复算术-欧氏几何与初等代数

第 1 章 几何和复算术

1.1 复数的性质

1.1.1 复数的运算

见复分析笔记.

1 几何解释

• 复数加法: 平移变换.

• 复数乘法: 伸缩旋转.

  • 不用三角恒等式证明复数乘法的几何法则: 考虑变换 $z\mapsto \mathrm{i}z$$z \mapsto \i z$, 构造直角.

2 指数加减

1.1.2 前置的知识

定义 1 (莫比乌斯函数) 将 $n$$n$ 质因数分解为 $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k},{\alpha }_i\ge 1$$p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \alpha_i \ge 1$, 定义 莫比乌斯函数 为:

备注 当 $n=1$$n = 1$ 时, $k=0$$k = 0$, 则 ${\alpha }_i$$\alpha_i$ 的集合为空集, 由于假命题可以推出任何命题, $(\mathrm{\forall }x\in \varnothing :x=1)$$(\forall x \in \varnothing: x = 1)$ 是真命题, 从而 $\mu (1)=1$$\mu(1) = 1$, 可以不用额外定义.

定义 2 (单位数论函数) 并称 $I(n)=S(n)={\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)}$$I(n) = S(n) = \dsum_{d \mid n} \mu(d)$ 为 单位数论函数.

备注 定义域为正整数、陪域为复数的函数称为 数论函数 (算术函数). 单位数论函数命名的缘由可以参考定理 8.

定理 1 单位数论函数可表示为

证明 $d\mid n\iff {\displaystyle \frac{n}{d}}\mid n$$d \mid n \Leftrightarrow \dfrac{n}{d} \mid n$, 故等式第一行成立, 下证第二行.

1. 当 $n=1$$n = 1$ 时, $S(1)=\mu (1)=1$$S(1) = \mu(1) = 1$.

2. 当 $n>1$$n > 1$ 时, $S(n)={\displaystyle \sum _{i=1}^k{\mathrm{C}}_k^i(-1{)}^i=(1-1{)}^k=0}$$S(n) = \dsum_{i = 1}^k \mathrm{C}_k^i (-1)^i = (1-1)^k = 0$.

推论 $[gcd(i,j)=1]={\displaystyle \sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)}$$[\gcd(i, j) = 1] = \dsum_{d \mid \gcd(i, j)} \mu(d)$, 这个看似无用的结论将在后文求解欧拉函数时用到.

备注 ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)={\displaystyle \sum _{d\mid n}f\left({\displaystyle \frac{n}{d}}\right)}}$$\dsum_{d \mid n} f(d) = \dsum_{d \mid n} f\pqty{\dfrac{n}{d}}$ 这个显然的事实很有用.

定理 2 (莫比乌斯反演定理)

证明

1. 充分性

2. 必要性

备注 上述交换求和的方式称为富比尼原理.

定理 3 (莫比乌斯反演定理的乘积形式)

证明

1. 充分性

2. 必要性

推论 若 $F(n)={\displaystyle \sum _{n\mid m}f(m)}$$F(n) = \dsum_{n \mid m} f(m)$, 则 $f(n)={\displaystyle \sum _{n\mid d}\mu \left({\displaystyle \frac{d}{n}}\right)F(d)}$$f(n) = \dsum_{n \mid d} \mu\pqty{\dfrac{d}{n}} F(d)$.

证明

定理 4 (富比尼原理的应用)

证明

定理 5 (欧拉函数的性质)

证明

推论 将 $n$$n$ 质因数分解为 $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k},{\alpha }_i\ge 1$$p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \alpha_i \ge 1$, 则

定理 6 (欧拉函数的计算) 将 $n$$n$ 质因数分解为 $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k},{\alpha }_i\ge 1$$p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \alpha_i \ge 1$, 则

证明 显然. 但我不知道如何由定理 5 推得.

定义 3 (狄利克雷卷积) $(f\ast g)(n):=f(n)\ast g(n):={\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)g\left({\displaystyle \frac{n}{d}}\right)}$$(f * g) (n) := f(n) * g(n) := \dsum_{d \mid n} f(d) g\pqty{\dfrac{n}{d}}$.

备注 另一常用形式是 $f(n)\ast g(n)={\displaystyle \sum _{ab=n}f(a)g(b)}$$f(n) * g(n) = \dsum_{ab = n} f(a) g(b)$.

定理 7 狄利克雷卷积满足 交换律 和 结合律.

证明 交换律由定理 1 的备注即得, 下证结合律.

定理 8 单位数论函数是卷积单位元, 即

证明

备注 可利用狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演公式.

定义 4 (狄利克雷逆) 若数论函数满足 $f\ast g=g\ast f=I$$f * g = g * f = I$, 则称 $f$$f$ 和 $g$$g$ 互为对方的 狄利克雷逆.

备注 后文的 $f^{-1}$$f\inv$ 一律指狄利克雷逆; 在代数中 $f^{-1}$$f\inv$ 一般指逆函数; 在分析中 $f^{-1}$$f\inv$ 一般指倒数.

例子

• ${\mu }^{-1}(n)=U(n)\equiv 1$$\mu\inv(n) = U(n) \equiv 1$.

