复变换-莫比乌斯变换与反演

第 3 章 莫比乌斯变换和反演

3.2 反演

3.2.1 复反演

• 复反演 $w=1/z$$w = 1 / z %\dfrac{1}{z}$ 的分解

  • 几何反演 (反演) ${\mathcal{I}}_C(z)=1/\bar{z}$$\cal I_C(z) = 1 / \overline z %\dfrac{1}{\overline z}$.

  • 复共轭 (实轴反射) ${\mathfrak{R}}_L(z)=\bar{z}$$\frak R_L(z) = \overline z$.

• 分解与次序无关.

3.2.2 几何反演

几何反演 ${\mathcal{I}}_K$$\cal I_K$ 又简称反演.

• 反演公式

  • ${\mathcal{I}}_K$$\mathcal{I}_K$ 表示对任意圆周 $K:|z-q|=R$$K: \vqty{z - q} = R$ 的反演.

  • 由定义, $(\stackrel{\sim }{z}-q)\overline{(z-q)}=R^2$$(\wavy z - q)\overline{(z - q)} = R^2$.

  • 解之得, ${\mathcal{I}}_K(z)={\displaystyle \frac{R^2}{\bar{z}-\bar{q}}}+q$$\mathcal{I}_K(z) = \dfrac{R^2}{\overline z- \overline q} + q$.

• 基本性质

  • 将平面分成两个分支.

  • 分支边界的点为不动点.

  • 对合性 (自逆性): ${\mathcal{I}}_K\circ {\mathcal{I}}_K=\mathcal{E}$$\cal I_K \circ \cal I_K = \cal E$.

• 几何性质

  • 相似 $\mathrm{△}aqb\sim \mathrm{△}\stackrel{\sim }{b}q\stackrel{\sim }{a}$$\triangle aqb \sim \triangle \wavy b q \wavy a$.

  • 象距 $\left[\stackrel{\sim }{a}\stackrel{\sim }{b}\right]={\displaystyle \frac{R^2\left[ab\right]}{\left[qa\right]\left[qb\right]}}$$\bqty{\wavy a \wavy b} = \dfrac{R^2 \bqty{ab}}{\bqty{qa}\bqty{qb}}$.

3.2.3 保持圆周

记圆 $K$$K$ 的半径为 $R$$R$, 原圆的半径为 $r$$r$, 其圆心与 $q$$q$ 的距离为 $d$$d$, 象圆的半径为 $\stackrel{\sim }{r}$$\wavy r$. 当原圆退化为直线时, 半径变为 $\mathrm{\infty }$$\infty$, 圆心距 $d$$d$ 表示 $q$$q$ 到直线的距离.

• 保持圆周

  • 若直线 $L$$L$ 不经过 $K$$K$ 的中心 $q$$q$, 则

    • 它的反演是一个经过 $q$$q$ 的圆周,

    • 象圆在 $q$$q$ 的切线平行于 $L$$L$.

    • 象圆半径 $\stackrel{\sim }{r}={\displaystyle \frac{R^2}{2d}}$$\wavy r = \dfrac{R^2}{2d}$.

    

  • 若圆 $C$$C$ 不经过 $K$$K$ 的中心 $q$$q$, 则

    • 它的反演是一个不经过 $q$$q$ 的圆周.

    • 象圆 -> 原圆

      • $r={\displaystyle \frac{R^2\tilde{r}}{|{\tilde{d}}^2-{\tilde{r}}^2|}}$$r = \dfrac{R^2 \wt r}{\vqty{\wt{d}^2 - \wt{r}^2}}$.

      • $d={\displaystyle \frac{R^2\tilde{d}}{|{\tilde{d}}^2-{\tilde{r}}^2|}}$$d = \dfrac{R^2 \wt{d}}{\vqty{\wt d^2 - \wt r^2}}$.

    • 原圆 -> 象圆

      • $\stackrel{\sim }{r}={\displaystyle \frac{R^{2}r}{|d^2-r^2|}}$$\wavy r = \dfrac{R^2r}{\vqty{d^2 - r^2}}$.

      • $\tilde{d}={\displaystyle \frac{R^{2}d}{|d^2-r^2|}}$$\wt d = \dfrac{R^2d}{\vqty{d^2 - r^2}}$.

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<img src='image\3.2.2 圆的反演.png' width=750>

• 映为自身

  • 若直线 $L$$L$ 经过 $K$$K$ 的中心, 则 ${\mathcal{I}}_K(L)=L$$\cal I_K(L) = L$.

  • 若圆 $C$$C$ 与 $K$$K$ 正交, 则 ${\mathcal{I}}_K(C)=C$$\cal I_K(C) = C$.

• 注: 一个圆的圆心与其反演圆的圆心不反演.

• 复反演将直角双曲线映为双纽线.$$$% 习题 22$

3.2.4 作反演点

法一 垂线与相似

证明 $\mathrm{△}OBC\sim \mathrm{△}OAB\Rightarrow OC\cdot OA=O{B}^2$$\triangle{OBC} \sim \triangle{OAB} \RA OC \cdot OA = OB^2$.

备注 若点 $A$$A$ 在圆内, 则先作垂线再作切线.

法二 作圆与相似

证明 $\mathrm{△}OBC\sim \mathrm{△}OAB\Rightarrow OC\cdot OA=O{B}^2$$\triangle{OBC} \sim \triangle{OAB} \RA OC \cdot OA = OB^2$.

备注 若点 $A$$A$ 在圆内, 则作两次中垂线.

法三 阿波罗尼斯圆

证明 ${\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{BE}{BA}}\Rightarrow OA\cdot OE=O{B}^2$$\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{BE}{BA} \RA OA \cdot OE = OB^2$.

备注 若点 $A$$A$ 在圆内则向外作等角.

法四 无刻度直尺

证明 ${\displaystyle \frac{OA-R}{OA+R}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{\frac{BE}{CF}\cdot AF}{\frac{CE}{BF}\cdot AF}}={\displaystyle \frac{BE}{CE}}\cdot {\displaystyle \frac{BF}{CF}}={\displaystyle \frac{BH}{DH}}\cdot {\displaystyle \frac{DH}{CH}}={\displaystyle \frac{R-OH}{R+OH}}$$\dfrac{OA - R}{OA + R} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{ \cfrac{BE}{CF} \cdot AF }{ \cfrac{CE}{BF} \cdot AF } = \dfrac{BE}{CE} \cdot \dfrac{BF}{CF} = \dfrac{BH}{DH} \cdot \dfrac{DH}{CH} = \dfrac{R - OH}{R + OH}$, 从而 $OA\cdot OH=R^2$$OA \cdot OH = R^2$.

