2}$.

• 叉积 (矢积, 向量积)

  • $\mathbb{P}\times \mathbb{Q}:=\mathit{P}\times \mathit{Q}$$\bb P \cp \bb Q := \bm P \cp \bm Q$.

  • $\mathbb{P}\times \mathbb{Q}={\displaystyle \frac{\mathbb{P}\mathbb{Q}-\mathbb{Q}\mathbb{P}}{2}}$$\bb P \cp \bb Q = \dfrac{\bb P \bb Q - \bb Q \bb P}{2}$.

• 外积

  • $\mathrm{Outer}(\mathbb{P},\mathbb{Q}):={\displaystyle \frac{{\mathbb{P}}^{\ast }\mathbb{Q}-{\mathbb{Q}}^{\ast }\mathbb{P}}{2}}$$\Outer(\bb P, \bb Q) := \dfrac{\bb P\adj \bb Q - \bb Q\adj \bb P}{2}$.

  • $\mathrm{Outer}(\mathbb{P},\mathbb{Q})=p\mathit{Q}-q\mathit{P}-\mathit{P}\times \mathit{Q}$$\Outer(\bb P, \bb Q) = p \bm Q - q \bm P - \bm P \cp \bm Q$.

• 偶积

  • $\mathrm{Even}(\mathbb{P},\mathbb{Q}):={\displaystyle \frac{\mathbb{P}\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\mathbb{P}}{2}}$$\Even(\bb P, \bb Q) := \dfrac{\bb P \bb Q + \bb Q \bb P}{2}$.

  • $\mathrm{Even}(\mathbb{P},\mathbb{Q})=(pq-\mathit{P}\cdot \mathit{Q})+(p\mathit{Q}+q\mathit{P})$$\Even(\bb P, \bb Q) = (pq - \bm P \cdot \bm Q) + (p \bm Q + q \bm P)$.

• 纯量部 (标量部)

  • $\mathrm{Scalar}(\mathbb{P})=p$$\Scalar(\bb P) = p$.

  • $\mathrm{Scalar}(\mathbb{P})=1\cdot \mathbb{P}$$\Scalar(\bb P) = 1 \cdot \bb P$.

  • $\mathrm{Scalar}(\mathbb{P})={\displaystyle \frac{\mathbb{P}+{\mathbb{P}}^{\ast }}{2}}$$\Scalar(\bb P) = \dfrac{\bb P + \bb P\adj}{2}$.

• 向量部

  • $\mathrm{Vector}(\mathbb{P})=\mathit{P}$$\Vector({\bb P}) = \bm P$.

  • $\mathrm{Vector}(\mathbb{P})=\mathrm{Outer}(1,\mathbb{P})$$\Vector(\bb P) = \Outer(1, \bb P)$.

  • $\mathrm{Vector}(\mathbb{P})={\displaystyle \frac{\mathbb{P}-{\mathbb{P}}^{\ast }}{2}}$$\Vector(\bb P) = \dfrac{\bb P - \bb P\adj}{2}$.

• 模

  • $\left|\mathbb{P}\right|:=\sqrt{{\mathbb{P}}^{\ast }\mathbb{P}}=\sqrt{\bar{\mathbb{P}}\mathbb{P}}$$\vqty{\bb P} := \sqrt{\bb P\adj \bb P} = \sqrt{\overline{\bb P} \bb P}$.

  • $\left|\mathbb{P}\right|=\sqrt{\mathbb{P}\cdot \mathbb{P}}=\sqrt{p^2-{\mathit{P}}^2}$$\vqty{\bb P} = \sqrt{\bb P \cdot \bb P} = \sqrt{p^2 - \bm P^2}$.

  • $\left|\mathbb{P}\right|=\sqrt{p^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2}$$\vqty{\bb P} = \sqrt{p^2 + p_1^2 + p_2^2 + p_3^2}$.

• 角度的度量

  • 符号数: $\mathrm{sgn}(\mathbb{P}):={\displaystyle \frac{\mathbb{P}}{\left|\mathbb{P}\right|}}$$\sgn(\bb P) := \dfrac{\bb P}{\vqty{\bb P}}$.

  • 另一表示: $\mathrm{sgn}(\mathbb{P})={\displaystyle \frac{\overline{{\mathbb{P}}^{-1}}}{\left|{\mathbb{P}}^{-1}\right|}}$$\sgn(\bb P) = \dfrac{\overline{\bb P\inv}}{\vqty{\bb P\inv}}$.

  • 幅角: $\arg (\mathbb{P}):=\arccos {\displaystyle \frac{p}{\left|\mathbb{P}\right|}}$$\arg(\bb P) := \arccos\dfrac{p}{\vqty{\bb P}}$.

证明

• 点积

• 叉积

• 外积