• ${\phi }^{-1}(n)={\displaystyle \sum _{d\mid n}d\mu (d)}$$\varphi\inv(n) = \dsum_{d \mid n} d \mu(d)$.

定理 9 狄利克雷卷积在 $G=\{f(n)\mid f\text{是}\text{数}\text{论}\text{函}\text{数},\text{且}f(1)\ne 0\}$$G = \Bqty{f(n) \mid f\ 是数论函数, 且\ f(1) \ne 0}$ 上构成阿贝尔群.

证明 由上可知, 该代数系统是封闭的、结合的、交换的, 且具有幺元, 下证逆元存在.

由定义代入 $n=1$$n = 1$ 得 $f^{-1}(1)={\displaystyle \frac{1}{f(1)}}$$f\inv(1) = \dfrac{1}{f(1)}$, 将此式代入定义, 得

因此狄利克雷逆元存在且唯一, 因此 $⟨G,\ast ⟩$$\aqty{G, *}$ 是阿贝尔群.

备注 进一步, $⟨G,+,\ast ⟩$$\aqty{G, +, *}$ 还是阿贝尔环.

定理 10 若数论函数 $f(n),g(n)$$f(n), g(n)$ 满足 $f(1)\ne 0,g(1)\ne 0$$f(1) \ne 0, g(1) \ne 0$, 则

证明 $f^{-1}\ast (f\ast g)=I\ast g=g$$f\inv * (f * g) = I * g = g$, 这是阿贝尔群的直接推论.

定义 5 (积性函数) 若任意 $gcd(m,n)=1$$\gcd(m, n) = 1$, 有 $f(mn)=f(m)f(n)$$f(mn) = f(m) f(n)$, 则数论函数 $f(n)$$f(n)$ 称为 积性函数.

定义 6 (完全积性函数) 若 $\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}$$\forall m, n \in \Z$, 有 $f(mn)=f(m)f(n)$$f(mn) = f(m) f(n)$, 则称数论函数 $f(n)$$f(n)$ 为 完全积性函数.

例子

• 积性函数: $\mu (n)$$\mu(n)$, $\phi (n)$$\varphi(n)$, ${\sigma }_{\lambda }(n)$$\sigma_\lambda(n)$.

• 非积性函数

  • 冯·曼戈尔特函数: 当 $n$$n$ 是质数 $p$$p$ 的整数幂时 $\mathrm{\Lambda }(n)=\ln \left(p\right)$$\Lambda(n) = \ln(p)$, 否则 $\mathrm{\Lambda }(n)=0$$\Lambda(n) = 0$.

  • 不大于正整数 $n$$n$ 的质数的数量 $\pi (n)$$\pi(n)$.

  • 整数拆分的数目 $P(n)$$P(n)$.

定理 11 (积性函数的性质)

1. 若积性函数 $f(n)$$f(n)$ 非恒等于 0, 则 $f(1)=1$$f(1) = 1$.

2. 若 $f(n)$$f(n)$ 和 $g(n)$$g(n)$ 都是积性函数, 则 $f(n)\ast g(n)$$f(n) * g(n)$ 也是积性函数.

3. 若 $f(n)$$f(n)$ 是积性函数, 则 $f^{-1}(n)$$f\inv(n)$ 也是积性函数.

4. 若 $f(n)\ast g(n)$$f(n) * g(n)$ 和 $g(n)$$g(n)$ 都是积性函数, 则 $f(n)$$f(n)$ 也是积性函数.

证明

1. 记 $f(a)\ne 0$$f(a) \ne 0$, 则由 $f(1)f(a)=f(a)$$f(1) f(a) = f(a)$ 可推出 $f(1)=1$$f(1) = 1$.

2. $$\begin{array}{rl}(f\ast g)(mn)& ={\displaystyle \sum _{d\mid mn}f(d)g\left({\displaystyle \frac{mn}{d}}\right)={\displaystyle \sum _{a\mid m,b\mid n}f(ab)g\left({\displaystyle \frac{mn}{ab}}\right)}}\\ & =\left({\displaystyle \sum _{a\mid m}f(a)g\left({\displaystyle \frac{m}{a}}\right)}\right)\left({\displaystyle \sum _{b\mid n}f(b)g\left({\displaystyle \frac{n}{b}}\right)}\right)\\ & =[(f\ast g)(m)]\cdot [(f\ast g)(n)].\end{array}$$

3. 利用递推表达式, 使用数学归纳法.

   1. 当 $mn=1$$mn = 1$ 时, $f^{-1}(1)={\displaystyle \frac{1}{f(1)}}=1$$f\inv(1) = \dfrac{1}{f(1)} = 1$.