备注 这也正是 (仿射变换后的) 20 年高考理科数学一卷的解析几何题 (的一般形式), 其中点 $D$$D$ 在 $B$$B$ 的左侧或是右侧, 圆内或是圆外, 都是一样的. 说来也怀念, 从这题开始, 凡是解析几何题, 我都会设法使用纯几何的方法求解, 甚至会一题多解. 几何法有时简单, 有时却不如解析; 即使是本题, 想要完善过程, 篇幅也是比较长的. 几何法有时还会遇到蝴蝶定理、帕斯卡定理、调和点列等, 其中反演居多, 我也因此而买了本《近代欧氏几何学》, 可惜没看多少便搁置了, 甚至还没看到反演的章节. 不知道何时能再有闲心, 重拾欧氏几何.

备注 若点 $A$$A$ 在圆内, 则先作垂线, 再类似作图.

法五 利用正交圆

• $z$$z$ 对 $K$$K$ 的反演 $\stackrel{\sim }{z}$$\wavy z$ 是任意两个过 $z$$z$ 而正交于 $K$$K$ 的圆周之另一交点.

• 上述一正交圆可退化为过 $q$$q$ 的直线.

  反射可用相同的作法作出.

  

3.2.5 保持角度

• 共形映射: 保持每一点角度的大小和符号.

  • 对于 $\omega =\omega (t)=f(z(t))$$\omega = \omega(t) = f(z(t))$, 只要 $z^{\prime }(t)\ne 0,f^{\prime }(z)\ne 0$$z'(t) \ne 0,\, f'(z) \ne 0$, 就是共形映射.

  • 偶数个反射 (反演) 的复合是共形映射.

• 反共形映射: 保持每一点角度的大小, 但符号相反.

  • 反射和反演都是反共形映射.

  • 奇数个反射 (反演) 的复合是反共形映射.

• 等角映射: 保持每一点角度的大小, 但符号未知.

3.2.6 保持对称性

• 对直线的反射能保持对直线的对称性.

• 对圆周的反射能保持对圆周的对称性.

  因为反演映任一对正交圆周为另一对正交圆周.

3.2.7 球面反演

旋转 3.2.3 中的图像, 即得球面的结论:

• 球面反演具有对合性.

• 球面反演保持球面 (球面与平面).

• 球面反演保持圆周 (圆与线).

• 球面反演具有对称性 (反射反演与线性变换).

• 正交球面反演为正交球面.

3.3 反演的应用

3.3.1 相切圆问题

如图, 由反演知:

• $\left\{C_i\right\}$$\Bqty{C_i}$ 的切点共圆, 且该圆与 $A$$A$ 和 $B$$B$ 切于点 $q$$q$.

• 设 $C_n$$C_n$ 的半径为 $r_n$$r_n$, 则其圆心离 $L$$L$ 的高度为 $2n{r}_n$$2nr_n$.

3.3.2 正交对角线

如果一个四边形对角线正交于点 $q$$q$, 并将 $q$$q$ 对四边分别做反射, 则反射点四点共圆.

如图, 对角线正交, 故相邻蓝圆正交, 将被映为正交直线, 且平行于原四边形的对角线.

3.3.3 托勒密定理

• 证法一: 构造相似.

• 证法二: 复数运算.

• 证法三: 利用交比.

• 证法四: 利用反演.

这里使用反演进行证明:

如图, 对以 $a$$a$ 为中心的一圆周做反演, 则有

备注 托勒密定理可以用来证明正余弦的加法公式. 实际上托勒密就是这么做的:

如左图, $A=2\sin \theta ,B=2\cos \theta$$A = 2\sin\theta,\, B = 2\cos\theta$, 如右图

于是可得正余弦的加减法公式.

3.3.4 阿波罗尼奥斯定理

对于给定的三个两两相切 (但不公切于一点) 的圆 $C_1,C_2,C_3$$C_1, C_2, C_3$, 恰好存在两个圆与 $C_1,C_2,C_3$$C_1, C_2, C_3$ 均相切.

证明 对以 $C_2$$C_2$ 与 $C_3$$C_3$ 的切点为圆心的一圆做反演, 则 $C_2$$C_2$ 与 $C_3$$C_3$ 变为平行线, 易找到两圆与之均相交, 从而得证.

3.3.5 笛卡尔定理

假设四个两两相切的圆 $C_1,C_2,C_3,C_4$$C_1,C_2,C_3,C_4$ 的有向曲率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$$k_1,k_2,k_3,k_4$, 则它们满足关系:

$$(k_1+k_2+k_3+k_4{)}^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).$$

备注

• 曲率大小为曲率圆半径的倒数 $\left|k\right|={\displaystyle \frac{1}{r}}$$\vqty{k} = \dfrac{1}{r}$.

• 如果两圆外切, 则二者曲率符号相同, 如果内切, 则相反.

证明 同阿波罗尼奥斯定理思路, 利用解析几何代入反演圆的半径公式即得.

3.3.6 阿波罗尼奥斯垫

• 阿波罗尼奥斯垫

  • 如给定圆 $C_1,C_2,C_3$$C_1, C_2, C_3$ 及其曲率 $k_1,k_2,k_3$$k_1, k_2, k_3$, 则可生成相切的序列

    $$\begin{array}{c}\cdots ,C_{-2},C_{-1},C_0,C_1,C_2,C_3,C_4,\cdots \\ \cdots ,k_{-2},k_{-1},k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,\cdots \end{array}$$

  • 其中由笛卡尔定理得

    $$x^2-[2(k_{n+1}+k_{n+2}+k_{n+3})]x+[2(k_{n+1}^2+k_{n+2}^2+k_{n+3}^2)-(k_{n+1}+k_{n+2}+k_{n+3}{)}^2]=0$$

• 阿波罗尼奥斯整垫

  • 由笛卡尔定理与韦达定理得

    $$k_n+k_{n+4}=2(k_{n+1}+k_{n+2}+k_{n+3})$$

  • 若 $k_1,k_2,k_3,k_4$$k_1, k_2, k_3, k_4$ 都是整数, 则所有圆的曲率都是整数, 此时称为阿波罗尼奥斯整垫 (Integral Apollonian Gasket).

• 相切圆问题

  • 若给定的 $k_1,k_2,k_3$$k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_4$$k_4$ 的两根相等, 则退化为之前的相切圆问题.

  • 反之, 给定任意两个相切的圆, 可以作出其外公切圆, 使三圆直径共线, 从而得到相切圆问题.

• 黄金分割比

  • 由上述四阶线性递推公式知, 当 $n\to \mathrm{\infty }$$n \to \infty$ 或 $-\mathrm{\infty }$$-\infty$ 时 $k_n$$k_n$ 收敛.

  • 令 $\phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$\varphi = \dfrac{\sqrt5-1}{2}$, 则由 $1+{\alpha }^4=2(\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3)$$1 + \alpha^4 = 2(\alpha + \alpha^2 + \alpha^3)$ 得:

    $${\alpha }_{1,2}=\phi \pm \sqrt{\phi },{\alpha }_{3,4}=-{\displaystyle \frac{1}{\phi }}\pm \mathrm{i}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{\phi }}}.$$

    其中前两根互为倒数, 后两根模为 1.

