泊松过程

4.1 前置知识

4.1.1 计数过程

定义 对于随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$, 若 $N(t)$$N(t)$ 表示 $[0,t]$$[0, t]$ 内事件发生的次数, 则称为 计数过程.

备注 于是有

• $N(0)=0$$N(0) = 0$.

• $\mathrm{\forall }t\ge 0:N(t)\in \mathbb{N}$$\forall t \ge 0 \colon N(t) \in \N$.

• $\mathrm{\forall }0\le s\le t:N(s)\le N(t)$$\forall 0 \le s \le t \colon N(s) \le N(t)$.

更一般的定义参考计数过程笔记.

4.1.2 独立增量

定义 对 $t_1<t_2<\cdots <t_n(t_i\in T)$$t_1 < t_2 < \cdots < t_n\ (t_i \in T)$, 若增量

相互独立, 则称 $\{N(t),t\in T\}$$\Bqty{N(t), t \in T}$ 为 独立增量过程.

4.1.3 平稳增量

定义 若 $N(t)-N(s)$$N(t) - N(s)$ 的分布只依赖于 $t-s$$t - s$, 则称 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 平稳增量过程.

4.2 泊松过程

4.2.1 基本定义

定义 随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 若满足以下条件, 则称为 强度 为 $\lambda$$\lambda$ 的 泊松过程,

1. 是计数过程, 且 $N(0)=0$$N(0) = 0$.

2. 是独立增量过程.

3. $\mathrm{\forall }s,t\ge 0,N(s+t)-N(s)\sim P(\lambda t)$$\forall s, t \ge 0, N(s + t) - N(s) \sim P(\lambda t)$, 即

4.2.2 间隔时间

定义 记泊松过程 (计数过程) 中事件第 $n$$n$ 次发生的时间为 $S_n$$S_n$, 距前一次发生的时间间隔为 $T_n$$T_n$. 约定 0 时刻事件第 0 次发生.

备注

• $\begin{array}{rl}{T}_n& =\{\begin{array}{ll}{S}_1,& n=1,\\ S_n-S_{n-1},& n>1.\end{array}\end{array}$$\begin{align} T_n &= \begin{cases} S_1, & n = 1, \\ S_n - S_{n-1}, & n > 1. \end{cases} \end{align}$

• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{+}:S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{T}_i}$$\forall n \in \N^+ \colon S_n = \insum T_i$.

定理 $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{+}:T_n\sim E(\lambda )$$\forall n \in \N^+ \colon T_n \sim E(\lambda)$ 且相互独立.

推论 $E(T_n)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$$E(T_n) = \dfrac{1}{\lambda}$.

备注 更多性质参考指数分布笔记.

4.2.3 到达时间

定理 $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{+}:S_n\sim \mathrm{Ga}(n,\lambda )$$\forall n \in \N^+ \colon S_n \sim \mathrm{Ga}(n, \lambda)$.

备注 看看证明思路即可, 不需要掌握伽马分布.

推论 $E(S_n)=E(T_1+T_2+\cdots T_n)={\displaystyle \frac{n}{\lambda }}$$E(S_n) = E(T_1 + T_2 + \cdots T_n) = \dfrac{n}{\lambda}$.

备注 实际上还有 $E(S_n^k)={\displaystyle \frac{(n{)}^{(k)}}{{\lambda }^k}}$$E(S_n^k) = \dfrac{(n)^{(k)}}{\lambda^k}$, 如有兴趣, 更多性质参考伽马分布笔记. (不需要掌握)

4.3 非时齐泊松过程

定义 随机过程 $\{N(t),t\ge 0\}$$\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 若满足以下条件, 则称为 强度 为 $\lambda (t)$$\lambda(t)$ 的 非时齐泊松过程,

1. 是计数过程, 且 $N(0)=0$$N(0) = 0$.

2. 是独立增量过程.

3. 令 $m(t)={\displaystyle {\int }_0^t\lambda (s)\mathrm{d}s}$$m(t) = \dint_0^t \lambda(s) \ds$, 则

备注 更多内容可参考Poisson 过程及其推广.