   2. 当 $mn>1$$mn > 1$ 时,

      $$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(mn)& ={\displaystyle \frac{-1}{f(1)}}{\displaystyle \sum _{d\mid mn,d<mn}f\left({\displaystyle \frac{mn}{d}}\right)f^{-1}(d)}\\ & =-{\displaystyle \sum _{a\mid m,b\mid n,ab<mn}f\left({\displaystyle \frac{m}{a}}\right)f^{-1}(a)f\left({\displaystyle \frac{n}{b}}\right)f^{-1}(b)}\\ & =-\left({\displaystyle \sum _{a\mid m,a<m}{\displaystyle \sum _{b\mid n,b<n}+{\displaystyle \sum _{a=m,b\mid n,b<n}+{\displaystyle \sum _{b=n,a\mid m,a<m}}}}}\right)\\ & f\left({\displaystyle \frac{m}{a}}\right)f^{-1}(a)f\left({\displaystyle \frac{n}{b}}\right)f^{-1}(b)\\ & =-[f^{-1}(m)f^{-1}(n)-f^{-1}(m)f^{-1}(n)-f^{-1}(m)f^{-1}(n)]\\ & =f^{-1}(m)f^{-1}(n).\end{array}$$

4. 由 $f=(f\ast g)\ast g^{-1}$$f = (f*g) * g\inv$ 知其为积性函数.

1.1.3 本初单位根

记 $n$$n$ 次单位根为 ${\omega }_n={\text{e}}^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$$\omega_n = \e^{\tfrac{2\pi\i}{n}}$, 若其集合 $S_n=\{{\omega }_n^k\mid k\in {\mathbb{Z}}_n\}$$S_n = \Bqty{\omega_n^k \mid k \in \Z_n}$ 可由 ${\omega }_k$$\omega_k$ 生成, 即 $S_n=⟨{\omega }_k⟩$$S_n = \aqty{\omega_k}$, 则称 ${\omega }_n^k$$\omega_n^k$ 为本初 $\mathit{n}$$\bm n$ 次单位根 (或 $n$$n$ 次本原单位根).

• 当且仅当 $gcd(k,n)=1$$\gcd(k, n) = 1$ 时, ${\omega }_n^k$$\omega_n^k$ 为本初 $n$$n$ 次单位根.

• 若 $\omega$$\omega$ 是一个本初 $n$$n$ 次单位根, 则

  • 它的复共轭 $\bar{\omega }$$\overline\omega$ 也是本初 $n$$n$ 次单位根.

  • 当且仅当 $gcd(m,n)=1,1\le m<n$$\gcd(m, n) = 1, 1 \le m < n$ 时, ${\omega }^m$$\omega^m$ 也是本初 $n$$n$ 次单位根.

  • $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\omega )/\mathbb{Q})\cong U(n)$$\mathrm{Gal} (\Q(\omega) / \Q) \cong U(n)$.

• 本初 $n$$n$ 次单位根的个数为欧拉函数 $\phi (n)$$\varphi(n)$.

  • 将 $n$$n$ 质因数分解为 $p_1^{{\alpha }_{p_1}}{p}_2^{{\alpha }_{p_2}}\cdots p_k^{{\alpha }_{p_k}}$$p_1^{\alpha_{p_1}} p_2^{\alpha_{p_2}} \cdots p_k^{\alpha_{p_k}}$, 则

    $\phi (n)={\displaystyle \prod _{p\mid n}{p}^{{\alpha }_p-1}(p-1)=n{\displaystyle \prod _{p\mid n}(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})}}$$\varphi(n) = \dprod_{p \mid n} p^{\alpha_p - 1} (p - 1) = n \dprod_{p \mid n} \pqty{1 - \dfrac{1}{p}}$.

  • 关于欧拉函数更多的性质可以参考前置知识.

1.1.4 分圆多项式

根为所有本初 $n$$n$ 次单位根的最小多项式为 ${\Phi }_n(z)$$\varPhi_n(z)$, 称为 $\mathit{n}$$\bm n$ 阶分圆多项式.

• 例子

  • ${\Phi }_1(z)=z-1$$\varPhi_1(z) = z - 1$.

  • ${\Phi }_2(z)=z+1$$\varPhi_2(z) = z + 1$.

  • ${\Phi }_3(z)=z^2+z+1$$\varPhi_3(z) = z^2 + z + 1$.

  • ${\Phi }_4(z)=z^2+1$$\varPhi_4(z) = z^2 + 1$.

  • ${\Phi }_6(z)=z^2-z+1$$\varPhi_6(z) = z^2 - z + 1$.

  • ${\Phi }_8(z)=(z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)=z^4+1$$\varPhi_{8}(z) = (z^2 + \sqrt 2 z + 1)(z^2 - \sqrt 2 z + 1) = z^4 + 1$.

  • ${\Phi }_{12}(z)=(z^2+\sqrt{3}z+1)(z^2-\sqrt{3}z+1)=z^4-z^2+1$$\varPhi_{12}(z) = (z^2 + \sqrt 3 z + 1)(z^2 - \sqrt 3 z + 1) = z^4 - z^2 + 1$.

• 次数与系数

  • 由本初单位根性质得, ${\Phi }_n(z)(n>2)$$\varPhi_n(z)\ (n > 2)$ 次数必为偶数, 且有实系数.

  • 进一步, ${\Phi }_n(z)$$\varPhi_n(z)$ 是整系数不可约多项式, 且 $\mathrm{deg}({\Phi }_n(z))=\phi (n)$$\deg(\varPhi_n(z)) = \varphi(n)$.

  • 推论: $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$\cos\dfrac{2\pi}{n}$ 是有理数, 当且仅当 $n=1,2,3,4,6$$n = 1, 2, 3, 4, 6$.