  • 于是得相邻两项之比为

    $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{k_{n+1}}{k_n}}=\phi +\sqrt{\phi },\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{k_{n+1}}{k_n}}=\phi -\sqrt{\phi }.$$

3.3.7 复笛卡尔定理

若复平面内四个两两相切的圆 $C_1,C_2,C_3,C_4$$C_1,C_2,C_3,C_4$ 的有向曲率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$$k_1,k_2,k_3,k_4$, 圆心分别为 $z_1,z_2,z_3,z_4$$z_1, z_2, z_3, z_4$, 则它们满足关系

$$(k_1{z}_1+k_2{z}_2+k_3{z}_3+k_4{z}_4{)}^2=2(k_1^2{z}_1^2+k_2^2{z}_2^2+k_3^2{z}_3^2+k_4^2{z}_4^2).$$

证明 与笛卡尔定理的思路相同, 解析剥蒜即可.

• 在莫比乌斯线性变换下, 上式仍然成立.

3.3.8 Soddy-Gosset 定理

若在 $n(\ge 2)$$n\ (\ge 2)$ 维欧氏空间中有 $(n+2)$$(n + 2)$ 个两两相切且切点各异的 $(n-1)$$(n - 1)$ 维球面, 则它们的有向曲率 $k_1,k_2,\cdots ,k_{n+2}$$k_1, k_2, \cdots, k_{n+2}$ 满足关系:

$${\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{n+2}{k}_i}\right)}^2=n{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+2}{k}_i^2.}$$

证明 与二维的笛卡尔定理的思路相同, 解析剥蒜即可.

3.3.9 鲍塞里耶铰链

$\tilde{p}={\mathcal{I}}_K(p)$$\wt p = \cal I_K(p)$, 其中 $K$$K$ 是以 $o$$o$ 为圆心, 半径为 $\sqrt{l^2-r^2}$$\sqrt{l^2 - r^2}$ 的圆周.

3.4 黎曼球面

注意: 不同资料上的球极射影中心可能不同, 比如以图中的 $S$$S$ 点而非 $N$$N$ 点.

注: 若先由 $N$$N$ 投影 $\mathbb{C}$$\C$ 至 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$, 再由 $S$$S$ 投影至 $\mathbb{C}$$\C$, 则净效果为 $z\mapsto z/{\left|z\right|}^2$$z \mapsto z / \vqty{z}^2$.

3.4.1 基本性质

• 复平面上直线的球极象

  • 即黎曼球面 $\sum$$\sum$ 上经过 $N=\mathrm{\infty }$$N = \infty$ 的圆周,

  • 并且此圆周在 $N$$N$ 的切线与原直线平行.

  • 因此, 若从球内观察球面上角的方向, 那么球极射影是共形的.

• 黎曼球面与复平面是球面反演的, 因此球极射影保持圆周.

3.4.2 诱导映射

• 由 $z\mapsto w$$z \mapsto w$ 诱导出 $\sum$$\sum$ 上的映射 $\hat{z}\mapsto \hat{w}$$\hat z \mapsto \hat w$.

  • $\mathbb{C}$$\C$ 上的复共轭 $z\mapsto \bar{z}$$z \mapsto \overline z$ 诱导出黎曼球面上关于过实轴的纵向平面的反射.

  • $\mathbb{C}$$\C$ 上的几何反演 $z\mapsto 1/\bar{z}$$z \mapsto 1 / \overline z$ 诱导出黎曼球面上关于赤道平面的反射.

  • $\mathbb{C}$$\C$ 上的复反演 $z\mapsto 1/z$$z \mapsto 1 / z$ 诱导出黎曼球面上绕实轴旋转 ${180}^{\circ }$$180^\circ$ 的映射.

• $z\mapsto w=z^n$$z \mapsto w = z^n$ 是共形映射, 但有两个 临界点 $z=0$$z = 0$ 和 $z=\mathrm{\infty }$$z = \infty$.

3.4.3 球极射影公式

• 记号约定

• $\mathrm{\Sigma }=\{(X,Y,Z)\mid X^2+Y^2+Z^2=1,X,Y,Z\in \mathbb{R}\}$$\Sigma = \Bqty{(X, Y, Z) \mid X^2 + Y^2 + Z^2 = 1, X, Y ,Z \in \R}$.

  • $\mathbb{C}=\{z=x+\mathrm{i}y\mid {\mathrm{i}}^2=-1,x,y\in \mathbb{R}\}$$\C = \Bqty{z = x + \i y \mid \i^2 = -1, x, y \in \R}$.

• $\mathrm{\Sigma }\to \mathbb{C}$$\Sigma \to \C$:

  • $z={\displaystyle \frac{X+\mathrm{i}Y}{1-Z}}$$z = \dfrac{X + \i Y}{1 - Z}$.

  • ${\left|z\right|}^2={\displaystyle \frac{1+Z}{1-Z}}$$\vqty{z}^2 = \dfrac{1+Z}{1-Z}$.

• $\mathbb{C}\to \mathrm{\Sigma }$$\C \to \Sigma$:

  • $X+\mathrm{i}Y={\displaystyle \frac{2z}{1+{\left|z\right|}^2}}$$X + \i Y = \dfrac{2z}{1 + \vqty{z}^2}$.

  • $X={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{1+{\left|z\right|}^2}}={\displaystyle \frac{2x}{1+{\left|z\right|}^2}}$$X = \dfrac{z + \overline z}{1 + \vqty{z}^2} = \dfrac{2x}{1 + \vqty{z}^2}$.

  • $Y={\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{\mathrm{i}(1+{\left|z\right|}^2)}}={\displaystyle \frac{2y}{1+{\left|z\right|}^2}}$$Y = \dfrac{z - \overline z}{\i (1 + \vqty{z}^2)} = \dfrac{2y}{1 + \vqty{z}^2}$.

  • $Z={\displaystyle \frac{{\left|z\right|}^2-1}{{\left|z\right|}^2+1}}$$Z = \dfrac{\vqty{z}^2 - 1}{\vqty{z}^2 + 1}$.

• 二维球坐标

  • $z=\cot {\displaystyle \frac{\phi }{2}}\cdot {\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }$$z = \cot\dfrac{\varphi}{2} \cdot \e^{\i\theta}$.

  • 若 $\hat{p}$$\hat p$ 与 $\hat{q}$$\hat q$ 是 $\sum$$\sum$ 的对径点, 则 $q=-1/\bar{p}=-{\mathcal{I}}_C(p)$$q = - 1 / \overline p = -\cal I_C(p)$.

3.5 莫比乌斯变换

当 $ad-bc=0$$ad - bc = 0$ 时退化为常值映射, 此时称为奇异 的. 以下只讨论非奇异映射.

3.5.1 保持性质

• 换将圆周映为圆周.

• 莫比乌斯变换是共形变换.

• 对称原理: 若两点关于一圆周对称, 则映象亦如此.

• 定向圆周: 映有定向的圆周 $C$$C$ 为一有定向的圆周, 而且使 $C$$C$ 左侧的区域被映到 $\tilde{C}$$\widetilde C$ 左侧的区域.

3.5.2 系数特点

• 系数不唯一.