• ${\displaystyle \prod _{d\mid n}{\Phi }_d(z)=z^n-1}$$\dprod_{d \mid n} \varPhi_d(z) = z^n - 1$.

  • 特殊值

    • 数归可得 $\Phi (0)=1(n>1)$$\varPhi(0) = 1\ (n > 1)$.

    • 若 $n=p^m$$n = p^m$, 则 ${\Phi }_n(1)=p$$\varPhi_{n}(1) = p$.

      否则 ${\Phi }_n(1)=1$$\varPhi_{n}(1) = 1$.

    • 由下文可知, ${\Phi }_n(-1)={\phi }_{2n}(1)$$\varPhi_n(-1) = \varphi_{2n}(1)$.

  • 欧拉函数

    • 比较两端次数可得 ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\phi (d)=n}$$\dsum_{d \mid n} \varphi(d) = n$.

    • 由莫比乌斯反演公式得: $\phi (n)=n{\displaystyle \sum _{d\mid n}{\displaystyle \frac{\mu (d)}{d}}}$$\varphi(n) = n \dsum_{d \mid n} \dfrac{\mu(d)}{d}$.

      前置知识 1.1.2 前置的知识中提供了另一种证法.

  • 分圆多项式

    • 由莫比乌斯反演公式得 ${\Phi }_n(z)={\displaystyle \prod _{d\mid n}(z^d-1{)}^{\mu \left(\frac{n}{d}\right)}}$$\varPhi_n(z) = \dprod_{d \mid n} (z^d - 1)^{\mu\pqty{\tfrac{n}{d}}}$.

    • 进一步, 质因数分解后有 ${\Phi }_n(z)={\displaystyle \prod _{d\mid p_1{p}_2\cdots p_k}{(z^{\frac{n}{d}}-1)}^{\mu (d)}}$$\varPhi_n(z) = \dprod_{d \mid p_1p_2\cdots p_k} \pqty{z^{\tfrac{n}{d}} - 1}^{\mu(d)}$.

• 若 $p$$p$ 为素数, 则

  • ${\Phi }_p(z)={\displaystyle \frac{z^p-1}{z-1}}=1+z+z^2+\cdots +z^{p-1}$$\varPhi_p(z) = \dfrac{z^p - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \cdots + z^{p-1}$.

  • 比较次数与根, 得

    • ${\Phi }_{2n}(z)={\Phi }_n(-z)(n>1)$$\varPhi_{2n}(z) = \varPhi_n(-z)\ (n > 1)$.

    • ${\Phi }_{p^k}(z)={\Phi }_p(z^{p^{k-1}})$$\varPhi_{p^k}(z) = \varPhi_p(z^{p^{k-1}})$.

  • 进一步, 若 $p\nmid n$$p \nmid n$, 则

    • ${\Phi }_{pn}(z)={\Phi }_n(z^p)/{\Phi }_n(z)$$\varPhi_{pn}(z) = \varPhi_n(z^p) / \varPhi_n(z)$.

    • ${\Phi }_{p^{k}n}(z)={\Phi }_n(z^{p^k})/{\Phi }_n(z^{p^{k-1}})$$\varPhi_{p^k n}(z) = \varPhi_n(z^{p^k}) / \varPhi_n(z^{p^{k-1}})$.

  • 由此可以由容斥原理同样推得 ${\Phi }_n(z)={\displaystyle \prod _{d\mid p_1{p}_2\cdots p_k}{(z^{\frac{n}{d}}-1)}^{\mu (d)}}$$\varPhi_n(z) = \dprod_{d \mid p_1p_2\cdots p_k} \pqty{z^{\tfrac{n}{d}} - 1}^{\mu(d)}$.

• 设 $d$$d$ 是 $n$$n$ 的真因子, $p$$p$ 为素数, 若存在 $x\ne \pm 1$$x \ne \pm 1$, 满足 $p\mid ({\Phi }_d(x),{\Phi }_n(x))$$p \mid (\varPhi_d(x), \varPhi_n(x))$, 则 $p\mid n$$p \mid n$.

• 若存在整数 $x$$x$ 满足 $({\Phi }_a(x),{\Phi }_b(x))>1$$(\varPhi_a(x), \varPhi_b(x)) > 1$, 则 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$$\dfrac{a}{b}$ 是一个素数幂.

1.2 复数的变换

1.2.1 保向变换

• 恒等变换: $\mathcal{E}(z)=z$$\mathcal{E} (z) = z$.

• 平移变换: ${\mathcal{T}}_v(z)=z+v$$\mathcal{T}_v (z) = z + v$.

  • 复合: ${\mathcal{T}}_w\circ {\mathcal{T}}_v={\mathcal{T}}_{w+v}$$\mathcal{T}_w \circ \mathcal{T}_v = \mathcal{T}_{w + v}$.

  • 逆元: ${\mathcal{T}}_v^{-1}={\mathcal{T}}_{-v}$$\mathcal{T}_v\inv = \mathcal{T}_{-v}$.

• 旋转变换: ${\mathcal{R}}_a^{\theta }$$\mathcal{R}_a^\theta$.