• 规范化: 即令 $ad-bc=1$$ad - bc = 1$.

• 规范化的系数变为 $a={\displaystyle \frac{a_0}{\sqrt{a_0{d}_0-b_0{c}_0}}}$$a = \dfrac{a_0}{\sqrt{a_0 d_0 - b_0 c_0}}$.

• 存在唯一的莫比乌斯变换, 把任意 3 点变为任意 3 个其他点.

3.5.3 群性质

• 逆变换 ${\mathcal{M}}^{-1}(z)={\displaystyle \frac{dz-b}{-cz+a}}$${\cal M}\inv(z) = \dfrac{dz - b}{-cz + a}$.

• 若 $\mathcal{M}$${\cal M}$ 规范化, 则由上式 ${\mathcal{M}}^{-1}$${\cal M}\inv$ 也是规范化的.

• 非奇异莫比乌斯变换的集合在复合运算下构成一个群.

3.5.4 不动点

• 即方程 $z={\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}$$z = \dfrac{az + b}{cz + d}$ 的解.

  • 上述方程的解为 ${\xi }_{\pm }={\displaystyle \frac{(a-d)\pm \sqrt{(a-d{)}^2+4bc}}{2c}}$$\xi_\pm = \dfrac{(a - d) \pm \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2c}$.

  • 规范化系数后为 ${\xi }_{\pm }={\displaystyle \frac{(a-d)\pm \sqrt{(a+d{)}^2-4}}{2c}}$$\xi_\pm = \dfrac{(a - d) \pm \sqrt{(a + d)^2 - 4}}{2c}$.

• 非恒等映射的莫比乌斯变换最多有两个不动点.

3.5.5 无穷远处的不动点

当 $c=0$$c = 0$ 时, 至少有一个不动点在无穷远处, 并且莫比乌斯变换退化为相似变换 $\mathcal{M}(z)=Az+B=\rho {\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }z+B$${\cal M}(z) = A z + B = \rho \e^{\i\alpha} z + B$.

• 椭圆型 (旋转变换): $z\mapsto {\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }z$$z \mapsto \e^{\i\alpha} z$.

• 双曲型 (伸缩变换): $z\mapsto \rho z$$z \mapsto \rho z$.

• 斜驶型 (相似变换): $z\mapsto \rho {\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }z$$z \mapsto \rho\e^{\i\alpha} z$.

• 抛物型 (平移变换): ${\xi }_{+}={\xi }_{-}$$\xi_+ = \xi_-$.

3.5.6 交比

• 交比

  • 将 $q,r,s$$q, r, s$ 变为 $0,1,\mathrm{\infty }$$0, 1, \infty$ 的变换记为 ${\mathcal{M}}_{qrs}(z)=[z,q,r,s]$${\cal M}_{qrs}(z) = [z, q, r, s]$.

    有的资料上是分别映为 $1,0,\mathrm{\infty }$$1, 0, \infty$.

  • $[z,q,r,s]={\displaystyle \frac{(z-q)(r-s)}{(z-s)(r-q)}}$$[z, q, r, s] = \dfrac{ (z - q) (r - s) }{ (z - s) (r - q) }$, 称为 $z,q,r,s$$z, q, r, s$ 的交比.

• 单比

  • $[z,q,s]={\displaystyle \frac{z-q}{z-s}}$$[z, q, s] = \dfrac{z - q}{z - s}$.

  • $[z,q,s]=[z,q,\mathrm{\infty },s]$$[z, q, s] = [z, q, \infty, s]$.

  • $[z,q,r,s]={\displaystyle \frac{[z,q,s]}{[r,q,s]}}$$[z, q, r, s] = \dfrac{[z, q, s]}{[r, q, s]}$.

• 变换

  • 将 $q,r,s$$q, r, s$ 变为 $\tilde{q},\tilde{r},\tilde{s}$$\tilde q, \tilde r, \tilde s$ 的唯一的莫比乌斯变换 $z\mapsto w=\mathcal{M}(z)$$z \mapsto w = {\cal M}(z)$ 由下式给出:

    $${\displaystyle \frac{(w-\tilde{q})(\tilde{r}-\tilde{s})}{(w-\tilde{s})(\tilde{r}-\tilde{q})}}=[w,\tilde{q},\tilde{r},\tilde{s}]=[z,q,r,s]={\displaystyle \frac{(z-q)(r-s)}{(z-s)(r-q)}}.$$

  • 若莫比乌斯变换将 $p,q,r,s$$p, q, r, s$ 变为 $\tilde{p},\tilde{q},\tilde{r},\tilde{s}$$\tilde p, \tilde q, \tilde r, \tilde s$, 则交比不变:

    $$[\tilde{p},\tilde{q},\tilde{r},\tilde{s}]=[p,q,r,s].$$

  • 若交比相等, 则四点可用一个莫比乌斯变换映为另四点.

• 点的交比的排列组合

  • 可以剥蒜, 如复分析笔记中一样.

  • 也可以从变换的角度, 如可视化方法教材习题 16 中提供的思路.

• 圆周

  • 交比 $w=[z,q,r,s]$$w = [z, q, r, s]$ 作为 $z$$z$ 的莫比乌斯变换, 将过 $q,r,s$$q, r, s$ 的有定向圆周映为实轴.

  • 圆周内域被映为实轴以上的半平面.

  • 该圆周的方程为 $\mathrm{Im}[p,q,r,s]=0$$\Im[p, q, r, s] = 0$, 其中 $p$$p$ 为变量.

  • $\arg [p,q,r,s]=\theta +\varphi$$\arg[p, q, r,s] = \theta + \phi$, 由此可通过 $\mathrm{Im}[p,q,r,s]$$\Im[p, q, r, s]$ 的符号判断内外域 (给定正定向).

    

• 共线交比

  • 共线四点 $a,b,c,d$$a, b, c, d$ 的交比可如此表示 (由面积法):

    $$[a,b,c,d]=-{\displaystyle \frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\sin \beta \sin \delta }}.$$

  • 由此可见, 交比与四点所在共直线无关, 而由角度所唯一决定.

  • 当上式值为 -1 时, 四点构成调和点列.

    

• 对称

  • 若 $a$$a$ 和 $c$$c$ 位于圆周 $K$$K$ 上, $b$$b$ 和 $d$$d$ 关于 $K$$K$ 对称, 则点 $[a,b,c,d]$$[a, b, c, d]$ 位于单位圆周上.

  • 证明: $[z,b,c,d]$$[z, b, c, d]$ 将 $b$$b$ 映到 0, $c$$c$ 映到 1, $d$$d$ 映到 $\mathrm{\infty }$$\infty$, 由对称知 $K$$K$ 被映到以 0 为圆心的圆, 且过点 $c$$c$, 故为单位圆周, 而 $a$$a$ 在 $K$$K$ 上, 故被映到单位圆周上.

3.5.7 变换性质

• 任意两个不相交且不同心的圆周可以用适当的默比乌斯变换映为同心圆周.