  • 复合: ${\mathcal{R}}_a^{\varphi }\circ {\mathcal{R}}_a^{\theta }={\mathcal{R}}_a^{\varphi +\theta }$$\mathcal{R}_a^\phi \circ \mathcal{R}_a^\theta = \mathcal{R}_a^{\phi + \theta}$.

  • 逆元: $({\mathcal{R}}_a^{\theta }{)}^{-1}={\mathcal{R}}_a^{-\theta }$$(\mathcal{R}_a^\theta)\inv = \mathcal{R}_a^{-\theta}$.

  • 分解:

    • ${\mathcal{R}}_a^{\theta }(z)=({\mathcal{T}}_a\circ {\mathcal{R}}_0^{\theta }\circ {\mathcal{T}}_a^{-1})(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }(z-a)+a$$\mathcal{R}_a^\theta(z) = (\mathcal{T}_a \circ \mathcal{R}_0^\theta \circ \mathcal{T}_a\inv)(z) = \e^{\i \theta} (z - a) + a$.

    • ${\mathcal{R}}_a^{\theta }={\mathcal{T}}_k\circ {\mathcal{R}}_0^{\theta }$$\mathcal{R}_a^\theta = \cal T_k \circ \cal R_0^\theta$, 其中 $k=a(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta })$$k = a (1 -\e^{\i\theta})$.

  • 复合:

    • ${\mathcal{T}}_v\circ {\mathcal{R}}_a^{\theta }={\mathcal{R}}_c^{\theta }$$\cal T_v \circ \cal R_a^\theta = \cal R_c^\theta$, 其中 $c=a+{\displaystyle \frac{v}{1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }}}$$c = a + \dfrac{v}{1 - \e^{\i\theta}}$.

    • ${\mathcal{R}}_a^{\theta }\circ {\mathcal{T}}_v={\mathcal{R}}_c^{\theta }$$\cal R_a^\theta \circ \cal T_v = \cal R_c^\theta$, 其中 $c=a+{\displaystyle \frac{v{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }}}$$c = a + \dfrac{v \e^{\i\theta}}{1 - \e^{\i\theta}}$.

    • $({\mathcal{R}}_b^{\beta }\circ {\mathcal{R}}_a^{\alpha })(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}z+a(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }){\text{e}}^{\mathrm{i}\beta }+b(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })$$(\cal R_b^\beta \circ \cal R_a^\alpha)(z) = \e^{\i (\alpha + \beta)} z + a (1 - \e^{\i\alpha}) \e^{\i \beta} + b(1 - \e^{\i\beta})$.

      • 当 $\alpha +\beta \ne 2k\pi$$\alpha + \beta \ne 2k\pi$ 时, ${\mathcal{R}}_b^{\beta }\circ {\mathcal{R}}_a^{\alpha }={\mathcal{R}}_c^{\alpha +\beta }$$\cal R_b^\beta \circ \cal R_a^\alpha = \cal R_c^{\alpha + \beta}$, 其中 $c={\displaystyle \frac{a(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }){\text{e}}^{\mathrm{i}\beta }+b(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })}{1-{\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}}}$$c = \dfrac{a (1 - \e^{\i\alpha}) \e^{\i \beta} + b(1 - \e^{\i\beta})}{1 - \e^{\i (\alpha + \beta)}}$.

      • 当 $\alpha +\beta =2k\pi$$\alpha + \beta = 2k\pi$ 时, ${\mathcal{R}}_b^{\beta }\circ {\mathcal{R}}_a^{\alpha }={\mathcal{T}}_k$$\cal R_b^\beta \circ \cal R_a^\alpha = \cal T_k$. 其中 $k=(b-a)(1-{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })$$k = (b - a) (1 - \e^{\i\beta})$.

      上式可推广至 n 次旋转的组合, 不再赘述.

1.2.2 反向变换

• 反射变换: ${\mathfrak{R}}_L$$\frak R_L$. (非分式线性变换)

  • 逆元: ${\mathfrak{R}}_L^{-1}={\mathfrak{R}}_L$$\frak R_L\inv = \frak R_L$.

  • 复合

    • 若 $L_1$$L_1$ 与 $L_2$$L_2$ 交于点 $O$$O$, 夹角为 $\varphi$$\phi$, 则 ${\mathfrak{R}}_{L_2}\circ {\mathfrak{R}}_{L_1}={\mathcal{R}}_o^{2\varphi }$$\frak R_{L_2} \circ \frak R_{L_1} = \cal R_o^{2\phi}$.

    • 若 $L_1$$L_1$ 与 $L_2$$L_2$ 平行, 由 $L_1$$L_1$ 垂直连接到 $L_2$$L_2$ 的向量为 $V$$V$, 则 ${\mathfrak{R}}_{L_2}\circ {\mathfrak{R}}_{L_1}={\mathcal{T}}_{2V}$$\frak R_{L_2} \circ \frak R_{L_1} = \cal T_{2V}$.

  • 对合 (自逆): ${\mathfrak{R}}_L\circ {\mathfrak{R}}_L=\mathcal{E}$$\frak R_L \circ \frak R_L = \cal E$.

• 滑动反射: ${\mathcal{T}}_v\circ {\mathfrak{R}}_L={\mathfrak{R}}_L\circ {\mathcal{T}}_v$$\cal T_v \circ \frak R_L = \frak R_L \circ \cal T_v$.

1.2.3 相似变换

• 中心伸缩 (位似变换): ${\mathcal{D}}_a^r$$\cal D_a^r %= \cal D_a^{r, 0}$.

• 伸缩旋转 (相似变换): ${\mathcal{D}}_a^{r,\theta }\equiv {\mathcal{R}}_a^{\theta }\circ {\mathcal{D}}_a^r\equiv {\mathcal{D}}_a^r\circ {\mathcal{R}}_a^{\theta }$$\cal D_a^{r, \theta} \equiv \cal R_a^\theta \circ \cal D_a^r \equiv \cal D_a^r \circ \cal R_a^\theta$.

  • 复合: ${\mathcal{D}}_o^{R,\varphi }\circ {\mathcal{D}}_o^{r,\theta }={\mathcal{D}}_o^{r,\theta }\circ {\mathcal{D}}_o^{R,\varphi }={\mathcal{D}}_o^{Rr,\theta +\varphi }$$\cal D_o^{R, \phi} \circ \cal D_o^{r, \theta} = \cal D_o^{r, \theta} \circ \cal D_o^{R, \phi} = \cal D_o^{Rr, \theta + \phi}$.

  • 逆元: $({\mathcal{D}}_a^{r,\theta }{)}^{-1}={\mathcal{D}}_a^{1/r,-\theta }$$(\cal D_a^{r, \theta})\inv = \cal D_a^{1 / r, -\theta}$.

  • 分解

    • ${\mathcal{D}}_a^{r,\theta }(z)=({\mathcal{T}}_a\circ {\mathcal{D}}_o^{r,\theta }\circ {\mathcal{T}}_a^{-1})(z)=r{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }(z-a)+a$$\cal D_a^{r, \theta}(z) = (\cal T_a \circ \cal D_o^{r, \theta} \circ \cal T_a\inv) (z) = r\e^{\i\theta} (z - a) + a$.

    • ${\mathcal{D}}_a^{r,\theta }={\mathcal{T}}_k\circ {\mathcal{D}}_o^{r,\theta }$$\cal D_a^{r, \theta} = \cal T_k \circ \cal D_o^{r, \theta}$, 其中 $k=a(1-r{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta })$$k = a (1 - r\e^{\i\theta})$.

  • 复合

    • $({\mathcal{D}}_b^{R,\beta }\circ {\mathcal{D}}_a^{r,\alpha })(z)=Rr{\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}+a(1-r{\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }){\text{e}}^{\mathrm{i}\beta }+b(1-R{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })$$(\cal D_b^{R, \beta} \circ \cal D_a^{r, \alpha})(z) = Rr \e^{\i(\alpha + \beta)} + a(1 - r\e^{\i\alpha}) \e^{\i\beta} + b(1 - R\e^{\i\beta})$.

      • 当 $r{\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}\ne 0$$r\e^{\i(\alpha + \beta)} \ne 0$ 时, ${\mathcal{D}}_b^{R,\beta }\circ {\mathcal{D}}_a^{r,\alpha }={\mathcal{D}}_c^{Rr,\alpha +\beta }$$\cal D_b^{R, \beta} \circ \cal D_a^{r, \alpha} = \cal D_c^{Rr, \alpha + \beta}$, 其中 $c={\displaystyle \frac{a(1-r{\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha })R{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta }+b(1-R{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })}{1-Rr{\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}}}$$c = \dfrac{a (1 - r\e^{\i\alpha}) R\e^{\i \beta} + b(1 - R\e^{\i\beta})}{1 - Rr\e^{\i (\alpha + \beta)}}$.

      • 当 $r{\text{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}=0$$r\e^{\i(\alpha + \beta)} = 0$ 时, ${\mathcal{D}}_b^{R,\beta }\circ {\mathcal{D}}_a^{r,\alpha }={\mathcal{T}}_k$$\cal D_b^{R, \beta} \circ \cal D_a^{r, \alpha} = \cal T_k$, 其中 $k=a({\text{e}}^{\mathrm{i}\beta }-r)+b(1-R{\text{e}}^{\mathrm{i}\beta })$$k = a(\e^{\i\beta} - r) + b(1 - R\e^{\i\beta})$.

• 几何反演

1.3 复数的应用

1.3.1 几何

1 三角函数

• $\cos n\theta =\mathrm{Re}({\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }{)}^n$$\cos n\theta = \Re{(\e^{\i \theta})^n} %,\, \sin n\theta = \Im{(\e^{\i \theta})^n}$, 从而可以用 $\cos \theta ,\sin \theta$$\cos\theta,\, \sin\theta$ 表示.

• ${\cos }^n\theta ={\left({\displaystyle \frac{{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\text{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}}\right)}^n$$\cos^n \theta = \pqty{\dfrac{\e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}}{2}}^n$, 从而可以用 $\cos k\theta ,\sin k\theta$$\cos k\theta,\, \sin k\theta$ 表示.

• $\tan n\theta =\arg (1+\mathrm{i}\tan \theta {)}^n$$\tan n\theta = \arg(1 + \i\tan\theta)^n % \dfrac{\Im{(1 + \i\tan\theta)^n}}{\Re{(1 + \i\tan\theta)^n}}$, 从而可以用 $\tan \theta$$\tan\theta$ 表示.