  • 找到一对点 ${\xi }_{\pm }$$\xi_\pm$ 关于圆周 $A$$A$ 和 $B$$B$ 均对称.

  • 于是 $F(z)={\displaystyle \frac{z-{\xi }_{+}}{z-{\xi }_{-}}}$$F(z) = \dfrac{z - \xi_+}{z - \xi_-}$ 即为所求的同心圆周.

• 上述性质的应用:

  • 斯坦纳圆链

    

  • 索蒂六球链

    

• 对于规范化的 $M(z)={\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}$$M(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$,

  • 同心圆周族当且仅当以 $q=-{\displaystyle \frac{d}{c}}$$q = -\dfrac{d}{c}$ 为圆心时, 象圆周才是同心的,

  • 此时的象圆心为 ${\displaystyle \frac{a}{c}}$$\dfrac{a}{c}$, 而非 $M(q)=\mathrm{\infty }$$M(q) = \infty$.

  • 方程为 $|cz+d|=1$$\vqty{cz + d} = 1$ 的圆周 $I_M$$I_M$ 被 $M$$M$ 映为同样大小的圆周, 并且每一段弧被映为同样大小的象弧, 因此 $I_M$$I_M$ 称为 $M$$M$ 的 等度圆周.

3.6 莫比乌斯变换的矩阵

3.6.1 矩阵与线性变换

• 习惯上, 用圆括号表示 ${\mathbb{R}}^2$$\R^2$ 或 $\mathbb{C}$$\C$ 上的线性变换或坐标, 而方括号表示与 $\mathbb{C}$$\C$ 上的莫比乌斯变换对应的复矩阵或坐标.

• 对于 $M(z)={\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}$${M}(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$, 定义 $\begin{array}{c}[M]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\end{array}$$[{M}] = \bmatrix{a & b \\ c & d}$.

  • $[M^{-1}]=[M{]}^{-1}$$[{M}\inv] = [{M}]\inv$.

  • $\left[M_2\right]\left[M_1\right]=[M_2\circ M_1]$$\bqty{{M}_2} \bqty{{M}_1} = \bqty{{M}_2 \circ {M}_1}$.

• 莫比乌斯变换是 ${\mathbb{C}}^2$$\C^2$ 上的线性变换:

  $$\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]\mapsto \left[\begin{array}{c}{\mathfrak{w}}_1\\ {\mathfrak{w}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{\mathfrak{z}}_1+b{\mathfrak{z}}_2\\ c{\mathfrak{z}}_1+d{\mathfrak{z}}_2\end{array}\right].$$

3.6.2 特征值与特征向量

• $z={\displaystyle \frac{{\mathfrak{z}}_1}{{\mathfrak{z}}_2}}$$z = \dfrac{\frak z_1}{\frak z_2}$ 是 $M(z)$${M}(z)$ 的不动点, 当且仅当 $\begin{array}{c}\mathfrak{z}=\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{z}}_1\\ {\mathfrak{z}}_2\end{array}\right]\end{array}$$\frak z = \bmatrix{\frak z_1 \\ \frak z_2}$ 为 $[M]$$[{M}]$ 的特征向量.

• 特征方程

  • $\det \{[M]-\lambda [\mathcal{E}]\}=0$$\det\Bqty{[{M}] - \lambda[\cal E]} = 0$.

  • ${\lambda }^2-(a+d)\lambda +1=0$$\lambda^2 - (a + d) \lambda + 1 = 0$.

  • ${\lambda }_1{\lambda }_2=1,{\lambda }_1+{\lambda }_2=a+d$$\lambda_1 \lambda_2 = 1,\, \lambda_1 + \lambda_2 = a + d$.

    前者为行列式的值, 后者为迹.

  • $\mathrm{tr}\left(\mathit{N}\mathit{P}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathit{P}\mathit{N}\right)$$\tr(\bm N \bm P) = \tr(\bm P \bm N)$.

3.6.3 厄米特内积与正交

• 内积 $\begin{array}{c}⟨\mathfrak{p},\mathfrak{q}⟩=⟨\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{p}}_1\\ {\mathfrak{p}}_2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\mathfrak{q}}_1\\ {\mathfrak{q}}_2\end{array}\right]⟩=\bar{\mathfrak{p}}\cdot \mathfrak{q}={\bar{\mathfrak{p}}}_1{\mathfrak{q}}_1+{\bar{\mathfrak{p}}}_2{\mathfrak{q}}_2\end{array}$$\aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak q}} = \aqty{ \bmatrix{\frak p_1 \\ \frak p_2}, \bmatrix{\frak q_1 \\ \frak q_2} } = \overline{\bm{\frak p}} \cdot \bm{\frak q} = \overline{\frak p}_1 \frak q_1 + \overline{\frak p}_2 \frak q_2$.

  在 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 中的内积称为欧几里得内积, ${\mathbb{C}}^n$$\C^n$ 中的内积称为厄米特内积.

  • $⟨\mathfrak{p},\mathfrak{p}⟩\ge 0$$\aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak p}} \ge 0$, 而 $⟨\mathfrak{p},\mathfrak{p}⟩=0$$\aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak p}} = 0$ 当且仅当 ${\mathfrak{p}}_1={\mathfrak{p}}_2=0$$\bm{\frak p}_1 = \bm{\frak p}_2 = 0$.

  • $⟨\mathfrak{p}+\mathfrak{q},\mathfrak{r}⟩=⟨\mathfrak{p},\mathfrak{r}⟩+⟨\mathfrak{q},\mathfrak{r}⟩$$\aqty{\bm{\frak p} + \bm{\frak q}, \bm{\frak r}} = \aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak r}} + \aqty{\bm{\frak q}, \bm{\frak r}}$, $⟨\mathfrak{r},\mathfrak{p}+\mathfrak{q}⟩=⟨\mathfrak{r},\mathfrak{p}⟩+⟨\mathfrak{r},\mathfrak{q}⟩$$\aqty{\bm{\frak r}, \bm{\frak p} + \bm{\frak q}} = \aqty{\bm{\frak r}, \bm{\frak p}} + \aqty{\bm{\frak r}, \bm{\frak q}}$.

  • $⟨\mathfrak{q},\mathfrak{p}⟩=\overline{⟨\mathfrak{p},\mathfrak{q}⟩}$$\aqty{\bm{\frak q}, \bm{\frak p}} = \overline{\aqty{\bm{\frak p}, \bm{\frak q}}}$.

• 正交

  • 当且仅当 $⟨\mathfrak{p},\mathfrak{q}⟩={\bar{\mathfrak{p}}}_1{\mathfrak{q}}_1+{\bar{\mathfrak{p}}}_2{\mathfrak{q}}_2=0$$\aqty{\bm{\frak{p}}, \bm{\frak{q}}} = \overline{\frak p}_1 \frak q_1 + \overline{\frak p}_2 \frak q_2 = 0$.

  • 记 $p={\displaystyle \frac{{\mathfrak{p}}_1}{{\mathfrak{p}}_2}},q={\displaystyle \frac{{\mathfrak{q}}_1}{{\mathfrak{q}}_2}}$$p = \dfrac{\frak p_1}{\frak p_2}, q = \dfrac{\frak q_1}{\frak q_2}$, 则正交当且仅当 $q=-1/\bar{p}$$q = -1 / \overline p$.

  • ${\mathbb{C}}^2$$\C^2$ 中的两个向量正交, 当且仅当它们是黎曼球面的两个对径点的齐次坐标.

3.6.4 酉矩阵与旋转

• 旋转: 使内积不变, 即 $⟨\left[\mathcal{R}\right]\mathfrak{p},\left[\mathcal{R}\right]\mathfrak{q}⟩=⟨\mathfrak{p},\mathfrak{q}⟩$$\aqty{\bqty{\cal{R}} \bm{\frak{p}}, \bqty{\cal{R}} \bm{\frak{q}}} = \aqty{\bm{\frak{p}}, \bm{\frak{q}}}$.

• 共轭转置 ${\mathfrak{p}}^{\ast }$$\bm{\frak{p}}^*$.

  • $⟨\mathfrak{p},\mathfrak{q}⟩={\mathfrak{p}}^{\ast }\mathfrak{q}$$\aqty{\bm{\frak{p}}, \bm{\frak{q}}} = \bm{\frak{p}}^* \bm{\frak{q}}$.

  • ${\left\{\left[\mathcal{R}\right]\mathfrak{p}\right\}}^{\ast }={\mathit{p}}^{\ast }{\left[\mathcal{R}\right]}^{\ast }$$\Bqty{\bqty{\cal R}\bm{\frak{p}}}\adj = \bm p\adj \bqty{\cal R}\adj$.

• 酉矩阵: ${\left[\mathcal{R}\right]}^{\ast }\left[\mathcal{R}\right]=\left[\mathcal{E}\right]$$\bqty{\cal R}\adj \bqty{\cal R} = \bqty{\cal E}$.

  • 旋转矩阵等价于酉矩阵.

  • 即 ${\left[\mathcal{R}\right]}^{\ast }={\left[\mathcal{R}\right]}^{-1}$$\bqty{\cal R}\adj = \bqty{\cal R} \inv$, 故 $\begin{array}{c}\left[\mathcal{R}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -\bar{b}& \bar{a}\end{array}\right]\end{array}$$\bqty{\cal R} = \bmatrix{a & b \\ -\overline b & \overline a}$.

  • 故黎曼球面的一般旋转可表示为 $R(z)={\displaystyle \frac{az+b}{-\bar{b}z+\bar{a}}}$$R(z) = \dfrac{az + b}{-\overline b z + \overline a}$,

  • 这些旋转及其对应的矩阵在复合运算下构成群.

3.7 可视化与分类

3.7.1 变换的处理

• 施泰纳圆网

  • 设 $\mathcal{M}(z)$${\cal M}(z)$ 有两个不同的不动点 ${\xi }_{+}$$\xi_+$ 和 ${\xi }_{-}$$\xi_-$, 经过这两点的圆族记为 $C_1$$C_1$,

    则 $C_1$$C_1$ 中的每一个圆被 $\mathcal{M}(z)$${\cal M}(z)$ 映成 $C_1$$C_1$ 中的另一个圆.

  • 在过不动点的直线上, 取点 $p$$p$ 位于连接不动点的线段之外的一点, 以 $p$$p$ 为中心, $\sqrt{\left[p{\xi }_{+}\right]\left[p{\xi }_{-}\right]}$$\sqrt{\bqty{p \xi_+} \bqty{p \xi_-}}$ 为半径作圆, 该圆族记为 $C_2$$C_2$,

    则不动点关于 $C_2$$C_2$ 反演, 因此 $C_2$$C_2$ 中的每一个圆与 $C_1$$C_1$ 中的每一个圆正交.

• 将施泰纳圆网通过 $F(z)=k{\displaystyle \frac{z-{\xi }_{+}}{z-{\xi }_{-}}}$$F(z) = k \dfrac{z - \xi_+}{z - \xi_-}$ 变为同心圆与直线的集合,

  • 则一个不动点被映到 $0$$0$, 另一个不动点被映到 $\mathrm{\infty }$$\infty$.

    $$\begin{array}{c}\stackrel{\sim }{z}\mapsto \stackrel{\sim }{w}=\stackrel{\sim }{M}(\stackrel{\sim }{z})\\ \stackrel{\sim }{M}=F\circ \mathcal{M}\circ F^{-1}\end{array}$$

  • 该莫比乌斯变换的不动点为 $0$$0$ 和 $\mathrm{\infty }$$\infty$, 则只能为如下形式:

    $$\stackrel{\sim }{M}(\stackrel{\sim }{z})=\mathfrak{m}\stackrel{\sim }{z}=\rho {\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\stackrel{\sim }{z}.$$

    其中 $\mathfrak{m}$$\frak m$ 称为 $\mathcal{M}(z)$${\cal M}(z)$ 的 乘子.

• 主要思想

  $$\begin{array}{ccc}\text{两}\text{个}\text{不}\text{动}\text{点}\{\begin{array}{l}\text{椭}\text{圆}\text{型}\\ \text{双}\text{曲}\text{型}\\ \text{斜}\text{驶}\text{型}\end{array}& & \text{一}\text{个}\text{不}\text{动}\text{点}:\text{抛}\text{物}\text{型}\\ z\text{平}\text{面}MFw\text{平}\text{面}\tilde{z}\text{平}\text{面}\tilde{M}\tilde{w}\text{平}\text{面}{F}^{-1}& & z\text{平}\text{面}MGw\text{平}\text{面}\tilde{z}\text{平}\text{面}\tilde{M}\tilde{w}\text{平}\text{面}{G}^{-1}\end{array}$$

3.7.2 变换的分类

• 椭圆型莫比乌斯变换

  • $\mathfrak{m}={\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$$\frak m = \e^{\i\alpha}$.

  • 恒等映射是椭圆型.

  • 只有椭圆型变换可能有有限周期.

• 双曲型莫比乌斯变换

  • $\mathfrak{m}=\rho \ne 1$$\frak m = \rho \ne 1$.

  • 排斥性不动点

  • 吸收性不动点

• 斜驶型莫比乌斯变换

  • $\mathfrak{m}=\rho {\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha },\rho \ne 1$$\frak m = \rho \e^{\i\alpha}, \rho \ne 1$.

3.7.3 乘子的解释

记 $w=\mathcal{M}(z)$$w = {\cal M}(z)$, 由 $(F\circ \mathcal{M})=(\tilde{\mathcal{M}}\circ F)$$(F \circ {\cal{M}}) = (\widetilde{\cal{M}} \circ F)$ 得

称为莫比乌斯变换的 正规形式. 上式也可以写为

为减少歧义, 可以记 ${\mathfrak{m}}_{+}$$\frak m_+$ 为 ${\xi }_{+}$$\xi_+$ 的乘子, ${\mathfrak{m}}_{-}$$\frak m_-$ 为 ${\xi }_{-}$$\xi_-$ 的乘子.