  也可以用欧拉公式求出正余弦的 $n$$n$ 倍角公式, 再推得正切的.

法一: 积化和差, 裂项相消.

法二: 化为复数, 等比求和.

2 欧氏几何

Thebault 第一问题: 在任意一个四边形的四个边上各做一个正方形, 则连接相对的正方形中心的线段互相垂直等长.

对于任意三角形, 各边向外做一个等边三角形,则这些等边三角形重心成一等边三角形.

若 $A,B,C,D$$A, B, C, D$ 为单位圆上的四点, 且 $A+B+C+D=0$$A + B + C + D = 0$, 则该四点必成一矩形.

3 平面向量

• $\mathit{a}\cdot \mathit{b}:=\left|a\right|\cdot \left|b\right|\cos \theta$$\bm a \cdot \bm b := \vqty{a} \cdot \vqty{b} \cos \theta$.

• $\mathit{a}\times \mathit{b}:=\left|a\right|\cdot \left|b\right|\sin \theta =-(\mathit{b}\times \mathit{a})$$\bm a \cp \bm b := \vqty{a} \cdot \vqty{b} \sin\theta = -(\bm b \cp \bm a)$.

• $\bar{a}b=\mathit{a}\cdot \mathit{b}+\mathrm{i}(\mathit{a}\times \mathit{b})$$\overline a b = \bm a \cdot \bm b + \i (\bm a \cp \bm b)$.

1.3.2 代数

1 因式分解

2 恒等式

若两个整数可写成两个平方之和, 则其积亦然, 因为

3 高斯系鞋带定理

记任意的 $n$$n$ 边形各个顶点为 $a_i,i=1,2,\cdots ,n$$a_i,\, i = \oneton$, 并且令 $a_{n+1}=a_1$$a_{n+1} = a_1$, 则其面积为

1.3.3 分析

1 求导

由 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}{\text{e}}^{(a+\mathrm{i}b)t}=(a+\mathrm{i}b{)}^n{\text{e}}^{(a+\mathrm{i}b)t}}$$\ddv[n]{t} \e^{(a + \i b) t} = (a + \i b)^n \e^{(a + \i b) t}$ 得,

• ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}({\text{e}}^{at}\sin bt)=(a^2+b^2{)}^{\frac{n}{2}}{\text{e}}^{at}\sin (bt+n\arctan {\displaystyle \frac{b}{a}})}$$\ddv[n]{t} \pqty{ \e^{at} \sin bt } = (a^2 + b^2)^{\tfrac{n}{2}} \e^{at} \sin\pqty{ bt + n \arctan\dfrac{b}{a} }$.

• ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}({\text{e}}^{at}\cos bt)=(a^2+b^2{)}^{\frac{n}{2}}{\text{e}}^{at}\cos (bt+n\arctan {\displaystyle \frac{b}{a}})}$$\ddv[n]{t} \pqty{ \e^{at} \cos bt } = (a^2 + b^2)^{\tfrac{n}{2}} \e^{at} \cos\pqty{ bt + n \arctan\dfrac{b}{a} }$.

2 积分

由 ${\displaystyle \int {\text{e}}^{(a+\mathrm{i}b)x}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2}}{\text{e}}^{(a+\mathrm{i}b)x}+C}$$\dint \e^{(a + \i b) x} \dx = \dfrac{a - \i b}{a^2 + b^2} \e^{(a + \i b) x} + C$ 得,

• ${\displaystyle \int {\text{e}}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}}{\text{e}}^{ax}+C}$$\dint \e^{ax} \cos bx \dx = \dfrac{a \cos bx + b \sin bx}{a^2 + b^2} \e^{ax} + C$.

• ${\displaystyle \int {\text{e}}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}}{\text{e}}^{ax}+C}$$\dint \e^{ax} \sin bx \dx = \dfrac{a \sin bx - b \cos bx}{a^2 + b^2} \e^{ax} + C$.

1.3.4 组合

由 $(a+b{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}{a}^{n-r}{b}^r}$$(a + b)^n = \dsum_{r=0}^n \dbinom{n}{r} a^{n-r} b^r$ 代入 $a=1,b=\mathrm{i},n=2m$$a = 1, b = \i, n = 2m$ 得

• ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{5})-\cdots +(-1{)}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2m-1})=2^m\sin {\displaystyle \frac{m\pi }{2}}}$$\d \binom{2m}{1} - \binom{2m}{3} + \binom{2m}{5} - \cdots + (-1)^{m+1} \binom{2m}{2m-1} = 2^m \sin\dfrac{m\pi}{2}$.

• ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{0})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{4})-\cdots +(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{2m})=2^m\cos {\displaystyle \frac{m\pi }{2}}}$$\d\binom{2m}{0} - \binom{2m}{2} + \binom{2m}{4} - \cdots + (-1)^{m} \binom{2m}{2m} = 2^m \cos\dfrac{m\pi}{2}$.