3.7.4 抛物型变换

只有一个不动点的莫比乌斯变换称为抛物型变换, 此时 $F(z)$$F(z)$ 不再适用, 改为 $G(z)={\displaystyle \frac{1}{z-\xi }}$$G(z) = \dfrac{1}{z - \xi}$, 将不动点 $\xi$$\xi$ 映至 $\mathrm{\infty }$$\infty$, 于是正交圆族映为正交直线, 并且 $\mathrm{\infty }$$\infty$ 是 $\tilde{M}$$\widetilde {M}$ 唯一的不动点, 因此它只能是一个平移.

• 如果 $\mathcal{M}(z)={\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}$${\cal M}(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$ 是规范化的, 则当且仅当 $a+d=\pm 2$$a + d = \pm 2$ 时, $\mathcal{M}$${\cal M}$ 为抛物型的.

• 由于 $G\circ M=\tilde{M}\circ G$$G \circ {M} = \widetilde{M} \circ G$, $M$${M}$ 的正规形式为

  $${\displaystyle \frac{1}{w-\xi }}={\displaystyle \frac{1}{z-\xi }}+T.$$

  • 其中不动点为 $\xi ={\displaystyle \frac{a-d}{2c}}$$\xi = \dfrac{a - d}{2c}$.

  • 代入 $z=\mathrm{\infty },w={\displaystyle \frac{a}{c}}$$z = \infty, w = \dfrac{a}{c}$, 得 $T=\pm c$$T = \pm c$, 其中 $\pm$$\pm$ 号与 $(a+d)$$(a + d)$ 一致.

3.7.5 乘子的计算

法一 (利用正规形式)

将 $z=\mathrm{\infty }\mapsto w={\displaystyle \frac{a}{c}}$$z = \infty \mapsto w = \dfrac{a}{c}$ 代入正规形式, 得

法二 (利用矩阵的迹)

由 $\tilde{\mathcal{M}}=F\circ \mathcal{M}\circ F^{-1}$$\widetilde {\cal M} = F \circ {\cal M} \circ F\inv$, 当且仅当 $\det [\stackrel{\sim }{M}]=1$$\det[\wavy {M}] = 1$ 时 $\det [\mathcal{M}]=1$$\det [{\cal M}] = 1$, 即规范化.

由 $\stackrel{\sim }{M}(z)=\mathfrak{m}z$$\wavy {M}(z) = \frak m z$, 规范化矩阵为 $\begin{array}{c}\left[\stackrel{\sim }{M}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{\mathfrak{m}}& 0\\ 0& 1/\sqrt{\mathfrak{m}}\end{array}\right]\end{array}$$\bqty{\wavy {M}} = \bmatrix{\sqrt{\frak m} & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{\frak m}}$, 因此有

或者对于未规范化的矩阵,

分类的判断

对于规范化的莫比乌斯变换 $M(z)={\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}$$M(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$,

• 当 $a+d$$a + d$ 为实数时:

  • 当 $|a+d|<2$$\vqty{a + d} < 2$ 时, 为椭圆型.

  • 当 $|a+d|=2$$\vqty{a + d} = 2$ 时, 为抛物型.

  • 当 $|a+d|>2$$\vqty{a + d} > 2$ 时, 为双曲型.

• 当 $a+d$$a + d$ 非实数时, 为斜驶型.

3.7.6 乘子的解释

若 $M(z)$$M(z)$ 的一个不动点表示为规范化矩阵 $\left[M\right]$$\bqty{M}$ 的一个特征值为 $\lambda$$\lambda$ 特征向量, 则相应于此不动点的乘子 $\mathfrak{m}=1/{\lambda }^2$$\frak m = 1 / \lambda^2$.

3.8 分解

• 对广义圆周 $K$$K$ 的反射可写为 ${\mathcal{I}}_K(z)={\displaystyle \frac{A\bar{z}+B}{C\bar{z}+D}}$$\cal I_K (z) = \dfrac{ A \overline z + B }{ C \overline z + D }$.

• 偶数个反射的复合是一个莫比乌斯变换.

  • 非斜驶型莫比乌斯变换可以表示为 2 个反射的复合.

  • 斜驶型莫比乌斯变换可以表示为 4 个反射的复合.

• 莫比乌斯变换

  • 椭圆型 $\mathfrak{m}={\text{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$$\frak m = \e^{\i\alpha}$.

    • $\tilde{\mathcal{M}}={\mathfrak{R}}_{\tilde{B}}\circ {\mathfrak{R}}_{\tilde{A}}$$\widetilde{\cal M} = \frak R_{\widetilde B} \circ \frak R_{\widetilde A}$.

    • $\mathcal{M}={\mathcal{I}}_B\circ {\mathcal{I}}_A$$\cal M = \cal I_B \circ \cal I_A$.

    • 其中 $A$$A$ 和 $B$$B$ 是过两个不动点的圆弧, 且在 ${\xi }_{+}$$\xi_+$ 处由 $A$$A$ 到 $B$$B$ 的角为 $\alpha /2$$\alpha / 2$.

  • 双曲型 $\mathfrak{m}=\rho$$\frak m = \rho$.

    • $\tilde{\mathcal{M}}={\mathcal{I}}_{\tilde{B}}\circ {\mathcal{I}}_{\tilde{A}}$$\widetilde{\cal M} = \cal I_{\widetilde B} \circ \cal I_{\widetilde A}$.

    • $\mathcal{M}={\mathcal{I}}_B\circ {\mathcal{I}}_A$$\cal M = \cal I_B \circ \cal I_A$.

    • 其中 $A$$A$ 和 $B$$B$ 是两个以 ${\xi }_{\pm }$$\xi_\pm$ 为极限点的阿波罗尼斯圆, 且 $r_B/r_A=\sqrt{\rho }$$r_B / r_A = \sqrt\rho$.

  • 抛物型 $\tilde{M}(\tilde{z})=\tilde{z}+T$$\widetilde M(\widetilde z) = \widetilde z + T$.

    • $\tilde{\mathcal{M}}={\mathfrak{R}}_{\tilde{B}}\circ {\mathfrak{R}}_{\tilde{A}}$$\widetilde{\cal M} = \frak R_{\widetilde B} \circ \frak R_{\widetilde A}$.

    • $\mathcal{M}={\mathcal{I}}_B\circ {\mathcal{I}}_A$$\cal M = \cal I_B \circ \cal I_A$.

    • 其中 $A$$A$ 和 $B$$B$ 是两个切于 $\xi$$\xi$ 点的圆周.

3.9 单位圆盘的自同构

• $C$$C$ 表示单位圆周, $D$$D$ 表示单位闭圆盘.

• 自由度

  • 一个复数变量最多有两个自由度.

  • 最一般的莫比乌斯变换的集合的自由度为 6.

  • $D$$D$ 的莫比乌斯自同构的自由度为 3.