1.4 变换与几何

• 运动: 运动就是平面到其自身的一个映射且使任两点 $A,B$$A, B$ 的距离与其象 $A^{\prime }=\mathcal{M}(A)$$A' = \cal M(A)$, $B^{\prime }=\mathcal{M}(B)$$B' = \cal M(B)$ 的距离相等.

  • 满足群的条件: 封闭性, 结合律, 幺元 (恒等变换), 逆元.

  • 分类: 保向运动, 反向运动.

  • 性质

    • 一个运动可以由它对任意三角形（即任意三个非共线的点）的 效果唯一确定.

    • 恰好存在一个保向运动 $\mathcal{M}$$\cal M$（以及恰好一个反向运动 $\tilde{\mathcal{M}}$$\widetilde {\cal M}$）将一 已给线段 $AB$$AB$ 映为另一个等长线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$$A'B'$. 此外, $\tilde{\mathcal{M}}$$\widetilde {\cal M}$ 即（$\mathcal{M}$${\cal M}$ 再继以对 $A^{\prime }{B}^{\prime }$$A'B'$ 的一个反射）.

    • 每个保向运动都可以表示为 $\mathcal{M}(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }z+v$$\cal M(z) = \e^{\i \theta} z + v$.

• 全等: 如果存在一个运动 $\mathcal{M}$$\cal M$, 使得 $F^{\prime }=\mathcal{M}(F)$$F' = \cal M(F)$, 就说 $F$$F$ 全等于 $F^{\prime }$$F'$, 记作 $F\cong F^{\prime }$$F \cong F'$.

  • 满足等价关系： 反身性, 对称性, 传递性.

• 三反射定理

  • 每个保向运动均为两个反射的复合,

  • 每个反向运动均为三个反射的复合.

  • 推论: 每个运动都有一个逆, 因为一串反射的逆就是把这些反射以相反的次序再做一次.

• 相似: 把一平面映至自身且保持距离之比的映射.

  几何学就是研究运动的集合的不变式 (不变量). ——克莱因

  • 任一相似必可分解为 ${\mathcal{S}}^r=\mathcal{M}\circ {\mathcal{D}}_p^r$$\cal S^r = \cal M \circ \cal D_p^r$.

  • 分类: 保向相似, 反向相似.

  • 每个保向相似都是一个伸缩旋转, 其特例是平移 (以无穷远点为旋转中心).

    一组平行线交于同一无穷远点, 所有平行线对应的无穷远点构成无穷远线.

  • 每个保向的相似变换均可表示为 ${\mathcal{S}}^r(z)=r{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }z+v$$\cal{S}^r(z) = r\e^{\i\theta} z + v$, 或 ${\mathcal{S}}^r(z)=Az+B$$\cal S^r(z) = A z + B$.

• 空间复数

  • 空间中的每一个保向相似变换均为一伸缩旋转与沿旋转轴的平移的复合.

  • 空间中的旋转是非交换的.

1.5 多项式方程

1.5.2 二次方程

思路一: 配方法

对于 $a{x}^2+bx+c=0$$ax^2 + bx + c = 0$, 有 ${(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}$$\pqty{x + \dfrac{b}{2a}}^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}$, 于是 $x_1,x_2={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$x_1, x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

思路二: 韦达定理

对于 $x^2-{\sigma }_{1}x+{\sigma }_2=0$$x^2 - \sigma_1 x + \sigma_2 = 0$, 令 $\delta =x_1-x_2$$\delta = x_1 - x_2$, 则有

解之即得 $x_1,x_2$$x_1, x_2$.

判别法则

由思路一, 令 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$\Delta = b^2 - 4ac$, 则有

• 当 $\mathrm{\Delta }<0$$\Delta < 0$ 时, 有两个共轭复根.

• 当 $\mathrm{\Delta }=0$$\Delta = 0$ 时, 有一个二重实根.

• 当 $\mathrm{\Delta }>0$$\Delta > 0$ 时, 有两个一重实根.

1.5.3 三次方程

对于 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, 令 $t=x+{\displaystyle \frac{b}{3a}}$$t = x + \dfrac{b}{3a}$ 即可化为 $t^3+Bt+C=0$$t^3 + Bt + C = 0$.

方便起见, 下面只研究 $x^3=3px+2q$$x^3 = 3px + 2q$. 习惯上, 令 ${\omega }_n={\text{e}}^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$$\omega_n = \e^\tfrac{2\pi\i}{n}$, $\omega ={\omega }_3$$\omega = \omega_3$.

思路一: 变量代换

1. 令 $x_0=s+t$$x_0 = s + t$, 则当 $st=p$$st = p$ 且 $s^3+t^3=2q$$s^3 + t^3 = 2q$ 时, 此 $x_0$$x_0$ 为三次方程之根.

2. 解得 $s^3,t^3=q\pm \sqrt{q^2-p^3}$$s^3, t^3 = q \pm \sqrt{q^2 - p^3}$, 从而求出三次方程的三根: $\{\begin{array}{l}{x}_0=s+t,\\ x_1=\omega s+{\omega }^{2}t,\\ x_2={\omega }^{2}s+\omega t.\end{array}$$\begin{cases} x_0 = s + t, \\ x_1 = \omega s + \omega^2 t, \\ x_2 = \omega^2 s + \omega t. \end{cases}$