• $D$$D$ 的最一般的莫比乌斯自同构是 $M_a^{\varphi }(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\left({\displaystyle \frac{z-a}{\bar{a}z-1}}\right)$$M_a^\phi (z) = \e^{\i\phi} \pqty{\dfrac{z - a}{\overline a z - 1}}$.

  • $M_0^{\varphi }(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}(\pi +\varphi )}z$$M_0^\phi(z) = \e^{\i(\pi + \phi)} z$.

  • $M_a:=M_a^0={\displaystyle \frac{z-a}{\bar{a}z-1}}$$M_a := M_a^0 = \dfrac{z - a}{\overline a z - 1}$.

  • 可等价地表示为 $M(z)={\displaystyle \frac{pz+q}{\bar{q}z+\bar{p}}}$$M(z) = \dfrac{pz + q}{\overline q z + \overline p}$,

  • 这些莫比乌斯变换的集合在复合运算下构成群.

• $M_a(z)$$M_a(z)$ 的几何解释.

  • $M_a={\mathfrak{R}}_L\circ {\mathcal{I}}_J={\mathcal{I}}_J\circ {\mathfrak{R}}_L$$M_a = \frak R_L \circ \cal I_J = \cal I_J \circ \frak R_L$.

    • 先对一个正交于 $C$$C$ 的圆 $J$$J$ 反演, 使得 $a$$a$ 与 $0$$0$ 交换位置.

      由于 $a$$a$ 与 $1/\bar{a}$$1 / \overline a$ 关于 $C$$C$ 对称, $C$$C$ 被映为 $C$$C$, 所以 $1/\bar{a}$$1 / \overline a$ 被映为 $\mathrm{\infty }$$\infty$. 因此圆 $J$$J$ 的圆心 $q=1/\bar{a}$$q = 1 / \overline a$.

    • 为使变换成为莫比乌斯变换, 需要偶数个反射. 而只有关于过 $a$$a$ 与 $0$$0$ 的直线 $L$$L$ 的反射, 才能保持该二点不动.

  • 不动点 ${\xi }_{\pm }$$\xi_\pm$ 是 $J$$J$ 与 $L$$L$ 的交点, 因此 $M_a$$M_a$ 是椭圆型的, 且乘子均为 $\mathfrak{m}={\text{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$$\frak m = \e^{\i\pi} = -1$.

  • $M_a(z)$$M_a(z)$ 是对合的, 即 $M_a\circ M_a=\mathcal{E}$$M_a \circ M_a = \cal E$, 因此是椭圆型的, 且乘子均为 -1.

• 分类: 定义 $\mathrm{\Phi }:=2\arccos \left|a\right|$$\Phi := 2 \arccos \vqty{a}$, 则

  • 当 $\left|\varphi \right|<\mathrm{\Phi }$$\vqty{\phi} < \Phi$ 时, $M_a^{\varphi }$$M_a^\phi$ 是椭圆型的.

  • 当 $\left|\varphi \right|=\mathrm{\Phi }$$\vqty{\phi} = \Phi$ 时, $M_a^{\varphi }$$M_a^\phi$ 是抛物型的.

  • 当 $\left|\varphi \right|>\mathrm{\Phi }$$\vqty{\phi} > \Phi$ 时, $M_a^{\varphi }$$M_a^\phi$ 是双曲型的.

• 黎曼映射定理:

  • 定理: 任意单连通区域 $R$$R$ (除全平面外) 都可以一一共形映为另一单连通区域 $S$$S$.

    • 即证 $S$$S$ 为单位圆盘 $D$$D$ 的情况即可.

    • 存在一个 3 参数的由 $R$$R$ 到 $S$$S$ 的一一共形映射之族.

• 其它例子

  • 将上半平面映为单位圆盘

    • 最一般的莫比乌斯变换形如 $M(z)={\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }\left({\displaystyle \frac{z-a}{z-\bar{a}}}\right)$$M(z) = \e^{\i\theta} \pqty{\dfrac{z-a}{z - \overline a}}$.

    • 其逆变换形如 $N(z)=M^{-1}(z)={\displaystyle \frac{\bar{a}z-a{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{z-{\text{e}}^{\mathrm{i}\theta }}}$$N(z) = M\inv(z) = \dfrac{\overline a z - a\e^{\i\theta}}{z - \e^{\i\theta}}$.

  • 上半平面的自同构 $M(z)$$M(z)$ (与上述变换不同)

    • 由于将实轴映为自身, 利用交比求解变换, 可得 $M$$M$ 的系数均为实数.

    • 由 $\mathrm{Im}[M(\mathrm{i})]>0$$\Im[M(\i)] > 0$, 可得 $ad-bc>0$$ad - bc > 0$.

    • $M$$M$ 的自由度为 3.

第 4 章 微分学与伸扭

• 共形与解析

  • 共形: 保持每一点角度的大小与符号.

  • 解析: 每一点发出的无穷小复数都按同样的伸缩率和旋转度被伸扭.

  • 孤立点共形 $\nRightarrow$$\not\RA$ 映射解析; 区域中共形 $\Rightarrow$$\RA$ 映射解析.

• 一个一定阶数的临界点被映到同阶的支点上.

• 一个保持方向的映射, 当且仅当它把无穷小圆周变为无穷小圆周时, 才是共形的.

• 复导数

  • 柯西 - 黎曼方程组 (CR 方程)

    • 利用对 x 与 y 的偏导相等.

    • 利用解析函数在一点的效果相当于乘上一个复数的性质.

  • $f^{\prime }={\partial }_{x}f$$f' = \partial_x f$.

  • $f^{\prime }=-\mathrm{i}{\partial }_{y}f$$f' = -\i \partial_y f$.

第 5 章 微分学的几何研究

5.1 CR 方程

• Cart-Cart.

  • $f_x=-\mathrm{i}{f}_y$$f_x = -\i f_y$.

  • $\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{u}_x=v_y,\\ u_y=-v_x.\end{array}\end{array}$$\cases{u_x = v_y, \\ u_y = -v_x.}$

• Cart-Polar.

  • $f\equiv R{\text{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\Psi }}$$f \equiv R\e^{\i\Psi}$.

  • $\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{R}_x=R{\mathrm{\Psi }}_y,\\ R_y=-R{\mathrm{\Psi }}_x.\end{array}\end{array}$$\cases{R_x = R \Psi_y, \\ R_y = -R \Psi_x.}$

• Polar-Cart.

  • $f_{\theta }=\mathrm{i}r{f}_r$$f_\theta = \i r f_r$.

  • $\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{v}_{\theta }=r{u}_r,\\ u_{\theta }--r{v}_r.\end{array}\end{array}$$\cases{v_\theta = r u_r, \\ u_\theta - -r v_r.}$

• Polar-Polar.

  • $f\equiv R{\text{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\Psi }}$$f \equiv R\e^{\i\Psi}$.

  • $\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{R}_{\theta }=-rR{\mathrm{\Psi }}_r,\\ R{\mathrm{\Psi }}_{\theta }=r{R}_r.\end{array}\end{array}$$\cases{R_\theta = -rR \Psi_r, \\ R \Psi_\theta = r R_r.}$